1、 分式方程 第14讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.分式方程的概念及计算 2.分式方程的应用 教学目标 1.理解分式方程的概念； 2.掌握解分式方程的基本方法和步骤； 3.通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性； 教学重点 解分式方程及应用 教学难点 解分式方程及应用 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握分式方程的计算以及分式方程的应用。分式方程的计算重点在于 分式化整式，分式方程有解无解的问题。教师在授课过程中注意学生对分式方程的验根。 学生学习本节时可能会在以下几个
2、方面感到困难： 1. 分式方程有解无解的判定。 2. 分式方程的应用。 【知识导图】【知识导图】 分式方程 分式方程的概念及计算 分式方程的应用 概述 【教学建议】【教学建议】 有关分式方程的问题，学生在计算和应用上容易出错，教师在授课过程中注意计算步骤以及验根的过程， 应用上体现未知数做分母的思想。 1、定义：分式方程：分母中含有未知数得方程。 分式方程重要特征： （1）含分母 （2）分母中含未知数 分式方程与整式方程的区别：分式方程中分母含有未知数，而整式方程中的分母不含有未知数。 2、解分式方程分式方程：注意事项：学生在解方程过程中易犯的错误：1、解方程时忘记检验；2、去分母 时忘记加括
3、号；3、去分母时漏乘不含分母的项. 让学生类比列一元一次方程解应用题的一般步骤总结出列分式方程解应用题的一般步骤.强调两次验根的 重要性. “审-设-列-解-验-答”的步骤解决问题. 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 分式方程的概念及计算 知识点 2 分式方程的应用 三、例题精析 例题 1 【题干】【题干】下面是分式方程的是（ ） A B C D 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据分式方程的定义解题 【题干】【题干】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是 25 千米 ，但交通比较拥堵，路 线二的全程是 30 千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高 80%
4、，因此能比走路线一少用 10 分钟到 达若设走路线一时的平均速度为 x 千米/小时，根据题意得：（ ） A 253010 (1 80%)60 xx B 2530 10 (1 80%)xx C 302510 (1 80%)60 xx D 3025 10 (1 80%)xx 【答案】【答案】A 【解析】【解析】若设走路线一时的平均速度为 x 千米/小时，根据路线一的全程是 25 千米，但交通比较拥堵，路 线二的全程是 30 千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高 80%，因此能比走路线一少用 10 分钟到达 可列出方程 故选 A 【题干】【题干】解分式方程时，去分母后变形正确的为（ ） A2+
5、（x+2）=3（x-1） B2-x+2=3（x-1） C2-（x+2）=3 D2-（x+2）=3（x-1） 【答案】【答案】D 253010 (1 80%)60 xx 例题 2 例题 3 【解析】【解析】根据分式方程的特点， 原方程化为： 22 3 11 x xx ，去分母时，两边同乘以 x1，得： 2(2)3(1)xx故选 D 【题干】【题干】已知关于 x 的分式方程 3 1 11 m xx 的解是非负数，则 m 的取值范围是（ ） A.m2 B.m2 C.m2 且 m3 D.m2 且 m3 【答案】【答案】C. 【解析】【解析】分式方程去分母得：m-3=x-1， 解得：x=m-2， 由方程
6、的解为非负数，得到 m-20，且 m-21， 解得：m2 且 m3故选 C. 【题干】【题干】若分式方程 1 3 22 ax xx 有增根，则 a 的值是（ ） A1 B0 C1 D3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】去分母得：1+3x6=ax，由题意得：x2=0，即 x=2，代入整式方程得：1+66=a2，解得： a=3故选 D 1. 下列关于x的方程5 3 1 x ， 1 41 xx ， x x 3 3 1， 1 1 ba x 中， 是分式方程的是 （ ） （填序号） 【答案】【答案】 【解析】【解析】根据分式方程的定义即可判断. 符合分式方程的定义的是 2.下面说法中,正确的是（ ）
7、 例题 4 例题 5 四 、课堂运用 基础 A. 分式方程一定有解 B. 分式方程就是含有分母的方程 C. 分式方程中，分母中一定含有未知数 D. 把分式方程化为整式方程，则这个整式方程的解就是这个分式方程的解 【答案】【答案】C 【解析】【解析】A. 分式方程不一定有解，故本选项错误； B. 根据方程必须具备两个条件：含有未知数；是等式，故本选项错误； C. 分式方程中，分母中一定含有未知数，故本选项正确； D. 把分式方程化为整式方程，这个整式方程的解不一定是这个分式方程的解，故本选项错误；故选 C. 3.某电子元件厂准备生产 4600 个电子元件，甲车间独立生产一半后，由于要尽快投入市场
8、，乙车间也加入 了该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的 13 倍，结果用 33 天完成任务，问 甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件 x 个，根据题意可得方程为 （ ） A 23002300 33 1.3xx B 23002300 33 1.3xxx C 23004600 33 1.3xxx D 46002300 33 1.3xxx 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据题意可知甲车间每天生产电子元件 x 个，则乙每天生产电子元件 13x 个，由此可知甲单独 生产的天数为天，甲乙两车间合作生产的时间为天，根据一共用的得时间可列方程为 +=3
