1、 第五章第五章 生活中的轴对称生活中的轴对称 5 5.1 1 轴对称现象 1.感知生活中的轴对称现象，探索轴对称的共同特征. 2.理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念. 2.通过大量的实例初步认识轴对称，能识别简单的轴对称图形和成轴对称的图形及其对称轴. 自学指导 阅读教材 P115116，完成下列问题. (一)知识探究 1.如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条 直线叫做对称轴. 2.对称轴是一条直线，有些轴对称图形可能有几条，甚至无数条对称轴. 3.如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条
2、直线叫做这两个图形 的对称轴. (二)自学反馈 1.如图所示的几个图案中，是轴对称图形的是( A ) 2.下面给出的四组图形中，成轴对称的是( D ) 判断是否成轴对称要看是否能沿着某条直线折叠后重合. 活动 1 1 小组讨论 例 1 1 下列两个图形是轴对称关系的有 ABC. 轴对称图形是指一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，而轴对称是两个 平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，注意两者的区别. 例 2 2 小红将一张正方形的红纸沿对角线对折后，得到一个三角形，然后在这张重叠的纸上剪出一个非常漂亮 的图案，她拿出剪出的图案问小冬，打开后的图案的对称轴至少有( B ) A
3、.0 条 B.1 条 C.2 条 D.无数条 对称轴是一条直线. 活动 2 2 跟踪训练 1.下图中哪两个图形放在一起可以组成轴对称图形. 解：C 和 D，B 和 F. 2.观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴？在图中画出所有的对称轴. 解：(1)有 2 条对称轴；(2)有 4 条对称轴；(3)有 5 条对称轴；(4)有 3 条对称轴， 如图所示： 活动 3 3 课堂小结 1.可用折叠判断是否为轴对称图形. 2.对称轴是一条直线，一条垂直于对应顶点连线的直线. 3.轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形. 5 5.2 2 探索轴对称的性质 1.
4、掌握轴对称的性质. 2.会画出已知轴对称图形的另一半. 自学指导 阅读教材 P118119，完成下列问题. (一)知识探究 轴对称的性质： (1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分； (2)对应线段相等，对应角相等. (二)自学反馈 1.如图是轴对称图形，则相等的线段有 ABCD，BEEC，相等的角是BC. 2.把图中(实线部分)补成以虚线 l 为对称轴的轴对称图形. 解：如图所示. 可先作出各点的对称点，再顺次连接各点就得到所求图形. 活动 1 1 小组讨论 例 如图，已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 MN 对称，ABC125，AB3 cm，EH4 cm. (1)试写出 EF
5、，AD 的长度； (2)求EFG 的度数； (3)连接 BF，线段 BF 与直线 MN 有什么关系？ 解：(1)因为四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 MN 对称，AB3 cm，EH4 cm， 所以 EFAB3 cm，ADEH4 cm. (2)因为ABC125，所以EFG125. (3)因为对称轴垂直平分对称点的连线， 所以直线 MN 垂直平分 BF. 活动 2 2 跟踪训练 1.如图，在四边形 ABCD 中，边 AB 与 AD 关于 AC 对称，则下列说法错误的是( D ) A.OBOD B.AC 平分BAD C.BDAC D.OAOC 2.如图，正方形 ABCD 的面积为 16
6、 cm 2，则图中阴影部分的面积为( B ) A.4 cm 2 B.8 cm2 C.12 cm2 D.6 cm2 利用轴对称性把阴影部分移到对称轴的同一边，即可发现阴影部分面积为全部面积的一半. 3.如图，请在网格纸上，画出所给图形关于直线 l 对称的图形. 解：如图所示. 活动 3 3 课堂小结 1.在轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 2.轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置. 3.成轴对称的两个图形，它们的对应线段或其延长线相交，交点在对称轴上. 5.35.3 简单的轴对称图形 第 1 课时 等腰三角形的性质 1.理解等腰三
7、角形的有关概念. 2.探索并掌握等腰三角形的性质. 3.了解等边三角形的概念，探索并掌握等边三角形的性质. 自学指导 阅读教材 P121，完成下列问题. (一)知识探究 1.等腰三角形是轴对称图形. 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰 三角形的对称轴. 3.等腰三角形的两个底角相等. 4.等边三角形有三条对称轴，等边三角形每条边都相等. (二)自学反馈 1.下列说法中，正确的有( D ) 等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；等 腰三角形是轴对称图形. A.1 个 B.2 个 C.
