1、 因式分解 第8讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.因式分解的概念 2.因式分解与整式乘法的关系 教学目标 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系互逆关系（即相反变形） ，并能运用这种关系 寻求因式分解的方法 3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解 决问题策略的多样性，发展实践应用意识。 4.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力， 培养学生的分析问题能力与综合应用能力 教学重点 因式分解的概念 教学
2、难点 难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系， 并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的 方法 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握因式分解的概念，抓住因式分解和整式乘法之间的关系，学会使 用图形的方法理解因式分解的意义。 学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难： 1. 因式分解与整式乘法的关系。 2. 利用图形的方法理解因式分解的意义。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关因式分解的问题，它是分式化简求值的基础内容，而分式的化简求值是中考必考的内容，所以教师在 授课过程中要强调它的重要性，让学生结合七年级所学过的整式乘法的内容，掌握因式分解。
3、 1.第一环节 复习回顾： 活动内容：下题简便运算怎样进行 问题1：73695+7365 2，-2.67 132+252.67+72.67 设计意图： 观察实例，分析共同属性：解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，此时学生对因式分解 还相当陌生的，但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉引入这一步的目的旨在设计问题情景，复习 知识点与计算，引入新课，让学生通过回顾用简便方法计算因数分解这一特殊算法，通过类比很自然 地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握和理解打一个台阶。 因式分解 因式分解的概念 因式分解与整式乘法的关系 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1
4、因式分解的概念 第二环节 比较探究： 活动内容：问题3：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 993-99 = 99992-99 = 99(992-1) 993-99能被99整除 (2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 小明是这样做的：993-99 = 99992991 = 99（9921） = 99（99+1） （99-1） = 9998100 所以993-99能被100整除 活动目的： 以一连串的知识性问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，通过简 便运算把一个
5、式子化成几个数乘积的形式，并且问题的设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和 意义。这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。 想一想： （1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？ （2）请你说明小明每一步的依据。 （3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？ 与同学交流。 （老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？） 小结：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。 可以了解: 993-99可以被98、99、100三个连续整数整除. 将99换成其他任意一个大于1的
6、整数,上述结论仍然成立吗? 学生探究发现：用 a 表示任意一个大于1的整数，则： 你能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？ 这样变形是为了达到什么样的目的？ )()( )( )( 11 11 1 2 23 aaa aaa aa aaaaa 活动目的：从知识性的问题过度到思考性的问题，巧妙设问： “将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结 ) 1() 1( 3 aaaaa 论仍然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法，得出，这个过程对学 生来说是思维上的一次飞跃，是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识，是 对学生思维能力水平的一次提高，同时很自然的从分解因数过
