1、20192019- -20202020 学年河南省洛阳市洛龙区九年级下期中数学试卷学年河南省洛阳市洛龙区九年级下期中数学试卷 一、选择题（共 10 小题）. 1实数的相反数是（ ） A B C2 D2 2国家主席习近平提出“金山银山，不如绿水青山”，国家环保部大力治理环境污染，空 气质量明显好转，将惠及 13.75 亿中国人，这个数字用科学记数法表示为（ ） A13.7510 6 B13.7510 5 C1.37510 8 D1.37510 9 3将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置若160，则2 的度数为（ ） A60 B45 C50 D30 4如图，由 8 个大小相同的正方体组成的几何体
2、的主视图和俯视图，则这个几何体的左视 图是（ ） A B C D 5下列各运算中，计算正确的是（ ） Aa 2+2a23a4 Bb 10b2b5 C（mn） 2m2n2 D（2x 2）38x6 6已知关于x的一元二次方程（a1）x 22x+10 无实数根，则 a的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 且a1 7 一次数学测试后， 随机抽取九年级三班 6 名学生的成绩如下： 80， 85， 86， 88， 88， 95 关 于这组数据的错误说法是（ ） A极差是 15 B众数是 88 C中位数是 86 D平均数是 87 8如图，在 22 的正方形网格中有 9 个格点，已经取定点A和B
3、，在余下的 7 个点中任取 一点C，使ABC为直角三角形的概率是（ ） A B C D 9如图，在ABCD中，用直尺和圆规作BAD的平分线AC交BC于点E若BCD80， 则AEC的度数为（ ） A80 B100 C120 D140 10在边长为 2 的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作 EFAC，分别交正方形的两条边于点E，F设BPx，BEF的面积为y，则能反映y与 x之间关系的图象为（ ） A B C D 二填空题（共 5 小题，共 15 分） 113 0（ ） 2+|2| 12不等式组的最小整数解是 13抛物线y（x1） 21 的顶点在直线 ykx3 上
4、，则k 14如图矩形ABCD中，AD1，CD，连接AC，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转 90至AE、AF，线段AE与弧BF交于点G，连接CG，则图中阴影部分面积为 15如图，RtABC纸片中，C90，AC6，BC8，点D在边BC 上，以AD为折痕 ABD折叠得到ABD，AB与边BC交于点E若DEB为直角三角形，则BD的长 是 三解答题（共 8 小题） 16化简分式：（），并从 1，2，3，4 这四个数中取一个合适的 数作为x的值代入求值 17为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学 校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两
5、幅统计 图，请根据图中的信息，完成下列问题： （1）学校这次调查共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为 ； （4）设该校共有学生 2000 名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？ 18如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PCAB，点M是OP 中点 （1）求证：四边形OBCP是平行四边形； （2）填空： 当BOP 时，四边形AOCP是菱形； 连接BP，当ABP 时，PC是O的切线 19风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如 图 1），图 2 是从图 1 引出的平面图假设你站在
6、A处测得塔杆顶端C的仰角是 55， 沿HA方向水平前进 43 米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此 时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是 45已知叶片的长度为 35 米 （塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为 10 米，BGHG，CHAH，求塔杆CH 的高（参考数据：tan551.4，tan350.7，sin550.8，sin350.6） 20如图，在矩形OABC中，OA3，OC2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过 点F的反比例函数y（k0）的图象与BC边交于点E （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，EFA的
7、面积最大，最大面积是多少？ 21 某汽车专卖店计划购进甲、 乙两种新型汽车共 140 辆， 这两种汽车的进价、 售价如下表： 进价（万元/辆） 售价（万元/辆） 甲 5 8 乙 9 13 （1）若该汽车专卖店投入 1000 万元资金进货，则购进甲乙两种新型汽车各多少辆？ （2）若该汽车专卖店准备乙种型号汽车的进货量不超过甲种型号汽车的进货量的 3 倍， 应怎样安排进货方案，才能使该汽车专卖店售完这两种新型汽车后获得的利润最大？最 大利润是多少？（其它成本不计） 22如图 1，在ABC中，BABC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DEDC （1）问题发现：若ACBECD45，则 （2）