9、3故选 B 1.某园林队计划由 6 名工人对 200 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了 2 名工人，结果比计划提前 3 小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积设每人每小时的绿化面积为 x 平 方米，列出满足题意的方程是（ ） A 200200 3 6(62)xx B 200200 3 (62)6xx C 200200 3 62xx D 200200 3 26xx 2300 x 2300 1.3xx 2300 x 2300 1.3xx 巩固 【答案】【答案】A 【解析】【解析】设每人每小时的绿化面积为 x 平方米， 由题意得， 200200 3 6(62)xx 故选
10、 A 2.用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么 这个整式方程是（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】分式方程 变形为 13 10 1 x x x x ，如果设，将原方程化为关于的整式方程为 3.已知关于 x 的分式方程 a2 1 x1 的解是非正数，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 且 a2 Ca1 且 a2 Da1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】分式方程去分母得：a+2=x+1，解得：x=a+1， 分式方程的解为非正数，a+10，解得：a1。 又当 x=1 时，分式方程无意义，把 x=1 代入 x=a+1 得a2 。 要使分式方
11、程有意义，必须 a2。 a 的取值范围是 a1 且 a2。 故选 B。 4.新定义a，b为一次函数（其中 a0，且 a，b 为实数）的“关联数”，若“关联数”3，m+2所对应的 一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 11 1 1xm 的解为 【答案】【答案】 5 3 . 【解析】【解析】根据“关联数”3，m+2所对应的一次函数是正比例函数， 得到 y=3x+m+2 为正比例函数，即 m+2=0， 解得：m=-2， 则分式方程为 11 1 12x ， 去分母得：2-（x-1）=2（x-1）， 去括号得：2-x+1=2x-2， 13 10 1 xx xx 1x y x y 2 30yy 2 3
12、10yy 2 310yy 2 310yy 13 10 1 xx xx 1x y x y 2 30yy 解得：x= 5 3 ， 经检验 x= 5 3 是分式方程的解 1.若关于 x 的分式方程 x3a 2 x12x2 有非负数解，则 a 的取值范围是 【答案】【答案】 4 a 3 且 2 a 3 【解析】【解析】解方程得： 6 43 436 )22(232 a x ax xax 有题意可得：01xx且，则 4 a 3 且 2 a 3 2.若关于 x 的方程=+1 无解，则 a 的值为（ ） A1 B2 C1 或 2 D0 或 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据分式方程无解的条件是：去分
13、母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程 的分母等于 0因此把方程去分母得：ax=4+x2，解得（a1）x=2，因此可以分情况知： 当 a1=0 即 a=1 时，整式方程无解，分式方程无解； 当 a1 时，x= 2 1a x=2 时分母为 0，方程无解，即 2 1a =2，因此 a=2 时方程无解故选 C 3.某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造该工程若由甲队单独 施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的 1.5 倍如果由甲、乙 队先合做 15 天，那么余下的工程由甲队单独完成还需 5 天 （1）这项工程的规定时间
14、是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为 6500 元，乙队每天的施工费用为 3500 元为了缩短工期以减少对居民用 水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成则该工程施工费用是多少？ 【答案】【答案】（1）30 天；（2）180000 元 【解析】【解析】解：（1）设这项工程的规定时间是 x 天， 拔高 根据题意得：（ 1 x + 1 1.5x ）15+ 5 x =1 解得：x=30 经检验 x=30 是原分式方程的解 答：这项工程的规定时间是 30 天 （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1（ 1 30 + 1 1.5 30 ）=18（天）， 则该工程施工费用是：18
15、（6500+3500）=180000（元） 答：该工程的费用为 180000 元 解分式方程的步骤：1.去分母（找准最简公分母），将分式方程化为整式方程；2.解整式方程；3.验根 列分式方程解决实际问题：审-设-列-解-验-答 强调未知数做分母的思想。 1.下列方程中不是分式方程的是（ ） 2143 .31.7 112 .4.30 231 x AxB xxy x CxD x 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据分式方程的定义依次分析各项即可判断。A、B、D 是分式方程，C 是整式方程，故选 C. 2. A B 两地相距 48 千米， 一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地， 又立即从 B 地
