1、 图形的平移与旋转 第6讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.平移，旋转的概念与性质 2.平移与坐标变化 教学目标 1.通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解平移前后两个图形对应点连线平行 且相等、对应线段和对应角分别相等的性质。 2.通过“变化的鱼”探究横向（或纵向）平移一次，其坐标变化的规律，认识图形变换与 坐标之间的内在联系。 3.通过具体事例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点 与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质. 4.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形. 教学重点 在坐标系
2、中，图形一次平移（横向或纵向），进一步明确平移前后坐标的变化规律 简单平面图形旋转后的图形的作法. 教学难点 在坐标系中，图形一次平移（横向或纵向），进一步明确平移前后坐标的变化规律 简单平面图形旋转后的图形的作法. 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握平移与旋转的坐标变化以及图形变化，能画出平移或旋转以后的 图形。 学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难： 1. 平移和旋转的坐标变化 2. 结合三角形考察图形的变换问题 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关图形的平移与旋转，在考试中，出小题和画图题的可能性更大，但是结合第一章三角形的证明，会
3、考 察难度较大的动点问题，教师们在授课过程中注意结合中考真题进行分析，培养学生解决动点问题的方法 和几何模型 1.平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变 图形的形状和大小。 注意：平移三要素： 几何图形运动方向运动距离 2.平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。 3.把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）.点 O 叫做旋转中心，转动的角 叫做旋转角。 重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度。 图形的平移与旋转 平移，旋转的概念与性 质 平移与坐标变
4、化 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 平移，旋转的概念与性质 4.旋转的性质： 旋转前后的图形全等； 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角。 1.一个图形沿 x 轴方向平移 a（a0）个单位长度，对应的横坐标就变化 a（向右平移加 a,向左平移减 a） 2.一个图形沿 y 轴方向平移 a（a0）个单位长度，对应的纵坐标就变化 a（向上平移加 a,向下平移减 a） 【题干】在下列运动中，是平移运动的为（ ） A. 汽车在高低不平的石子路上行驶 B. 火车在呈弧形的铁轨上行驶 C. 海轮在风大浪高的海面上航行 D. 物体在平滑的冰面上滑行 【答案】【答案
5、】D 【解析】【解析】根据平移的概念解题 【题干】【题干】 如图， 正方形 ABCD 的边长是 3cm， 一个边长为 1cm 的小正方形沿着正方形 ABCD 的边 ABBCCDDA AB 连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（ ） 知识点 2 平移与坐标变化 三、例题精析 例题 1 例题 2 A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】数形结合，动手操作即可 【题干】【题干】将等腰直角三角形 AOB 按如图所示放置，然后绕点 O 逆时针旋转 90至AOB的位置，点 B 的 横坐标为 2，则点 A的坐标为（ ） A) 1 , 1 ( B) 1 , 1( C) 1,
6、 1 ( D)2,2( 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据等腰三角形的性质以及旋转的性质可以求出结果 【题干】【题干】如图，在平面直角坐标系中，将三角形ABC 向下平移 5 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度， 请画出图形 A1B1C1,并写出 A1,B1,C1的坐标 例题 3 例题 4 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 A1（1，-2）,B1（0，-3）,C1（2，-4） 1. 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的一定的距离，这样的图形运动称为_。.它的两个要 素：_、_。 【答案】【答案】平移、平移方向、平移距离 【解析】【解析】根据平移的概念和性质可以得出答案 2