8、3 个 D.4 个 2.ABC 中，ABAC. (1)若B45，则A90，C45； (2)若C60，则A60，B60. 活动 1 1 小组讨论 例 1 1 如图，在ABC 中，ABAC，A40，BD 是ABC 的平分线，求BDC 的度数. 解：因为 ABAC，A40， 所以ABCC180A 2 70. 因为 BD 是ABC 的平分线， 所以DBC1 2ABC35. 所以BDC180DBCC75. 例 2 2 如图，在一条河的同岸有两个村庄 A 和 B，两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什么地方可以使桥到 两村的距离之和最短？ 解：如图，作点 A 关于河岸的对称点 C，连接 BC 交河岸于点 P
9、，点 P 就是桥的位置. 理由：两点之间线段最短. 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从 而作出最短路径的选择. 活动 2 2 跟踪训练 1.如图，ABC 中，ACBC，直线l经过点 C，则下列说法正确的是( D ) A.l垂直 AB B.l平分 AB C.l垂直平分 AB D.l与 AB 的关系不能确定 2.已知等腰三角形的顶角为 80，那么它的一个底角为 50. 3.如图，P，Q 是ABC 的边 BC 上的两点，且 BPPQQCAPAQ，求BAC 的度数. 解：因为 PAPQAQ， 所以APQPQAQAP60. 因为 PAPB， 所以BPA
10、B. 又因为BPAB180APB180(180APQ)60， 所以PBAPAB30.同理QAC30. 所以BACBAPPAQQAC 306030 120. 活动 3 3 课堂小结 在等腰三角形中，常常需要作底边上的高，运用等腰三角形“三线合一”的性质，对于解决相关问题能起到事 半功倍的效果.对于等边三角形，它属于特殊的等腰三角形， “三线合一”的性质就更能不受限制，淋漓尽致地发挥 了. 第 2 课时 线段垂直平分线的性质及画法 1.经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念. 2.探索并掌握线段垂直平分线的有关性质. 自学指导 阅读教材 P123P124，完成下列问题
11、. (一)知识探究 1.线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 2.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. (二)自学反馈 1.如图， 直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线， P 是直线 CD 上的一点.已知线段 PA5， 则线段 PB 的长度为( B ) A.6 B.5 C.4 D.3 2.如图， 在ABC 中， 分别以点 A， B 为圆心， 大于1 2AB 的长为半径画弧， 两弧分别交于点 D， E， 则直线 DE 是( D ) A.A 的平分线 B.AC 边的中线 C.BC 边的高线 D.AB 边的垂直平分线 活动 1 1 小组讨论 例 1 1 如图，在
12、ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE3 cm，ABD 的周长为 13 cm，求ABC 的周长. 解：因为 DE 是 AC 的垂直平分线， 所以 ADCD，AC2AE6(cm). 因为ABD 的周长为 13 cm， 所以 ABBDADABBDDCABBC13 cm. 所以ABC 的周长为 ABBCAC13619(cm). 由垂直平分线的性质得 ADDC，再通过线段之间的等量代换即可得出ABC 的周长. 例 2 2 某旅游景区内有一块三角形绿地 ABC，如图所示，现要在道路 AB 的边缘上建一个休息点 M，使它到 A，C 两个点的距离相等.在图中确定休息点 M 的位置. 解：作 AC 的
13、垂直平分线交 AB 于 M 点，则点 M 即为所求. 活动 2 2 跟踪训练 1.如图，已知直线 MN 是线段 AB 的中垂线，垂足为 N，AM5 cm，MAB 的周长为 16 cm，那么 AN 等于( A ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 2.如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图： 分别以 B，C 为圆心，大于1 2BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N； 作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD. 若 CDAC，A50，则ACB 的度数为( D ) A.90 B.95 C.100 D.105 活动 3 3 课堂小结 本课时主要学些了哪些知识与方法，有