8、拓展探究，若ACBECD30，将EDC绕点C按逆时针方向旋转 度（0 180），图 2 是旋转过程中的某一位置，在此过程中的大小有无变化？如果 不变，请求出的值，如果变化，请说明理由 （3）问题解决：若ACBECD（090），将EDC旋转到如图 3 所示的 位置时，则的值为 （用含 的式子表示） 23如图，抛物线yx 2+bx+c 与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）， 点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB （1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m 当MBABDE时，求点M的坐标； 过点M作MNx轴，与抛
9、物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将PMN沿着 MN翻折，得QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值 参考答案参考答案 一选择题（共 10 小题，30 分） 1实数的相反数是（ ） A B C2 D2 解：实数的相反数是， 故选：A 2国家主席习近平提出“金山银山，不如绿水青山”，国家环保部大力治理环境污染，空 气质量明显好转，将惠及 13.75 亿中国人，这个数字用科学记数法表示为（ ） A13.7510 6 B13.7510 5 C1.37510 8 D1.37510 9 解：13.75 亿这个数字用科学记数法表示为 1.37510 9 故选：D 3将一直角三角板与
10、两边平行的纸条如图放置若160，则2 的度数为（ ） A60 B45 C50 D30 解：如图，160，FEG90， 330， ABCD， 2330 故选：D 4如图，由 8 个大小相同的正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视 图是（ ） A B C D 解：该组合体共有 8 个小正方体，俯视图和主视图如图， 该组合体共有两层，第一层有 5 个小正方体，第二层有三个小正方体，且全位于第二 层的最左边， 左视图应该是两层，每层两个， 故选：B 5下列各运算中，计算正确的是（ ） Aa 2+2a23a4 Bb 10b2b5 C（mn） 2m2n2 D（2x 2）38x6 解：A、a
11、 2+2a23a2，故此选项错误； B、b 10b2b8，故此选项错误； C、（mn） 2m22mn+n2，故此选项错误； D、（2x 2）38x6，故此选项正确； 故选：D 6已知关于x的一元二次方程（a1）x 22x+10 无实数根，则 a的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 且a1 解：关于x的一元二次方程（a1）x 22x+10 无实数根， ， 解得：a2 故选：B 7 一次数学测试后， 随机抽取九年级三班 6 名学生的成绩如下： 80， 85， 86， 88， 88， 95 关 于这组数据的错误说法是（ ） A极差是 15 B众数是 88 C中位数是 86 D平均数是
12、87 解：A、极差是 15，故A正确； B、众数是 88，故B正确； C、中位数是 87，故C错误； D、平均数是 87，故D正确 故选：C 8如图，在 22 的正方形网格中有 9 个格点，已经取定点A和B，在余下的 7 个点中任取 一点C，使ABC为直角三角形的概率是（ ） A B C D 解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形， 则使ABC为直角三角形的概率是： 故选：B 9如图，在ABCD中，用直尺和圆规作BAD的平分线AC交BC于点E若BCD80， 则AEC的度数为（ ） A80 B100 C120 D140 解：四边形ABCD为平行四边形， BADBCD80，A
13、DBC， 由作法得AE平分BAD， FAEBAD40， AFBE， AEBFAE40， AEC18040140 故选：D 10在边长为 2 的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作 EFAC，分别交正方形的两条边于点E，F设BPx，BEF的面积为y，则能反映y与 x之间关系的图象为（ ） A B C D 解：四边形ABCD是正方形， ACBD2，OBODBD， 当P在OB上时，即 0 x， EFAC， BEFBAC， EF：ACBP：OB， EF2BP2x， yEFBP2xxx 2； 当P在OD上时，即x2， EFAC， DEFDAC， EF：ACDP：OD，
14、即EF：2（2x）：， EF2（2x）， yEFBP2（2x）xx 2+2 x， 这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知： 二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数 当系数0 时，抛物线开口向上；系数0 时，开口向下所以由此图我们会发现，EF 的取值，最大是AC当在AC的左边时，EF2BP；所以此抛物线开口向上，当在AC的右 边时，抛物线就开口向下了 故选：C 二填空题（共 5 小题，共 15 分） 113 0（ ） 2+|2| 6 解：3 0（ ） 2+|2| 14+2 4+2 6 故答案为：6 12不等式组的最小整数解是 1 解：解第一个不等式得：x3； 解第二个不等式得：
