1、2020 年秋江苏省八年级上册数学期中复习试题年秋江苏省八年级上册数学期中复习试题勾股定理解答题（勾股定理解答题（1） 1如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估 算产量小明测得8ABm，6ADm，24CDm，26BCm，又已知90A求这块土地的面积 2 【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002 年 8 月 在北京召开了国际数学大会，大会会标如图 1 所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的 小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c （1）图中
2、阴影部分小正方形的边长可表示为 ； （2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、 （3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式） ； （4）一直角三角形的两条直角边长为 5 和 12，则其斜边长为 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式如图 2 是边长为ab的正 方体，被如图所示的分割线分成 8 块 （5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （6）已知4ab，2ab ，利用上面的规律求 33 ab的值 3细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题 22 2 1( 1)2OA ， 1 1 2 S 22
3、2 3 1( 2)3OA ， 2 2 2 S 222 4 1( 3)4OA ， 1 3 2 S （1）（直接写出答案） 2 10 OA ， 并用含有(n n是正整数） 的等式表示上述变规律： 2 n OA ； n S （2）若一个三角形的面积是5，计算说明它是第几个三角形？ 4如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形)ABCD，经测量，在四边形ABCD中， 3ABm，4BCm，12CDm，13DAm，90B （1）ACD是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米 80 元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 5在甲村至乙村间有一条公路，在C
4、处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为 300 米，与公路 上的另一停靠站B的距离为 400 米，且CACB，如图所示，为了安全起见，爆破点C周围半径 250 米 范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识 加以解答 6如图，已知ABC和BDE是等腰直角三角形，90ABCDBE ，点D在AC上 （1）求证： ABDCBE ； （2）若1DB ，求 22 ADCD的值 7 如图， 四边形ABCD是一个四边形的草坪，AB与AD垂直， 通过测量， 获得如下数据：12ABm，14BCm， 5ADm，3 3CDm，请你测算这块草坪的面积 （结果保留
5、准确值） 8在四边形ABCD中，90BC ，若4AB ，4BC ，1CD ，问：在BC上是否存在点P，使得 APPD？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由 9ABC的三边长分别是a、b、c，且 2 1an，2bn， 2 1cn （1）判断三角形的形状； （2）若以边b为直径的半圆面积为2，求ABC的面积； （3）若以边a、b为直径的半圆面积分别为p、q，求以边c为直径的半圆面积 （用p、q表示） 10如图，在ABC中，90ACB，25AB ，24AC ，AMAC，BNBC，求MN的长 11如图，四边形ABCD中，90BAD，90DCB，E、F分别是BD、AC的中点 （1）请你猜想EF与A
6、C的位置关系，并给予证明； （2）当16AC ，20BD 时，求EF的长 12法国数学家费尔马早在 17 世纪就研究过形如 222 xyz的方程，显然，这个方程有无数组解我们把 满足该方程的正整数的解(x，y，) z叫做勾股数，如(3，4，5)就是一组勾股数 （1） 在研究勾股数时， 古希腊的哲学家柏拉图曾指出： 如果n表示大于1的整数，2xn， 2 1yn， 2 1zn， 那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数） ，请你加以证明； （2）探索规律：观察下列各组数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)，直接写出第 6 个数组 13
7、某中学有一块四边形空地ABCD，如图现计划在该空地上种草皮，经测量90A，16ABm， 25BCm，15CDm，12ADm若每平方米草皮需 100 元，问需投入多少元？ 14有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为5m，12m现在要将绿地扩充成等腰三角形绿地， 且扩允部分是以12m为直角边的直角三角形，求扩充部分三角形绿地的面积 （如图备用） 15在四边形ABCD中，ACDC，13ADcm，12DCcm，3ABcm，4BCcm，求四边形ABCD的 面积 16在ABC中，9AB ，12AC ，15BC ，求BC边上的高AD 17如图，ABC中，90ACB，10ABcm，6BCcm，若点P从点
