1、 公式法 第10讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.利用完全平方公式因式分解 2.利用平方差公式因式分解 3.十字相乘法因式分解 4.公式法，提公因式法综合因式分解 教学目标 1.理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； 2.会用平方差公式进行因式分解； 3.会用完全平方公式进行因式分解 4.会用十字相乘法进行因式分解 教学重点 公式法因式分解 教学难点 经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程， 发展学生 的逆向思维和推理能力。 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练
2、掌握应用公式法分解因式，拓展内容是十字相乘法分解因式，这一块 相对提公因式法难度大一些，关键还是公式的运用。 学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难： 1. 十字相乘法分解因式。 2. 分解因式综合。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关公式法分解因式，主要是对平法差公式和完全平方公式的逆运用，授课过程中重点提醒学生留意分解 之后的式子，看是否分解彻底 回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法 注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容 22 2baba 活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征
3、，讲授新知形如的多项式称为完全平方式 22 2baba 2 )(ba= 注意事项：举例说明便于学生理解同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把 乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 公式法 利用完全平方公式因式分解 利用平方差公式因式分解 十字相乘法因式分解 公式法，提公因式法综合因式分解 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 利用完全平方公式因式分解 一、活动内容：填空： （1）（x+5）（x5） = ； （2）（3x+y）（3xy）= ； （3）（3m+2n）（3m2n）= 它们的结果有什么共同特征？ 尝试将它们
4、的结果分别写成两个因式的乘积： 活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向 思维能力 注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子 与第二组式子之间的对应关系 结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。 活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习 新的分解因式的方法公式法。 注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可。 活动内容： 说一说 找特征 )( 22 bababa (1)公式左边：（是一个将要被分解因式
5、的多项式） 被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ） （ ）的形式。 (2) 公式右边:（是分解因式的结果） 分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。 知识点 2 利用平方差公式因式分解 知识点 3 十字相乘法因式分解 ._49 _;_9 _;_25 22 22 2 nm yx x 十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加 等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab 的逆运算来进行因式分解。 十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）。对于像 ax +bx+c=(a
6、1x+c1）(a2x+c2） 这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1,a2的积，把常数项 c 分解成两个因 数 c1,c2的积， 并使 a1c2+a2c1正好等于一次项的系数 b。 那么可以直接写成结果:ax +bx+c=(a1x+c1） (a2x+c2） 。 在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数 不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x +(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。 综合法分解因式主要是观察式子，重点是分步分解因式 【题干】下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的
7、是（ ） A. B. C. D. 【答案】【答案】C 【解析】【解析】应用完全平方公式分解 【题干】【题干】一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】【答案】B 【解析】【解析】平方差公式的应用 【题干】【题干】因式分解： 知识点 4 公式法，提公因式法综合因式分解 三、例题精析 例题 1 例题 2 例题 3 (1) 152 2 xx (2) 22 65yxyx (3)352 2 xx 【答案】【答案】（1）152 2 xx=（x-5）(x+3) （2） 22 65yxyx=(x-2y)(x-3y) （3）352 2 xx=(x-3)(2x+1) 【解