7、.如图,ABC为等边三角形,APB旋转后能与APC重合，那么：旋转中心 旋转角的度数 PAP的度数 。 【答案】【答案】A、60 0、600 【解析】【解析】由旋转的概念和性质可得答案 四 、课堂运用 基础 1.如图，把RtABC放在直角坐标系内，其中CAB=90 0，BC=5，点 A. B的坐标分别为(1,0)、(4,0)，将 ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x6 上时，求线段BC扫过的面积为。 【答案】【答案】16 【解析】【解析】CAB=90，BC=5，点 A、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， AC=4，当点 C 落在直线 y=2x6 上时，如图， 四边形 BBCC 是
8、平行四边形， AC=AC=4， 把 y=4 代入直线 y=2x6， 解得 x=5， 即 OA=5， AA=BB=4， 平行四边形 BBCC 的面积=BB AC=44=16； 故答案为：16 2.如图，在 64 方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心可能是（ ） 巩固 A点 M B点 N C点 P D点 Q 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由旋转中心的定义可得 3.如图， 把ABC 经过一定的变换得到 A BC， 如果ABC 边上点 P 的坐标为 （a， b） ， 那么这个点在 A BC 中的对应点 P的坐标为（ ） A（-a，b-2） B（-a，b+2） C（-a+
9、2，b） D（-a+2，b+2） 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先关于原点中心对称，在进行平移即可 4.如图，在ABC 中，AB=1，AC=2，现将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC，连接 AB，并有 AB=3，则A的度数为（ ） A125 B130 C135 D140 【答案】【答案】C 【解析】【解析】解：如图，连接 AA 由旋转得：AC=AC，AB=AB，ACA=90， 即ACA为等腰直角三角形， AAC=45，AA 2=22+22=8， AB 2=32=9，AB2=12=1， AB 2=AA2+AB2， AAB=90， BAC=90+45=135 1.如图，将ABC 绕
10、点 C（0，1）旋转 180得到ABC，设点 A的坐标为（a，b），则点 A 的坐标 为（ ） A（a，b） B（a，b1） C（a，b+1） D（a，b2） 【答案】【答案】D 【解析】【解析】A 点绕 C 旋转 180 得到 A ，则可以得到 C 为 A A 的中点，设 A 为（ x ， y ）， 根据中点坐标公式可以得到 ， ，分别解出 ， 故选： D 2.如图，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2，0），点 A 在第一象限内，将OAB 沿 直线 OA 的方向平移至OAB的位置，此时点 A的横坐标为 3，则点 B的坐标为（ ） A（4，2 3） B（3，3 3）
11、 C（4，3 3） D（3，2 3） 【答案】【答案】A 拔高 【解析】【解析】如图，作 AMx 轴于点 M 正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2，0）， OA=OB=2，AOB=60， OM= 2 1 OA=1，AM=3OM=3， A（1，3）， 直线 OA 的解析式为 y=3x， 当 x=3 时，y=33， A（3，33）， 将点 A 向右平移 2 个单位，再向上平移 23个单位后可得 A， 将点 B（2，0）向右平移 2 个单位，再向上平移 23个单位后可得 B， 点 B的坐标为（4，23）， 故选 A 3.已知，如图直线 l 的解析式为 y=x+4，交 x、y 轴分别于 A、B
12、两点，点 M（-1，3）在直线 l 上，O 为原点 （1）点 N 在 x 轴的负半轴上，且MNO=60，则 AN= ； （2）点 P 在 y 轴上，线段 PM 绕点 P 旋转 60得到线段 PQ，且点 Q 恰好在直线 l 上，则点 P 的坐标为 或 【答案】【答案】（1）3-3，（2）（0，1+3），（0，1-3） 【解析】【解析】：（1）首先过点 M 作 MHOA 于 H，由MNO=60，点 M（-1，3），利用三角函数的知识即可求 得 NH 的长，又由直线 l 的解析式为 y=x+4，交 x、y 轴分别于 A、B 两点，可求得 OA 的长，继而可求得 AN 的长； （2）由点 P 在 y
13、轴上，线段 PM 绕点 P 旋转 60得到线段 PQ，可得PMQ 是等边三角形，然后设 P 的坐标 为（0，b），点 Q 的坐标为：（a，a+4），利用两点式可得方程，解方程即可求得答案 点评：此题考查了一次函数的性质、锐角三角函数的定义、等边三角形的判定与性质、两点间的距离公式、 平方差公式的应用以及一元二次方程解法此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解 此题的关键 平移和旋转最主要的特征就是图形的全等，这一点在几何问题中应用广泛，学生要抓住平移或旋转前后的 对应图形全等来解决问题 1.如图，在5 5方格纸中，将图中的三角形甲平移到图中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，