8、A出发以每秒1cm的速度沿折线 ACBA运动，设运动时间为t秒(0)t （1）若点P在AC上，且满足PAPB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在BAC的角平分线上（但不与A点重合） ，求t的值 18已知，如图，1ACBCBD，3AD ，求ABD的面积 19学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度小明发现旗杆上的绳子 垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，请你帮小明求出旗杆的高度 20如图所示，木工师傅做一个三角形屋梁架ABC已知4ABACm，为牢固起见，还需做一根中柱 (AD AD是ABC的中线）加以连接，中柱3ADm，求屋梁跨度B
9、C的长 21如图，ABC中，90ACB，10ABcm，6BCcm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折 线ACBA运动，设运动时间为t秒(0)t （1）若点P在AC上，且满足BCP的周长为14cm，求此时t的值； （2）若点P在BAC的平分线上，求此时t的值； （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，BCP为等腰三角形 22苏科版数学八年级上册第 35 页第 2 题，介绍了应用构造全等三角形的方法测量了池塘两端A、B 两点的距离 星期天， 爱动脑筋的小刚同学用下面的方法也能够测量出家门前池塘两端A、B两点的距离 他 是这样做的： 选定一个点P，连接PA、PB，在PM上取一点C，恰好有14
10、PAm，13PBm，5PCm，12BCm， 他立即确定池塘两端A、B两点的距离为15m 小刚同学测量的结果正确吗？为什么？ 23如图，在Rt ABC中，3AB ，4BC ，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出 发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回点P，Q的运动速度均为每秒 1 个单位长 度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为(0)t t 秒 （1）设CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S； （2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长 24 （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积
11、法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无 字证明” ，例如，著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长 都为b，斜边长都为)c，大正方形的面积可以表示为 2 c，也可以表示为 2 1 4() 2 abab，所以 22 1 4() 2 ababc， 即 222 abc 由此推导出重要的勾股定理： 如果直角三角形两条直角边长为a，b， 斜边长为c，则 222 abc图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” ，请你利用图推导勾股定 理 （2）试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC的两直角边长为 3 和 4，则斜边上的高为 （3）试构造一个图形，使它的
12、面积能够解释 222 (2 )44abaabb，画在上面的网格中，并标出字母a， b所表示的线段 25阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积小正方形的面积4个直角三角形的面积 从而得数学等式： ； （用含字母a、b、c的式子表示） 化简证得勾股定理： 222 abc 【初步运用】 （1）如图 1，若2ba，则小正方形面积：大正方形面积 ； （2）现将图 1 中上方的两直角三角形向内折叠，如图 2，若4a ，6b 此时空白部分的面积为 ； 【迁移运用】 如果用三张含6
13、0的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图 3 的等边三角 形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其 推导过程 知识补充：如图 4，含60的直角三角形，对边y：斜边x 定值k 2019 年秋江苏省八年级上册数学期中考试勾股定理试题分类年秋江苏省八年级上册数学期中考试勾股定理试题分类解答解答 题（题（1） 1如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估 算产量小明测得8ABm，6ADm，24CDm，26BCm，又已知90A求这块土地的面积 【解答】解：连接BD， 90A，
14、 222 100BDADAB 则 2222 10057667626BDCDBC，因此90CBD， 1111 6 824 10144 2222 ADBCBDABCD SSSAD ABBD CD 四边形 （平方米） 2 【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002 年 8 月 在北京召开了国际数学大会，大会会标如图 1 所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的 小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c （1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ()ba ； （2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可