15、x2 故不等式组的解集是：2x3 故最小整数解是：1 故答案为：1 13抛物线y（x1） 21 的顶点在直线 ykx3 上，则k 2 解：抛物线解析式为y（x1） 21， 抛物线的顶点坐标为（1，1）， 顶点在直线ykx3， 1k3， k2 故答案为 2 14如图矩形ABCD中，AD1，CD，连接AC，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转 90至AE、AF， 线段AE与弧BF交于点G， 连接CG， 则图中阴影部分面积为 解：在矩形ABCD中， AD1，CD， AC2，tanCAB， CAB30， 线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转 90至AE、AF， CAEBAF90， BAG60， AGAB
16、， 阴影部分面积SABC+S扇形ABGSACG1+2 ， 故答案为： 15如图，RtABC纸片中，C90，AC6，BC8，点D在边BC 上，以AD为折痕 ABD折叠得到ABD，AB与边BC交于点E 若DEB为直角三角形， 则BD的长是 2 或 5 解：RtABC纸片中，C90，AC6，BC8， AB10， 以AD为折痕ABD折叠得到ABD， BDDB，ABAB10 如图 1 所示：当BDE90时，过点B作BFAF，垂足为F 设BDDBx，则AF6+x，FB8x 在 RtAFB中，由勾股定理得：AB 2AF2+FB2，即（6+x）2+（8x）2102 解得：x12，x20（舍去） BD2 如图
17、2 所示：当BED90时，C与点E重合 AB10，AC6， BE4 设BDDBx，则CD8x 在 RtBDE中，DB 2DE2+BE2，即 x 2（8x）2+42 解得：x5 BD5 综上所述，BD的长为 2 或 5 故答案为：2 或 5 三解答题（共 8 小题） 16化简分式：（），并从 1，2，3，4 这四个数中取一个合适的 数作为x的值代入求值 解： （） ） （） x+2， x 240，x30， x2 且x2 且x3， 可取x1 代入，原式3 17为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学 校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制
18、成下列两幅统计 图，请根据图中的信息，完成下列问题： （1）学校这次调查共抽取了 100 名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为 36 ； （4）设该校共有学生 2000 名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？ 解：（1）学校本次调查的学生人数为 1010%100 名， 故答案为：100； （2）“民乐”的人数为 10020%20 人， 补全图形如下： （3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为 36010%36， 故答案为：36； （4）估计该校喜欢书法的学生人数为 200025%500 人 18如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上
19、不与点A，B重合的动点，PCAB，点M是OP 中点 （1）求证：四边形OBCP是平行四边形； （2）填空： 当BOP 120 时，四边形AOCP是菱形； 连接BP，当ABP 45 时，PC是O的切线 【解答】（1）证明：PCAB， PCMOAM，CPMAOM 点M是OP的中点， OMPM，在CPM和AOM中， CPMAOM（AAS）， PCOA AB是半圆O的直径， OAOB， PCOB 又PCAB， 四边形OBCP是平行四边形 （2）解：四边形AOCP是菱形， OAPA， OAOP， OAOPPA， AOP是等边三角形， AAOP60， BOP120； 故答案为：120； PC是O的切线，
20、OPPC，OPC90， PCAB， BOP90， OPOB， OBP是等腰直角三角形， ABPOPB45， 故答案为：45 19风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如 图 1），图 2 是从图 1 引出的平面图假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是 55， 沿HA方向水平前进 43 米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此 时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是 45已知叶片的长度为 35 米 （塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为 10 米，BGHG，CHAH，求塔杆CH 的高（参考数据：tan551.4，tan350
21、.7，sin550.8，sin350.6） 解：如图，作BEDH于点E， 则GHBE、BGEH10， 设AHx，则BEGHGA+AH43+x， 在 RtACH中，CHAHtanCAHtan55x， CECHEHtan55x10， DBE45， BEDECE+DC，即 43+xtan55x10+35， 解得：x45， CHtan55x1.44563， 答：塔杆CH的高为 63 米 20如图，在矩形OABC中，OA3，OC2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过 点F的反比例函数y（k0）的图象与BC边交于点E （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，EFA的面积
