1、 线段的垂直平分线与角平分线 第2讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.线段的垂直平分线 2.角平分线 教学目标 1.线段的垂直平分线的性质及应用 2.角平分线的性质及应用 教学重点 1.线段的垂直平分线的性质及应用 2.角平分线的性质及应用 教学难点 1.线段的垂直平分线的性质及应用 2.角平分线的性质及应用 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握线段的垂直平分线以及角的平分线的性质与判定，这一节的内容， 与轴对称图形联系紧密，在课程开始之前，可以让学生复习一下七年级下学期最后一张的内容，了解线段 的垂直
2、平分线以及角的平分线的性质以及轴对称的相关知识。 学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难： 1. 轴对称的应用。 2.最值问题。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关线段的垂直平分线与角的平分线的性质，学生掌握起来并不难，需要注意的是最值问题，利用轴对称 解决的最值问题。 垂直平分线： 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 这就是垂直平分线的定义（多媒体展示定义） 。 几何语言： MN 是 AA的垂直平分线 AP=PA(即点 P 是 AA的中点) MPA= MPA=90 探究：线段的垂直平分线的性质探究：线段的垂直平分线的
3、性质 下面我们来思考这样一个问题：如图，课件展示，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是直线l上的点。 线段的垂直平分线与线段的垂直平分线与 角平分线角平分线 线段的垂直平 分线 角平分线 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 线段的垂直平分线的判定与性质 分别测量P1，P2，P3，到点A和点B的距离，你有什么发现？ （思考，交流，给出答案）P1，P2，P3，到点A和点B的距离都相等。 没错，如果我们不用测量的方法分析，可以发现，把线段AB沿着直线 l 对折，P1A与P1B， P2A与P2B， P3A 与P3B 都将重合，也就是说，直线l上的点到点A和点B的距离都相等！这就是线段
4、的垂直平分线的第 一个性质。 线段的垂直平分线的性质 a) 线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。 b) 数学语言： lAB，AC=BC，且点 P 在l上 PA=PB 那我们怎么来证明这个定理呢？联系你们之前学过的知识，谁能给出思路？ 我们可以利用全等三角形的知识来证明。证明过程课件展示。 推广：线段的垂直平分线的判定推广：线段的垂直平分线的判定 刚才我们知道了，线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等， 那现在我们打一个问号，反过来问：如果 PA=PB，点 P 在 AB 的垂直平分线上 吗？谁能给出这个问题的已知和求证？ 已知PA=PB，AC=CB，求证：直线PC垂直
5、平分AB。 证明：在PCA和PCB中： PC=PC AC=BC PA=PB PCAPCB(SSS)PCA=PCB=90PCAB且AC=CB即：直线PC垂直平分AB。 通过大家严密的证明，我们现在可以得出结论：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分 线上。这就是用于判定垂直平分线的定理。 线段的垂直平分线的判定 a) 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 b) 数学语言：（同上图） PA=PB 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 又C 是 AB 的中点 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线。 c) 注意：要证明一条直线是某一线段的垂直平分线，必须证明有两个点在
6、垂直平分线上。 要证明一条直线是某一线段的垂直平分线，必须证明有两个点在垂直平分线上。常见的组合有：一个到线 段两端距离相等的点+线段中点；两个到线段两端距离相等的点。 从刚才我们学习的性质定理和判定定理可以看出， 线段 AB 的垂直平分线l上面的点与 A， B 的距离都相等； 反过来，与 A，B 的距离相等的点都在 l 上；直线l可以看成与两点 A，B 的距离相等的所有点的集合。 垂直平分线可以看做是到线段两端距离相等的点的集合。 尺规作图：作线段的垂直平分线尺规作图：作线段的垂直平分线 下面我们来学习如何利用刚才的判定定理作线段的垂直平分线（教师演示或用 PPT 演示过程） 。 尺规法画垂