15、分别表示为 、 （3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式） ； （4）一直角三角形的两条直角边长为 5 和 12，则其斜边长为 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式如图 2 是边长为ab的正 方体，被如图所示的分割线分成 8 块 （5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （6）已知4ab，2ab ，利用上面的规律求 33 ab的值 【解答】解： （1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为()ba， 故答案为：()ba； （2）图中阴影部分的面积为 2 2cab或 2 ()ba， 故答案为： 2 2cab，
16、2 ()ba； （3）由（1）知： 22 2()cabba， 即 222 abc， 故答案为： 222 abc； （4） 222 abc，5a ，12b ， 13c ， 故答案为：13； （5）图形的体积为 3 ()ab或 33222222 aba ba ba bababab， 即 33322 ()33ababa bab， 故答案为： 33322 ()33ababa bab； （6）4ab，2ab ， 33322 ()33ababa bab， 33 3()abab ab 333 43 24ab ， 解得： 33 40ab 3细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题 22 2 1( 1)2OA
17、， 1 1 2 S 222 3 1( 2)3OA ， 2 2 2 S 222 4 1( 3)4OA ， 1 3 2 S （1） （直接写出答案） 2 10 OA 10 ，并用含有(n n是正整数）的等式表示上述变规律： 2 n OA ； n S （2）若一个三角形的面积是5，计算说明它是第几个三角形？ 【解答】解： （1） 22 2 1( 1)2OA ， 222 3 1( 2)3OA ， 222 4 1( 3)4OA ， 2 10 10OA， 10 10OA， 22 2 1( 1)2OA ， 1 1 2 S 222 3 1( 2)3OA ， 2 2 2 S 222 4 1( 3)4OA ， 1
18、 3 2 S 2 n OAn， 2 n n S ； 故答案为：10，n， 2 n ； （2）设它是第m个三角形， 由题意得，5 2 m ， 解得，20m 答：一个三角形的面积是5，它是第 20 个三角形 4如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形)ABCD，经测量，在四边形ABCD中， 3ABm，4BCm，12CDm，13DAm，90B （1）ACD是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米 80 元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【解答】解： （1）如图，连接AC， 在Rt ABC中，3ABm，4BCm，90B， 222 ABCBA
19、C 5ACcm， 在ACD中，5ACcm12CDm，13DAm， 222 ACCDAD， ACD是直角三角形，90ACD； （2） 1 346 2 ABC S ， 1 5 1230 2 ACD S ， 63036 ABCD S 四边形 ， 费用36 802880（元) 答：铺满这块空地共需花费 2880 元 5在甲村至乙村间有一条公路，在C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为 300 米，与公路 上的另一停靠站B的距离为 400 米，且CACB，如图所示，为了安全起见，爆破点C周围半径 250 米 范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的
20、知识 加以解答 【解答】解：公路AB需要暂时封锁 理由如下：如图，过C作CDAB于D 因为400BC 米，300AC 米，90ACB， 所以根据勾股定理有500AB 米 因为 11 22 ABC SAB CDBC AC 所以 400300 240 500 BC AC CD AB （米) 由于 240 米250米，故有危险， 因此AB段公路需要暂时封锁 6如图，已知ABC和BDE是等腰直角三角形，90ABCDBE ，点D在AC上 （1）求证： ABDCBE ； （2）若1DB ，求 22 ADCD的值 【解答】解： （1）ABC是等腰直角三角形， ABBC，90ABC，45AACB ， 同理可得
21、：DBBE，90DBE，45BDEBED ， ABDCBE ， 在ABD与CBE中， ABBC，ABDCBE ，DBBE， ()ABDCBE SAS （2）BDE是等腰直角三角形， 22DEBD， ABDCBE ， 45ABCE ，ADCE， 90DCEACBBCE ， 22222 DEDCCEADCD， 22 2ADCD 7 如图， 四边形ABCD是一个四边形的草坪，AB与AD垂直， 通过测量， 获得如下数据：12ABm，14BCm， 5ADm，3 3CDm，请你测算这块草坪的面积 （结果保留准确值） 【解答】解：连接BD，如图所示： 在Rt ABD中，12ABm，5ADm， 根据勾股定理得