8、析】【解析】应用十字相乘法分解因式 1. 下列各式是完全平方式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】【答案】D 【解析】【解析】应用完全平方公式分解 2.若是完全平方式，那么=_. 【答案】【答案】8 或-8 【解析】【解析】完全平方公式的应用 3.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】【答案】B 【解析】【解析】平方差公式分解因式 4.下列各式中，在有理数范围内不能分解因式的有（ ） 四 、课堂运用 基础 9x2 y2 ab 29a2b a2+2ab-b2 -x 2+25y2 7a2-7b2 x2-x+1 4 A.1 个 B.2 个 C.3 个
9、 D.4 个 【答案】【答案】A 【解析】【解析】平方差公式和完全平方公式的应用 1.不论为何有理数, 的值总是非负数,则 c 的最小值是( ) A. 4 B . 5 C. 6 D.无法确定 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 =（a-1） 2+(b-2)2-5+c,利用平方的非负性解题 2.分解因式：（1）383 2 xx （2）910 24 xx 【答案】【答案】（1）383 2 xx=(x+3)(3x-1) （2）910 24 xx=(x 2-1)(x2-9)=（x-1）(x+1)（x-3）(x+3) 【解析】【解析】 3.因式分解： aaa12123 23 22 49ab 【答案】【
10、答案】3a(a-2) 2 (2a+3b)(2a-3b) 【解析】【解析】分解因式综合 巩固 拔高 1.x 2+2ax+a2对于形如 x2+2ax+a2这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式.但对于形如 x 2+2ax+a2这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式但对于二次三项式 x2+2ax+a2,就不能 直接运用公式了 此时,我们可以在二次三项式 x 2+2ax+a2中先加上一项 a2,使它与 x2+2ax 的和成为一个完全 平方式,再减去 a 2,整个式子的值不变,于是有： x 2+2ax-3a2 =（x 2+2ax+a2）-a2-3a2 =（x+a）
11、 2-（2a）2 =（x+3a）（x-a） 像这样,先添-适当项,使式中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变的方法称为“配方法” 利用“配方法”分解因式：a 2-6a+8 【答案】【答案】(a-2)(a-4) 【解析】【解析】按照题意分解即可 2. 22222 11111 (1)(1)(1)(1)(1) 234910 【答案】【答案】 20 11 【解析】【解析】 22222 11111 (1)(1)(1)(1)(1) 234910 = ) 10 1 1)( 10 1 1 () 3 1 1)( 3 1 1)( 2 1 1)( 2 1 1 ( = 10 11 10 9 3 4 3 2
12、 2 3 2 1 =20 11 公式法分解因式： )( 22 bababa 22 2baba 2 )(ba= 1.若 a、b、c 是ABC 的三边，满足且，则ABC 的形状是（ ） 课堂小结 扩展延伸 基础 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【答案】【答案】D 【解析】【解析】应用公式法分解因式即可 2. 分解因式：(1)= ；(2)= 【答案答案】（1）（x+y）(x-y);(2) 5 1 4 3 )( 5 1 4 3 (yxyx 【解析解析】 3.分解因式： yxyyx44 2 【答案答案】y(x-2) 2 【解析解析】先提公因式，在应用公式法分解 1.已
13、知，则= . 【答案答案】1 【解析解析】平方和绝对值的非负性解题 2.若，则的值为 【答案答案】 【解析解析】配方法解题 3.（1）)(2)(5)(7 23 yxyxyx； （2）120)8(22)8( 222 aaaa （3）90)242)(32( 22 xxxx 巩固 【答案答案】（1）)(2)(5)(7 23 yxyxyx=(x+y)(x+y-1)(7x+7y+2) （2）120)8(22)8( 222 aaaa=(a 2+8a+10)(a2+8a+12)=(a2+8a+10)(a+2)(a+6) （3）90)242)(32( 22 xxxx= =(x 2+2x-9)(x2+2x-18
14、) 【解析解析】十字相乘法分解因式 1.在日常生活中如取款、上网等都需要密码. 有一种用 “因式分解” 法产生的密码, 方便记忆. 原 理是: 如对于多项式 x 4y4,因式分解的结果是(xy)(x+y)(x2+y2). 若取 x=9,y=9 时, 则各个因式的值 是: (xy)=0, (x+y)=18, (x 2+y2)=162, 于是就可以把 “018162” 作为密码. 对于多项式 4x3-xy2, 取 x=10,y=10 时, 用上述方法产生的密码是: _(写出一个即可) 【答案答案】101030或103010或301010 【解析解析】根据因式分解的结果产生密码 2.设 A,B,C 是ABC 的三条边，且 332222 aba babacbc，则这个三角形是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【答案答案】见解析 【解析解析】a 3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2， a 3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0， （a 3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0， a 2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0， （a-b）（a 2+b2-c2）=0， 所以 a-b=0 或 a 2+b2-c2=0 所以 a=b 或 a 2+b2=c2 故选 D 拔高 教学反思
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