7、直平分线。 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 C，D，直线 CD 即为所求。 如果两个图形成轴对称，或者一个图形是轴对称图形，只要能找到一对对应点，作出对应点连线段的垂直 平分线，就能得到对称轴。 下面我们来看这样一个问题：我们之前学习过如何过直线外一点画已知直线的垂线，当时用到了三角板。 现在，能否不用三角板，仅用尺规就能过直线外顶点画一直线的垂线呢？ 只要在直线上截取一段线段，再画出这段线段的垂直平分线就行了。 三角形的外心三角形的外心 我们学习了三角形，知道了它是由三条线段首尾相接组成的图形。那下面，我们来做这样一个任务：大家 画出任意一个三角形，
8、再画出这三条边的垂直平分线，你有什么发现？ 这三条垂直平分线交于一点。 那你们任意再画出几个三角形试一下，这个发现还成立吗？ 仍然成立。 那好，下面试着证明你们的猜想。我们怎样把这个猜想转换为数学语言呢？请大家思考一下。 如图，在ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，连接PA，PB和PC。 求证：PA=PB=PC点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你能得到什么结论？ 边AB，BC的垂直平分线相交于点P PA=PB，且PB=PC PA=PB=PC 根据PA=PC，可知点P也在边AC的垂直平分线上。 对任意一个三角形，其三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。外心到三角
9、形各 个顶点的距离相等。 三角形的外心 a) 任意一个三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。 外心到三角形各个顶点的距离相等。b) 问题 1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？ 用量角器度量，也可用折纸的方法 追问 1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？ 追问 2 下图是一个平分角的仪器，其中 AB =AD，BC =DC，将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角 的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是DAB 的平分线你能说明它的道理吗？ 知识点 2 角的平分线的判定与性质 师生探究，说明其中的原理(利用“边边边”)，进而
10、得到利用尺规作角平分线的方法教师出示作图 过程： 已知：AOB. 求作：AOB 的平分线 作法：(1)以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于1 2MN 的长为半径画弧，两弧在AOB 内部相交于点 C. (3) 画射线 OC.射线 OC 即为所求 教师提出问题：角的平分线有哪些性质呢，请同学们与我一同来探究一下吧！ 【设计意图】【设计意图】1.创设情境，通过实践探究角平分线的作法，引起学生的探究兴趣，引出本节课的内容 2培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识(SSS)解决问题的能力 3从试验抽象出几何模型，明确几何
11、作图的基本思路和方法. 问题 2 【探究 1】 如图，将AOB 的两边对折，再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边)，然后展开， 观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？ 师生活动学生活动：学生首先独立操作，然后观察操作后的图形，进行讨论，经过讨论发现，折痕 DP 和折痕 PE 与其他边有着特殊的关系：(1)PDOA，PEOB；(2)PDPE.然后寻找上述结论成立的理由： (1)由折叠过程可以得到；由(2)可以利用三角形全等的条件得到，OPDOPE，进而得到 PDPE.教师活 动：组织学生独立操作、思考，在此基础上进行讨论，鼓励学生大胆发言，并
12、对自己的看法作出判断最 后引导学生归纳角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 【探究 2】 我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等， 这个点是否在这个角的平分线上呢？谈谈你的看法 如图，已知 PDOA，PEOB，且 PDPE，那么 P 点在AOB 的平分线上吗？为什么？ 师生活动学生活动：学生独立思考，自主探索，利用三角形全等解决问题考虑连接 OP，由条件 OP OP，PDPE，可以判断RtOPDRtOPE，于是得到DOPEOP，即 OP 平分AOB.教师活动：引导学 生对所得出的结论进行推理，在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性，最后归纳