22、： 2222 51213BDADABm， 又14BCm，3 3CDm， 2 196BC， 22 16927196BDCD， 222 BDCDBC， BDC为直角三角形， 则 2 39 31111 12513 3 330 22222 ABDBDCABCD SSSAB ADBD DCm 四边形 答：这块草坪的面积是 2 39 3 (30) 2 m 8在四边形ABCD中，90BC ，若4AB ，4BC ，1CD ，问：在BC上是否存在点P，使得 APPD？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由 【解答】解：存在 如图所示，APPD， 90APD， 90APBDPC ， 又DCBC， 90DCP，
23、 90PDCDPC， APBPDC ， BC ， ABPPCD， 设BPx，则4CPx， ABBP PCDC ，即4:(4):1xx， 即(4)4xx， 则 2 440 xx， 即 2 (2)0 x， 解得2x ，即2BP 9ABC的三边长分别是a、b、c，且 2 1an，2bn， 2 1cn （1）判断三角形的形状； （2）若以边b为直径的半圆面积为2，求ABC的面积； （3）若以边a、b为直径的半圆面积分别为p、q，求以边c为直径的半圆面积 （用p、q表示） 【解答】解： （1）ABC是直角三角形，理由如下： 在ABC中，三条边长分别是a、b、c，且 2 1an，2bn， 2 1(1)cn
24、n， 2222242222 (1)(2 )21 4(1)abnnnnnn ， 222 (1)cn， 222 abc， 90C，ABC是直角三角形 （2）以边b为直径的半圆的半径为r，则 2 1 ( )2 22 b ， 解得：4b ， 24n， 2n， 3a， ABC的面积 11 346 22 ab ； （3）以边a、b为直径的半圆面积分别为p、q， 2 2 1 ( ) 228 aa p ， 2 2 1 ( ) 228 bb q ， ABC是直角三角形， 222 abc， 以边c为直径的半圆面积 222 222 1 ( )() 228888 ccab abpq 10如图，在ABC中，90ACB，
25、25AB ，24AC ，AMAC，BNBC，求MN的长 【解答】解：在Rt ABC中，90ACB，24AC ，25AB ， 22 25247BC 又24AC ，7BC ，AMAC，BNBC， 24AM，7BN ， 247256MNAMBNAB 11如图，四边形ABCD中，90BAD，90DCB，E、F分别是BD、AC的中点 （1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明； （2）当16AC ，20BD 时，求EF的长 【解答】解： （1）EFAC理由如下： 连接AE、CE， 90BAD，E为BD中点， 1 2 AEDB， 90DCB， 1 2 CEBD， AECE， F是AC中点， EFAC；
26、 （2）16AC ，20BD ，E、F分别是边AC、BD的中点， 10AECE，8CF ， EFAC 22 1086EF 12法国数学家费尔马早在 17 世纪就研究过形如 222 xyz的方程，显然，这个方程有无数组解我们把 满足该方程的正整数的解(x，y，) z叫做勾股数，如(3，4，5)就是一组勾股数 （1） 在研究勾股数时， 古希腊的哲学家柏拉图曾指出： 如果n表示大于1的整数，2xn， 2 1yn， 2 1zn， 那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数） ，请你加以证明； （2）探索规律：观察下列各组数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，
27、(9，40，41)，直接写出第 6 个数组 【解答】 （1）证明： 22 xy 222 (2 )(1)nn 242 421nnn 42 21nn 22 (1)n 2 z， 即x，y，z为勾股数 （2）32 1 1 ， 2 42 12 1 ， 2 52 12 1 1 ； 5221， 2 122 22 2 ， 2 1322221 ； 7231 ， 2 242 32 3， 2 252 32 3 1 ； 9241， 2 402424， 2 412 42 4 1 ； 11251， 2 602 52 5， 2 612 52 5 1 ， 则13261， 2 2 62 684， 2 2 62 6185 ， 第
28、 6 组勾股数是：(13，84，85) 13某中学有一块四边形空地ABCD，如图现计划在该空地上种草皮，经测量90A，16ABm， 25BCm，15CDm，12ADm若每平方米草皮需 100 元，问需投入多少元？ 【解答】解：90A，16ABm，12DAm， 22 161220( )DBm， 25BCm，15CDm， 222 BDBCDC， DBC是直角三角形， 2 11 12 161520246() 22 ABDDBC SSm ， 需投入总资金为：10024624600（元) 14有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为5m，12m现在要将绿地扩充成等腰三角形绿地， 且扩允部分是以12m
29、为直角边的直角三角形，求扩充部分三角形绿地的面积 （如图备用） 【解答】解：在Rt ABC中，90ACB，5ACm，12BCm， 13ABm， （1）如图 1，当ABAD时，5CDm， 则ABD的面积为： 2 11 (55) 1260() 22 BD ACm； 若延长BC到D，使12CDACm，则ABD的面积为 1 60 2 ADBC 2 ()m， 603030 2 ()m； （2）图 2，当ABBD时，8CDm，则ABD的面积为： 2 11 (58) 1278() 22 BD ACm； 2 783048()m； （3）如图 3，当DADB时，设ADx，则5CDx， 则 222 (5)12xx