7、度到分解因式，初步树立起学生对因式分解 概念的直观认识。 第三环节：引出概念： 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。 因式分解和整式乘法互为逆运算的关系 整式乘法是将多个整式乘积的关系转化为一个多项式的和，而因式分解是将一个多项式化成几个整式的积 的形式。 【题干】【题干】下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A 2 111xxx B 2 2121xxx x C 22 422ababab Da xyaxay 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据因式分解的定义，C 选项由左到右的变形，是把一个多项式转化为两个因式的积的形式，所以 C 满足题意 故选：C
8、【题干】【题干】 因式分解 知识点2 因式分解与整式乘法的关系 三、例题精析 例题 1 例题 2 （1） （2） 【答案】【答案】 （1） ； （2） 【解析】【解析】应用乘法公式的逆运算进行解题 【题干】【题干】若实数 a 满足 a 2+a=1，则-2a2-2a+2015= . 【答案】【答案】2013. 【解析】【解析】a 2+a=1， -2a 2-2a+2015 =-2（a 2+a）+2015 =-21+2015 =-2+2015 =2013 【题干】【题干】如图，在一块边长为 acm 的正方形纸板四角，各剪去一个边长为 bcm（b ）的正方形，利用因 式分解计算当 a=13.2，b=3
9、.4 时，剩余部分的面积 【答案】【答案】128 2 cm 【解析】【解析】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思 想和正确运算的能力阴影部分的面积等于正方形的面积减去 4 角的 4 个小正方形的面积，利用因式分解 可使计算简便 2 2 2 41mm 2 3(2 )36xyxy 2 2 1(1)mm3(2 )(21)xy xy 例题 3 例题 4 四 、课堂运用 1. 下列因式分解正确的是（ ） A 2 441411aaa a B 22 444xyxyxy C 2 2 9131 4923 xxx D 2 22 2xyxyxy 【答案】【答案】C 【
10、解析】【解析】 因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式 由此可知 2 2 44121aaa ， 故错误； 22 422xyxyxy，故错误； 2 22 2xyxyxy ，故错误 故选 C 2.如图， 小刚家门口的商店在装修， 他发现工人正在一块半径为 R 的圆形板材上， 冲去半径为 r 的四个小圆， 小刚测得 R=68cm，r=16cm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能帮助小刚利用所学过的因式分解计算 吗？请写出利用因式分解的求解的过程（取 3） 【答案】【答案】108cm 2 【解析】【解析】解：依题得: S阴影=)2)(2(4 22 rRrRrR 当 R=68cm，r=16cm，3时，
11、 原式=3（68+216）（68-216）=108（cm 2） ， 阴影部分图形的面积为 108cm 2 1.下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A4 2 a B 4 1 2 aa Cyx5 2 Dyx5 2 基础 巩固 【答案】【答案】B 【解析】【解析】试题分析：A、 4 2 a 不能分解因式，故本选项错误； B、 4 1 2 aa 是完全平方式，故本选项正确； C、 yx5 2 不能分解因式，故本选项错误； D、 yx5 2 不能分解因式，故本选项错误 故选 B 2. 计算： （x+y） 2-y（2x+y） （2）先计算，再把计算所得的多项式分解因式： （12a 3-12a2+3a）
12、3a 【答案】【答案】 （1）x 2； （2） （2a-1）2 【解析】【解析】（1） （x+y） 2-y（2x+y） ， =x 2+2xy+y2-2xy-y2， =x 2； （2） （12a 3-12a2+3a）3a， =4a 2-4a+1， =（2a-1） 2 3. 为使代数式 x 2一 ax 一 20 在整数范围内可以因式分解，其中的整数 a 可以有多少?刘学峰说有 6 个，宋 世杰说有 5 个，杨萌说有无穷个你认为他们谁说得对?为什么? 【答案】【答案】刘学峰说的对，理由见解析. 【解析】【解析】设 x 2-ax-20=（x+s） （x+t） ， 则 a=-（s+t） ，st=-20，
13、 a=19，-19，8，-8，-1，1. 刘学峰说的对 1.已知 a 2+2a=1，则代数式 2a2+4a1 的值为（ ） A0 B1 C1 D2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】所求代数式前两项提取 2，变形为 2（a 2+2a）-1，将已知等式代入得：21-1=1，故选 B 拔高 2.已知：a，b，c 为ABC 的三边长，且 2a 2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，试判断ABC 的形状，并证明你的结论 【答案】【答案】ABC 是等边三角形 【解析】【解析】ABC 是等边三角形 证明如下： 因为 2a 2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc， 所以 2a 2+2b2+2c2