13、：角的内部到角 的两边的距离相等的点在角的平分线上 【题干】如图，在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，FE 垂直平分 AD，交 AD 于 E，交 BC 的延长线于 F，那么 B 与CAF 相等吗？为什么？ 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解：B=CAF FE 垂直平分 AD， FA=FD， FAD=ADF AD 为BAC 的平分线， CAD=BAD 又CAF=FADCAD，B=ADFBAD， B=CAF 【题干】【题干】作图题： （不写作法，但必须保留作图痕迹） 三、例题精析 例题 1 例题 2 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路， （点 M，N 表示大学，AO，BO 表示公路
14、） 现计划修建一座物资 仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等 你能确定仓库 P 应该建在什么位置吗？ 在所给的图形中画出你的设计方案 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解：如图所示： （1）连接 MN，分别以 M、N 为圆心，以大于 MN 为半径画圆，两圆相交于 DE，连接 DE，则 DE 即为线段 MN 的垂直平分线； （2）以 O 为圆心，以任意长为半径画圆，分别交 OA、OB 于 G、H，再分别以 G、H 为圆心，以大于 GH 为半 径画圆，两圆相交于 F，连接 OF，则 OF 即为AOB 的平分线（或AOB 的外角平分线） ； （3）DE 与 OF 相交于点
15、 P，则点 P 即为所求 【题干】【题干】如图：PA、PC 分别是ABC 外角MAC 与NCA 的平分线，并交于点 P，PDBM 于点 D，PFBN 于 点 F 例题 3 （1）求证：BP 是MBN 的平分线； （2）请你在 BM、BN 上分别找出点 G、H，使得PGH 的周长最小 （温馨提示：不要求尺规作图，但必须保 留作图痕迹，不用证明） 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 （1）证明：如图 1，过点 P 作 PEAC 于点 E AP 平分MAC，PDBM， DP=EP（角平分线的性质） 同理 PE=PF， PD=PF，又 PDBM，PFBN， P 在MBN 的角平分线上， PB 平
16、分MBN （2）解：如图所示： 1.如图，在ABC 中，AB=AC，P、Q、R 分别在 AB、AC 上，且 BP=CQ，BQ=CR 求证：点 Q 在 PR 的垂直平分线上 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：在ABC 中，AB=AC， B=C， 在PBQ 和CQR 中， ， BPQCQR（SAS） ， PQ=RQ， 点 Q 在 PR 的垂直平分线上 2.已知直线 l 及其两侧两点 A、B，如图 （1）在直线 l 上求一点 P，使 PA=PB； （2）在直线 l 上求一点 Q，使 l 平分AQB （以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法） 【答案】【答案】解： 四 、课堂
17、运用 基础 【解析】【解析】（1）作线段 AB 的垂直平分线与 l 的交点即为所求； （2）作点 A 关于 l 的对称点 A，连接 BA并延长交 l 于点 Q，点 Q 即为所求 3.如图，在四边形 ABCD 中，BCBA，AD=CD，BD 平分ABC， 求证：A+C=180 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：过点 D 作 DEBC 于 E，过点 D 作 DFAB 交 BA 的延长线于 F， BD 平分ABC， DE=DF，DEC=F=90， 在 RtCDE 和 RtADF 中， ， RtCDERtADF（HL） ， FAD=C， BAD+C=BAD+FAD=180 1.如图，AB=
18、AC，AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E，交 AC 于点 F，A=50，AB+BC=6求： （1）BCF 的周长； （2）E 的度数 巩固 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解： （1）DE 是 AB 的垂直平分线， AF=BF， BCF 的周长为：CF+BF+BC=CF+AF+BC=AC+BC=AB+BC=6； （2）AB=AC，A=50， ABC=ACB=65， DE 垂直平分 AB， EDB=90， E=9065=25 2.如图，已知：ABCD，BAE=DCF，AC，EF 相交于点 M，有 AM=CM （1）求证：AECF； （2）若 AM 平分FAE，求证：FE