30、， 16.9x， 则ABD的面积为： 2 11 16.9 12101.4() 22 BD ACm； 2 101.43071.4()m 答：扩充后等腰三角形绿地的面积是 2 30m或 2 48m或 2 71.4m 15在四边形ABCD中，ACDC，13ADcm，12DCcm，3ABcm，4BCcm，求四边形ABCD的 面积 【解答】解：在Rt ACD中， 2222 13125ACADCDcm， 在ABC中， 22 9 1625ABBC， 22 525AC ， 222 ABBCAC， ABC是直角三角形， 四边形ABCD的面积 2 1111 345 1236 2222 AB BCAC CDcm 1
31、6在ABC中，9AB ，12AC ，15BC ，求BC边上的高AD 【解答】解：9AB ，12AC ，15BC ， 2 81AB， 2 144AC ， 2 225BC ， 222 ABACBC， 90BAC， ABC是直角三角形； 11 22 ABC SAB ACBC AD ， 9 1236 155 AD 17如图，ABC中，90ACB，10ABcm，6BCcm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线 ACBA运动，设运动时间为t秒(0)t （1）若点P在AC上，且满足PAPB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在BAC的角平分线上（但不与A点重合） ，求t的值 【解答】解： （1）在AB
32、C中，90ACB，10ABcm，6BCcm， 则由勾股定理得到： 2222 1068()ACABBCcm 设存在点P，使得PAPB， 此时PAPBt，8PCt， 在Rt PCB中， 222 PCCBPB， 即： 222 (8)6tt， 解得： 25 4 t ， 当 25 4 t 时，PAPB； （2）当点P在BAC的平分线上时，如图，过点P作PEAB于点E， 此时14BPt，8PEPCt ，1082BE ， 在Rt BEP中， 222 PEBEBP， 即： 222 (8)2(14)tt， 解得： 32 3 t ， 当 32 3 t 时，P在ABC的角平分线上 18已知，如图，1ACBCBD，3
33、AD ，求ABD的面积 【解答】解：在Rt ACB中，由勾股定理得： 2222 112ABACBC， 在ABD中，2AB ，3AD ，1BD ， 222 ABBDAD， 90ABD， ABD的面积是 112 2 1 222 ABBD 19学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度小明发现旗杆上的绳子 垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，请你帮小明求出旗杆的高度 【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为(1)xm 在Rt ABC中， 222 ABBCAC 222 5(1)xx 解得12x 12AB 旗杆的高12m 20如图所示，
34、木工师傅做一个三角形屋梁架ABC已知4ABACm，为牢固起见，还需做一根中柱 (AD AD是ABC的中线）加以连接，中柱3ADm，求屋梁跨度BC的长 【解答】解：4ABAC，AD是ABC的中线，3AD ， ADBC， 1 2 BDBC， 在Rt ABD中，由勾股定理，得 22 7BDABAD， 22 7BCBD， 屋梁跨度BC的长度是2 7m 21如图，ABC中，90ACB，10ABcm，6BCcm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折 线ACBA运动，设运动时间为t秒(0)t （1）若点P在AC上，且满足BCP的周长为14cm，求此时t的值； （2）若点P在BAC的平分线上，求此时t的值
35、； （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，BCP为等腰三角形 【解答】解： （1）如图 1 所示： 由题意得：4APt，90ACB， 2222 1068ACABBC，则84CPt， BCP的周长为 14， 146(84 )4BPtt， 在Rt BCP中，由勾股定理得： 222 6(84 )(4 )tt， 解得： 25 16 t ， 即t的值为 25 16 秒； （2）如图 2，过P作PEAB， 点P恰好在BAC的角平分线上，且90C，10AB ，6BC ， CPEP， 在Rt ACP和Rt AEP中， APAP CPEP ， ()ACPAEP HL ， 8ACcmAE，2BE ， 设CPx
36、，则6BPx，PEx， Rt BEP中， 222 BEPEBP， 即 222 2(6)xx 解得 8 3 x ， 8 3 CP， 832 8 33 CACP， 328 4( ) 33 ts ； 当点P沿折线ACBA运动到点A时，点P也在BAC的角平分线上， 此时，(1086)46( )ts ； 综上，若点P恰好在BAC的角平分线上，t的值为 8 3 s或6s； （3）如图 2，当CPCB时，BCP为等腰三角形， 若点P在CA上，则486t ， 解得 1 ( ) 2 ts； 如图 3，当6BPBC时，BCP为等腰三角形， 86620ACCBBP， 2045( )ts ； 如图 4，若点P在AB上