22、最大，最大面积是多少？ 解：（1）在矩形OABC中，OA3，OC2， B（3，2）， F为AB的中点， F（3，1）， 点F在反比例函数y（k0）的图象上， k3， 该函数的解析式为y（x0）； （2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，）， SEFAAFBEk（3k）， kk 2 （k 26k+99） （k3） 2+ ， 在边AB上，不与A，B重合，即 02，解得 0k6， 当k3 时，S有最大值 S最大值 21 某汽车专卖店计划购进甲、 乙两种新型汽车共 140 辆， 这两种汽车的进价、 售价如下表： 进价（万元/辆） 售价（万元/辆） 甲 5 8 乙 9 13 （1）若该汽车
23、专卖店投入 1000 万元资金进货，则购进甲乙两种新型汽车各多少辆？ （2）若该汽车专卖店准备乙种型号汽车的进货量不超过甲种型号汽车的进货量的 3 倍， 应怎样安排进货方案，才能使该汽车专卖店售完这两种新型汽车后获得的利润最大？最 大利润是多少？（其它成本不计） 解：（1）设购进甲种新型汽车x辆，购进乙种新型汽车y辆， 根据题意，得：， 解得：， 答：购进甲种新型汽车 65 辆，购进乙种新型汽车 75 辆； （2）设购进a辆甲种新型汽车，则购进乙种新型车辆（140a）辆， 令该汽车专卖店售完这两种新型汽车后获得的利润为W， 根据题意，W（85）a+（139）（140a）a+560， 140a3
24、a，且a为整数， a35，a为整数， W随a的增大而减小， 当a35 时，W取得最大值，最大值为35+560525（万元）， 即购进 35 辆甲种新型汽车，则购进乙种新型车辆 105 辆， 答：购进 35 辆甲种新型汽车，则购进乙种新型车辆 105 辆，获得的利润最大，最大利润 是 525 万元 22如图 1，在ABC中，BABC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DEDC （1）问题发现：若ACBECD45，则 （2）拓展探究，若ACBECD30，将EDC绕点C按逆时针方向旋转 度（0 180），图 2 是旋转过程中的某一位置，在此过程中的大小有无变化？如果 不变，请求出的值，如果变
25、化，请说明理由 （3）问题解决：若ACBECD（090），将EDC旋转到如图 3 所示的 位置时，则的值为 2cos （用含 的式子表示） 解：（1）如图 1，过E作EFAB于F， BABC，DEDC，ACBECD45， ACDEC45， BEDC90， 四边形EFBD是矩形， EFBD， EFBC， AEF是等腰直角三角形， ， 故答案为：； （2）此过程中的大小有变化， 由题意知，ABC和EDC都是等腰三角形， ACBCABECDCED30， ABCEDC， ，即， 又ECD+ECBACB+ECB， ACEBCD， ACEBCD， ， 在ABC中，如图 2，过点B作BFAC于点F，则AC2
26、CF， 在 RtBCF中，CFBCcos30BC， ACBC ； （3）由题意知，ABC和EDC都是等腰三角形，且ACBECD， ACBCABECDCED， ABCEDC， ，即， 又ECD+ECBACB+ECB， ACEBCD， ACEBCD， ， 在ABC中，如图 3，过点B作BFAC于点F，则AC2CF， 在 RtBCF中，CFBCcos， AC2BCcos 2cos， 故答案为 2cos 23如图，抛物线yx 2+bx+c 与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）， 点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB （1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标； （
27、2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m 当MBABDE时，求点M的坐标； 过点M作MNx轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将PMN沿着 MN翻折，得QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值 解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入yx 2+bx+c， 得到，解得， 抛物线的解析式为yx 2+2x+3 yx 2+2x1+1+3（x1）2+4， 顶点D坐标（1，4） （2）作MGx轴于G，连接BM则MGB90，设M（m，m 2+2m+3）， MG|m 2+2m+3|，BG3m， tanMBA， DEx轴，D（1，4）， DEB90，DE4，OE1， B（3，0）， BE2， tanBDE， MBABDE， 当点M在x轴上方时， 解得m或 3（舍弃）， M（，）， 当点M在x轴下方时， 解得m或m3（舍弃）， 点M（，）， 综上所述，满足条件的点M坐标（，）或（，）； 如图中，MNx轴， 点M、N关于抛物线的对称轴对称， 四边形MPNQ是正方形， 点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP1， 易证GMGP，即|m 2+2m+3|1m|， 当m 2+2m+31m 时，解得m， 当m 2+2m+3m1 时，解得 m， 满足条件的m的值为或；
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