19、 垂直平分 AC 【答案】【答案】 （1）证明：ABCD， BAC=DCA， 又BAE=DCF， EAM=FCM， AECF； （2）证明：AM 平分FAE， FAM=EAM， 又EAM=FCM， FAM=FCM， FAC 是等腰三角形， 又AM=CM， FMAC，即 EF 垂直平分 AC 【解析】【解析】（1）先根据 ABCD 得出BAC=DCA，再由BAE=DCF 可知EAM=FCM，故可得出结论； （2） 先由 AM 平分FAE 得出FAM=EAM， 再根据EAM=FAM 可知FAM=FCM， 故FAC 是等腰三角形， 由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论 3.在学习轴对称的时候，老师
20、让同学们思考课本中的探究题 如图（1） ，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用 的输气管线最短？ 请你参考小华的做法解决下列问题如图 3，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，请你在 BC 边 上确定一点 P，使PDE 得周长最小在图中作出点 P（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解：如图所示：作 D 点关于 BC 的对称点 D，连接 DE，与 BC 交于点 P，P 点即为所求； 1.如图，已知 AD 是BAC 的角平分线，AD 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 E，交 BC 延长线于 F
21、求证： （1）B=FAC； （2）DEAC 拔高 【答案】【答案】证明： （1）EF 是 AD 的垂直平分线， AF=DF， FAD=FDA， FAD=FAC+CAD，FDA=B+BAD， AD 平分BAC， BAD=CAD， FAC=B； （2）EF 是 AD 的垂直平分线， AE=DE， ADE=EAD， EAD=CAD， ADE=CAD， DEAC 【解析】【解析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出 AF=DF，由等边对等角得到FAD=FDA，再根据角平分线 定义得出BAD=CAD，从而利用三角形外角的性质及等式的性质即可证明B=FAC； （2）先根据线段垂直平分线的性质得出 AE=D
22、E，由等边对等角得到ADE=EAD，而EAD=CAD，等量代 换得出ADE=CAD，再根据内错角相等两直线平行即可证明 DEAC 2.如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，G 为 CD 边上的一个动点（点 G 与 C、D 不重合） ，以 CG 为一边向正 方形 ABCD 外作正方形 GCEF，连接 DE 交 BG 的延长线于 H （1）求证：BCGDCE；BHDE （2）试问当点 G 运动到什么位置时，BH 垂直平分 DE？请说明理由 【答案】【答案】 （1）证明：在正方形 ABCD 中，BCG=90，BC=CD 在正方形 GCEF 中，DCE=90，CG=CE 在BCG 和DCE 中，
23、BCGDCE（SAS） 1=22+DEC=90 1+DEC=90 BHD=90 BHDE； （2）解：当 GC=1 时，BH 垂直平分 DE理由如下： 连接 EG BH 垂直平分 DE EG=DG 设 CG=x CE=CG，DCE=90 EG=，DG= DG+CG=CD x+x=1 解得 x=1 GC=1 时，BH 垂直平分 DE 【解析】【解析】（1） 根据正方形的边的性质和直角可通过SAS判定BCGDCE， 从而利用全等的性质得到BHD=90 即 BHDE； （2）解题关键是利用垂直平分线的性质得出 EG=DG，从而找到 EG=，DG=，DG+CG=CD列方程求解 即可 1.线段的垂直平分
24、线的性质：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等 2.线段的垂直平分线的判定：到线段两端点的距离相等的点，都在线段的垂直平分线上 3.角的平分线的性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等 4.角的平分线的判定：在角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上 课堂小结 1.作图： （1）如图：已知AOB 和 C、D 两点，求作一点 P，使 PC=PD，且 P 到AOB 两边的距离相等 （2）如图：已知直线 m 是一条小河，有一牧马人准备从 A 处牵马去河边饮水，然后返回 B 处，马在何处饮 水才能使所走路程最短，请在图中作出该点 Q 的位置 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解；
25、（1）如图 1：作AOB 的角平分线，作 CD 的垂直平分线，交点坐标即为 P 点 ； （2）如图 2：作 B 点关于 m 的对称点，连接 AB，交 m 于 Q，马在 Q 饮水才能使所走路程最短 2. 如图所示，ABC 为直角三角形，ACB=90，BF 平分ABC，CDAB 于 D，CD 交 BF 于点 G，GECA， 求证：CE 与 FG 互相垂直平分 扩展延伸 基础 【答案答案】见解析 【解析解析】证明：在 RtPFD 和 RtPGE 中， RtPFDRtPGE（HL） ， PD=PE， P 是 OC 上一点，PDOA，PEOB， OC 是AOB 的平分线 3.如图，ABC 中，若 AD