14、何收获和感悟？ (1)线段的轴对称性：线段是轴对称图形. (2)线段的垂直平分线的性质 内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等. 作用：见垂直平分线，得线段相等. (3)线段垂直平分线的作图. 第 3 课时 角平分线的性质及画法 1.经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念. 2.探索并掌握角平分线的有关性质. 自学指导 阅读教材 P125P126，完成下列问题. (一)知识探究 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. (二)自学反馈 1.下列图形中，不是轴对称图形的是( D ) A.角
15、B.等边三角形 C.线段 D.直角三角形 2.如图，CDOA，CEOB，D，E 为垂足. (1)若12，则有 CDCE； (2)若 CDCE，则有12. 活动 1 1 小组讨论 例 1 1 如图，已知 AO 平分BAC，OEAB，ODAC.试说明：OEOD. 解：因为 AO 平分BAC，OEAB，ODAC， 所以 OEOD(角平分线上的点到角两边的距离相等). 角平分线的性质是说明线段相等的另一个途径，其前提条件有两条：(1)角平分线；(2)垂直. 例 2 2 如图，已知线段 a 和AOB. (1)在 OA 边上作点 P，使 OP2a； (2)作AOB 的平分线. 解：(1)点 P 为所求作.
16、 (2)OC 为所求作. 角平分线的作图依据是“SSS”. 活动 2 2 跟踪训练 1.如图，OE 平分AOB，ECOA 于点 C，EDOB 于点 D，ED 与 EC 的长度关系为( B ) A.EDEC B.EDEC C.EDEC D.无法确定 2.如图，已知AOB.小明按如下步骤作图： 在 OA 和 OB 上分别截取 OD，OE，使 ODOE； 分别以 D，E 为圆心，大于1 2DE 的长为半径作弧，两弧在AOB 的内部交于点 C； 作射线 OC. 根据上述作图步骤，回答下列问题： (1)写出一个正确的结论：OC 为AOB 的平分线； (2)如果在 OC 上任取一点 M，那么点 M 到 O
17、A，OB 的距离相等. 依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 活动 3 3 课堂小结 在已知角平分线的条件下，常想到过角平分线上的点向角两边作垂线段的方法，在已知角平分线的条件下，也 可想到翻折的方法. 5 5.4 4 利用轴对称进行设计 1.经历对图形进行观察、 分析、 欣赏和动手操作、 画图的过程， 掌握有关画图的操作技能， 发展初步审美能力， 增强对图形欣赏的意识. 2.能按要求把所给出的图形补成以某条直线为对称轴的轴对称图形，能依据图形的轴对称关系设计轴对称图 形. 自学指导 阅读教材 P128129，完成下列问题. (一)知识探究 轴对称的性质： 在轴对称图形中：(1)对应
18、点所连的线段被对称轴垂直平分；(2)对应线段相等，对应角相等. (二)自学反馈 要在一块长方形的空地上修建一个共坛，要求花坛图案为轴对称图形，图中的设计符合要求的有( A ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 活动 1 1 小组讨论 例 1 1 如图，直线l是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半. 题图 答案图 解：如图所示. 例 2 2 如图甲，正方形被划分成 16 个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： (1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； (2)涂黑部分成轴对称图形.如图乙是一种涂法，请在图 13 中分别设计另外三种涂法.(在所设计的图案中， 若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙) 解：不同涂法的图案例举如下. 活动 2 2 跟踪训练 把下列各图补成以 l 为对称轴的轴对称图形. 解：如图所示. 活动 3 3 课堂小结 本节课学习了已知对称轴和一个点如何画出它的对应点，以及如何补全图形，并利用轴对称的性质知道如何设 计轴对称图形.
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