14、那么，下面的平移方法中，正确的是（ ） A先向下平移 3 格，再向右平移 1 格 B先向下平移 2 格，再向右平移 1 格 C先向下平移 2 格，再向右平移 2 格 D先向下平移 3 格，再向右平移 2 格 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据平移的性质可得答案 D 2. 如图，将ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50后得到ABC，若A=40，B=110，则 BCA的度数是（ ） A110 B80 C40 D50 【答案答案】B 课堂小结 扩展延伸 基础 【解析解析】由旋转角的定义可以求解 1.如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m，长 13m，宽 2m 的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米
15、18 元， 请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？ 【答案答案】见解析 【解析解析】由勾股定理，AC=12（m） 则地毯总长为 12+5=17（m）， 则地毯的总面积为 172=34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要 3418=612 元 2.如图，将ABC 沿射线 BC 方向移动，使点 B 移动到点 C，得到DCE，连接 AE，若ABC 的面积为 2，则 ACE 的面积为（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 【答案答案】A 【解析解析】找出平移距离即可解决 3.如图，在ABC 中，CAB=70在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到ABC的位置，使得 CCAB， 则BAB=
16、（ ） 巩固 A30 B35 C40 D50 【答案答案】C 【解析解析】CCAB，CAB=70， CCA=CAB=70， 又C、C为对应点，点 A 为旋转中心， AC=AC，即ACC为等腰三角形， BAB=CAC=180-2CCA=40 1.在ABC 中，AC=BC，C=90，将一块等腰直角三角尺的直角顶点放在斜边 AB 的中点 P 处，绕点 P 旋转 （1）如图 1，三角尺的两条直角边分别交边 AC，BC 于 D，E 两点，求证：PDE 为等腰三角形 （2）如图 2，三角尺的两条直角边分别交射线 AC，射线 BC 于 D，E 两点（1）中的结论还成立吗？请说 明理由 【答案答案】见解析 【
17、解析解析】（1）证明：连接 CP，如图 1 所示： AC=BC，C=90，P 为斜边的中点， PCAB，PC= 1 2 AB=PB，PCD=B=45， BPE+EPC=90，DPC+EPC=90， 拔高 BPE=PCD， 在PBE 和PCD 中， BPCD PBPC BPEDPC ， PBEPCD（ASA）， PE=PD， 即PDE 为等腰三角形； （2）结论成立；理由如下： 连接 CP，如图所示： 由（1）得：BPE=PCD，PCD=90+45=135，PBE=180-45=135， PCD=PBE， 同（1）可证：PBEPCD（ASA）， PE=PD， 即PDE 为等腰三角形 2.已知：点
18、 D 是等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 所在直线上一点（不与点 B 重合），连接 AD （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，将线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90得到线段 AE，连接 CE求证： BD=CE，BDCE （2）如图 2，当点 D 在线段 BC 延长线上时，探究 AD、BD、CD 三条线段之间的数量关系，写出结论并说明 理由； 【答案答案】（1） 如图 1， BAC=90， AB=AC， ABC=ACB=45， DAE=90， DAE=CAE+DAC=90， BAC=BAD+DAC=90，BAD=CAE，在BAD 和CAE 中，AB=AC，BAD=CAE，AD=
19、AE， BADCAE（SAS），BD=CE，ACE=ABC=45，BCE=ACB+ACE=90，BDCE； （2） 222 2ADBDCD，理由： 如图 2，将线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90得到线段 AE，连接 CE与（1）同理可证 CE=BD，CEBD， EAD=90AE=AD，ED=2AD，在 RTECD 中， 222 EDCECD， 222 2ADBDCD 【解析解析】（1）由BAC=90，AB=AC，得到ABC=ACB=45，由旋转性质可得 AD=AE，DAE=90，从而 有BAD=CAE，得到BADCAE，即可得到结论； （2）将线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90得到线段 AE，连接 CE与（1）同理可得 CE=BD，CEBD，根 据勾股定理即可求得 222 2ADBDCD； （3）分两种情况分别讨论即可求得 教学反思
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