26、平分BAC，过 D 点作 DEAB，DFAC，分别交 AB、AC 于 E、F 两点求证：AD EF 【答案答案】见解析 【解析解析】证明：AD 平分BAC，DEAB，DFAC， DE=DF，EAD=FAD，AED=AFD=90， AED+EAD+EDA=180，FAD+AFD+ADF=180， EDA=FDA， DE=DF， ADEF 三线合一） 1.（1）已知：图 1 中，点 M、N 在直线 l 的同侧，在 l 上求作一点 P，使得 PM+PN 的值最小 （不写作法， 保留作图痕迹） （2）图 2 中，联结 M、N 与直线 l 相交于点 O，当两直线的夹角等于 45，且 OM=6，MN=2
27、时，PM+PN 的最 小值是 巩固 【答案答案】见解析 【解析解析】解： （1）如图所示：作出点 M 关于直线 l 的对称点 M，连结 MN 交直线 l 于点 P； （2）作出点 M 关于直线 l 的对称点 M，连结 MN 交直线 l 于点 P； 两直线的夹角等于 45，且 OM=6，MN=2， MOP=45，OM=OM=6，NO=8， NOM=90， MN=10， 故答案为：10 2.如图，在ABC 中，ABC 的平分线与ACB 的外角的平分线相交于点 P，连接 AP （1）求证：PA 平分BAC 的外角CAM； （2）过点 C 作 CEAP，E 是垂足，并延长 CE 交 BM 于点 D求证
28、：CE=ED 【答案答案】见解析 【解析解析】证明： （1） 过 P 作 PTBC 于 T，PSAC 于 S，PQBA 于 Q，如图， 在ABC 中，ABC 的平分线与ACB 的外角的平分线相交于点 P， PQ=PT，PS=PT， PQ=PS， AP 平分DAC， 即 PA 平分BAC 的外角CAM； （2）PA 平分BAC 的外角CAM， DAE=CAE， CEAP， AED=AEC=90， 在AED 和AEC 中 AEDAEC， CE=ED 3.已知：如图，P 是 OC 上一点，PDOA 于 D，PEOB 于 E，F、G 分别是 OA、OB 上的点，且 PF=PG，DF=EG 求证：OC
29、是AOB 的平分线 【答案答案】见解析 【解析解析】证明：在 RtPFD 和 RtPGE 中， RtPFDRtPGE（HL） ， PD=PE， P 是 OC 上一点，PDOA，PEOB， OC 是AOB 的平分线 1.如图，在 RtABC 中，C=90，BD 是ABC 的一条角平分线点 O、E、F 分别在 BD、BC、AC 上，且四 边形 OECF 是正方形 （1）求证：点 O 在BAC 的平分线上； （2）若 AC=5，BC=12，求 OE 的长 【答案答案】见解析 【解析解析】 （1）证明：过点 O 作 OMAB， BD 是ABC 的一条角平分线， OE=OM， 四边形 OECF 是正方形
30、， OE=OF， OF=OM， AO 是BAC 的角平分线，即点 O 在BAC 的平分线上； （2）解：在 RtABC 中，AC=5，BC=12， AB=13， 设 OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z， ， 解得：， OE=2 拔高 2.（1）如图 1，在ABC 中，AD 平分BAC 交 BC 于 D，DEAB 于 E，DFAC 于 F，则有相等关系 DE=DF， AE=AF （2）如图 2，在（1）的情况下，如果MDN=EDF，MDN 的两边分别与 AB、AC 相交于 M、N 两点，其它 条件不变，那么又有相等关系 AM+ =2AF，请加以证明 （3）如图 3，在 RtABC 中
31、，C=90，BAC=60，AC=6，AD 平分BAC 交 BC 于 D，MDN=120，ND AB，求四边形 AMDN 的周长 【答案答案】见解析 【解析解析】 （1）证明：AD 平分BAC， BAD=CAD， DEAB，DFAC， AED=AFD=90， 在ADE 和ADF 中， ， ADEADF（AAS） ， DE=DF，AE=AF； （2）解：AM+AN=2AF； 证明如下：由（1）得 DE=DF， MDN=EDF， MDE=NDF， 在MDE 和NDF 中， ， MDENDF（ASA） ， ME=NF， AM+AN=（AE+ME）+（AFNF）=AE+AF=2AF； （3）由（2）可知 AM+AN=2AC=26=12， BAC=60，AD 平分BAC 交 BC 于 D， BAD=CAD=30， NDAB， ADN=BAD=30， CAD=ADN， AN=DN， 在 RtCDN 中，DN=2CN， AC=6， DN=AN=6=4， BAC=60，MDN=120， CDE=MDN， DM=DN=4， 四边形 AMDN 的周长=12+42=20 教学反思
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