16、逆流返回 A 地， 共用去 9 小时， 已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则可列方程（ ） A B 9 4 48 4 48 xx 9 4 48 4 48 xx 课堂小结 扩展延伸 基础 C D 【答案答案】A 【解析解析】设该轮船在静水中的速度为 x 千米/时，由题意得：，故选 A 3.把分式方程 2 3 x xx =1 化为一元一次方程_ 【答案答案】.362xx 【解析解析】方程两边乘以最简公分母) 3( xx，即可得到结果。 方程两边乘以最简公分母) 3( xx，得.362xx 1.某市为治理污水，需要铺设一段全长为 300m的污水排放管道。铺设 1
17、20m后，为了尽量减少施工对城市 交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加 20%，结果共用 30 天完成这一任务、求原计划每天铺设 管道的长度，如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可得方程_. 【答案答案】120 300 120 (1 0.2)xx =30.或120 180 1.2xx =30 【解析解析】因为原计划每天铺设x(m)管道，所以后来的工作效率为(1+20%)x(m)， 根据题意，得 120300 120 (1 0.2)xx =30. 或120 180 1.2xx =30 故答案为：120 300 120 (1 0.2)xx =30. 或120 180 1.2xx =
18、30 2.下面是解分式方程的过程，阅读完后请填空 解方程： 480600 45 2xx 解：方程两边都乘以2x，得 94 48 x 9 4 96 4 96 xx 9 4 48 4 48 xx 巩固 960 - 600=90 x， 解这个方程，得4x 经检验，4x 是原方程的根 第一步计算中的2x是： ；这个步骤用到的依据是 ； 解方式方程与解一元一次方程之间的联系是： 【答案答案】 是分母 x 和 2x 的最简公分母；等式的基本性质；解分式方程就是利用等式的基本性质把分式方 程转化为一元一次方程求解 【解析解析】解：第一步计算中的2x是：分母 x 和 2x 的最简公分母；这个步骤用到的依据是等
19、式的基本性质； 解方式方程与解一元一次方程之间的联系是：解分式方程就是利用等式的基本性质把分式方程转化为一元 一次方程求解 3.分式方程 2 22 xm x xxx x 有增根，则增根可能是（ ） A0 B2 C0 或 2 D1 【答案答案】C 【解析解析】方程两边通乘以 x（x-2）得 x=2（x-2）+m，解得 x=4-m，由于有增根，所以 4-m=0 或 4-m=2故 选 C 1.若关于的分式方程无解，则 【答案答案】1或-2 【解析解析】解：方程两边都乘 x（x-1）得，x（x-a）-3（x-1）=x（x-1）， 整理得，（a+2）x=3， 当整式方程无解时，a+2=0 即 a=-2，
20、 当分式方程无解时：x=0 时，a 无解， x=1 时，a=1， 所以 a=1 或-2 时，原方程无解 2.某家电销售商城电冰箱的销售价为每台 2100 元，空调的销售价为每台 1750 元，每台电冰箱的进价比每 台空调的进价多 400 元，商城用 80000 元购进电冰箱的数量与用 64000 元购进空调的数量相等。 (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少? (2)现在商城准备一次购进这两种家电共 100 台，设购进电冰箱x台，这 100 台家电的销售总利润为y元， 要求购进空调数量不超过电冰箱数量的 2 倍，总利润不低于 13000 元，请分析合理的方案共有多少种?并确 定获利最大的方案
21、以及最大利润； x 3 1 1 xa xx a 拔高 (3)实际进货时,厂家对电冰箱出厂价下调k(0k100)元,若商店保持这两种家电的售价不变,请你根据以上 信息及(2)问中条件，设计出使这 100 台家电销售总利润最大的进货方案。 【答案答案】见解析 【解析解析】解：（1）设每台空调的进价为 x 元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元， 根据题意得：， 解得：x=1600， 经检验，x=1600 是原方程的解， x+400=1600+400=2000， 答：每台空调的进价为 1600 元，则每台电冰箱的进价为 2000 元 （2）设购进电冰箱 x 台，这 100 台家电的销售总利润为 y
22、 元， 则 y=（2100-2000）x+（1750-1600）（100-x）=-50 x+15000， 根据题意得：， 解得：， x 为正整数， x=34，35，36，37，38，39，40， 合理的方案共有 7 种， 即电冰箱 34 台，空调 66 台；电冰箱 35 台，空调 65 台；电冰箱 36 台，空调 64 台；电冰箱 37 台， 空调 63 台；电冰箱 38 台，空调 62 台；电冰箱 39 台，空调 61 台；电冰箱 40 台，空调 60 台； y=-50 x+15000，k=-500， y 随 x 的增大而减小， 当 x=34 时，y 有最大值，最大值为：-5034+1500
23、0=13300（元）， 答：当购进电冰箱 34 台，空调 66 台获利最大，最大利润为 13300 元 （3）当厂家对电冰箱出厂价下调 k（0k100）元，若商店保持这两种家电的售价不变， 则利润 y=（2100-2000+k）x+（1750-1600）（100-x）=（k-50）x+15000， 当 k-500，即 50k100 时，y 随 x 的增大而增大， ， 当 x=40 时，这 100 台家电销售总利润最大，即购进电冰箱 40 台，空调 60 台； 当 k-500，即 0k50 时，y 随 x 的增大而减小， ， 当 x=34 时，这 100 台家电销售总利润最大，即购进电冰箱 34 台，空调 66 台； 答：当 50k100 时，购进电冰箱 40 台，空调 60 台销售总利润最大； 当 0k50 时，购进电冰箱 34 台，空调 66 台销售总利润最大 教学反思
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