37、，6CPCB，作CDAB于D，则根据面积法求得4.8CD ， 在Rt BCD中，由勾股定理得，3.6BD ， 27.2PBBD， 867.221.2CACBBP， 此时21.245.3( )ts； 如图 5，当PCPB时，BCP为等腰三角形，作PDBC于D，则D为BC的中点， PD为ABC的中位线， 1 5 2 APBPAB， 86519ACCBBP， 19 194( ) 4 ts ； 综上所述，t为 1 2 s或5.3s或5s或 19 4 s时，BCP为等腰三角形 22苏科版数学八年级上册第 35 页第 2 题，介绍了应用构造全等三角形的方法测量了池塘两端A、B 两点的距离 星期天， 爱动脑
38、筋的小刚同学用下面的方法也能够测量出家门前池塘两端A、B两点的距离 他 是这样做的： 选定一个点P，连接PA、PB，在PM上取一点C，恰好有14PAm，13PBm，5PCm，12BCm， 他立即确定池塘两端A、B两点的距离为15m 小刚同学测量的结果正确吗？为什么？ 【解答】解：小刚同学测量的结果正确，理由如下： 14PAm，13PBm，5PCm，12BCm， 9ACPAPCm， 2222 512169PCBC， 22 13169PB ， 222 PCBCPB， BCP是直角三角形，90BCP， 90ACB， 2222 91215( )ABACBCm 23如图，在Rt ABC中，3AB ，4B
39、C ，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出 发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回点P，Q的运动速度均为每秒 1 个单位长 度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为(0)t t 秒 （1）设CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S； （2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长 【解答】解： （1）如图 1，当03t 时， BQt，4BC ， 1 42 2 Stt ； 如图 2，当35t 时， ， 3AQt ， 则3(3)6BQtt， 1 4(6)122 2 Stt ； （2）连接CQ，如图
40、3， QP的垂直平分线过点C， CPCQ，3AB ，4BC ， 2222 345ACABBC， 222 4(5)tt，解得 9 10 t ； 或 222 4(6)(5)tt，显然不成立； 921 3 1010 AQ 24 （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无 字证明” ，例如，著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长 都为b，斜边长都为)c，大正方形的面积可以表示为 2 c，也可以表示为 2 1 4() 2 abab，所以 22 1 4() 2 ababc， 即 222 abc 由此推导出重要的勾股定理：
41、 如果直角三角形两条直角边长为a，b， 斜边长为c，则 222 abc图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” ，请你利用图推导勾股定 理 （2）试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC的两直角边长为 3 和 4，则斜边上的高为 12 5 （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释 222 (2 )44abaabb，画在上面的网格中，并标出字母a， b所表示的线段 【解答】解： （1）梯形ABCD的面积为 22 111 ()() 222 ab abaabb， 也利用表示为 2 111 222 abcab， 222 11111 22222 aabbabcab， 即 222 abc； （2
42、）直角三角形的两直角边分别为 3，4， 斜边为 5， 设斜边上的高为h，直角三角形的面积为 11 345 22 h ， 12 5 h， 故答案为 12 5 ； （3）图形面积为： 222 (2 )44abaabb， 边长为2ab， 由此可画出的图形为： 25阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积小正方形的面积4个直角三角形的面积 从而得数学等式： 22 1 ()4 2 abcab ； （用含字母a、b、c的式子表示） 化简证得勾股定理： 222 abc 【初步运用】
43、 （1）如图 1，若2ba，则小正方形面积：大正方形面积 ； （2）现将图 1 中上方的两直角三角形向内折叠，如图 2，若4a ，6b 此时空白部分的面积为 ； 【迁移运用】 如果用三张含60的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图 3 的等边三角 形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其 推导过程 知识补充：如图 4，含60的直角三角形，对边y：斜边x 定值k 【解答】解：探索新知由题意：大正方形的面积 22 1 ()4 2 abcab， 222 22aabbcab， 222 abc 【初步运用】 （1）由题意：2ba，5ca， 小正方形面积：大正方形面积 22 5:95:9aa， 故故答案为5:9 （2）空白部分的面积为 1 5224628 2 故答案为 28 迁移运用结论： 222 ababc 理由：由题意：大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积 可得： 111 ()()3 222 abk abbkacck ， 22 ()3ababc 222 ababc
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