14、-2ab-2ac-2bc=0， a 2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0， （a-b） 2+（a-c）2+（b-c）2=0， 所以（a-b） 2=0， （a-c）2=0， （b-c）2=0，得 a=b 且 a=c 且 b=c，即 a=b=c， 所以ABC 是等边三角形 3.如图，有足够多的边长为 a 的小正方形（A 类） 、长为 a，宽为 b 的长方形（B 类）以及边长为 b 的大正方 形（C 类） ，发现利用图中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式比如图可以解释为： （a+2b） （a+b）=a 2+3ab+2b2 图 （1）若取其中的若干个（三种图形都要
15、取到）拼成一个长方形，使其面积为 3a 2+5ab+2b2，在虚框中画出图 形，并根据所画图形，将多项式 3a 2+5ab+2b2分解因式为 （2）如图，是用 B 类长方形（4 个）拼成的图形，其中四边形 ABCD 是大正方形，边长为 m，里面是一个 空洞，形状为小正方形，边长为 n，观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上_（填 写序号） 22 mn= 2（a 2+b2 ） ； 22 abmn； 22 mn= 4ab 【答案】【答案】 （1）画图 2 分 3a 2+5ab+2b2=（3a+2b） （a+b） （2）正确关系式的序号填写在横线上： 【解析】【解析】 （1） 根据长方形的其
16、面积为 3a 2+5ab+2b2， 可知需要 3 个 A,5 个 B， 2 个 C， 组合成长方形即可； （2） 根据图形的面积可得填写： ba DC BA aa b a 整式乘法是将多个整式乘积的关系转化为一个多项式的和，而因式分解是将一个多项式化成几个整式的积 的形式。 因式分解和整式乘法互为逆运算的关系 1.下列式子变形是因式分解的是（ ） Ax 25x+6=x（x5）+6 Bx 25x+6=（x2） （x3） C （x2） （x3）=x 25x+6 Dx 25x+6=（x+2） （x+3） 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种
17、变形叫做把这个多项式因式 分解，也叫做分解因式因此可知： x 25x+6=x（x5）+6 右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误； x 25x+6=（x2） （x3）是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确； （x2） （x3）=x 25x+6 是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误； x 25x+6=（x2） （x3） ，故本选项错误 故选 B 2. 如图，有一张边长为a米的正方形硬纸张,现将四个角截去四个边长为b米的小正方形，然后折成一个 无盖的长方体盒子 （a2b0） （1）直接写出盒子底面边长的长度； （用含a、b的代数式表示） 课堂小结 扩展延伸 基础 （2）截去四
18、个小正方形后，剩余硬纸张的面积 S 为多少平方米？请用含a、b的代数式表示出来,并把此代 数式分解因式； （3） 若无盖长方体盒子的体积为b4立方米， 且截去四个小正方形后， 剩余硬纸张的面积 为8平方米， 求a、 b的值 【答案答案】 （1）a-2b； （2）S= 22 4ab=（a+2b） （a-2b） ； （3）a=3，b= 1 2 【解析解析】 （1）a-2b； （2）S= 22 4ab=（a+2b） （a-2b） ； （3）长方体盒子的体积为b4立方米， b（a-2b） 2=4b， 即（a-2b） 2=4 a-2b=2，a-2b=-2（不合题意，舍去） ； 剩余硬纸张的面积为8平方米
19、，由（2）可得， （a+2b） （a-2b）=8， a+2b=4； 把联立得方程组 22 24 ab ab ， 解得， 3 1 2 a b 1.若多项式 x 4+mx3+nx-16 含有因式（x-2）和（x-1） ，则 mn 的值是（ ） A100 B0 C-100 D50 【答案答案】C 【解析解析】设 x 4+mx3+nx-16=（x-1） （x-2） （x2+ax+b） ， 则 x 4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b 比较系数得：a-3=m,b-3a+2=0,2a-3b=n,2b=-16 解得:a=-2,b=-8,m=-5,n=20
20、 所以 mn=-520=-100 故选 C 2.（x+y） （ ）=x 2y2，其中括号内的是（ ） Axy Bx+y Cxy Dx+y 巩固 【答案答案】A 【解析解析】x 2y2=（x+y） （xy）=（x+y） （xy） 故选：A 3.图 a 是一个长为 2m，宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图 b 的形状， 拼成一个正方形 （1）图 b 中的阴影部分面积为 ； 观察图 b，请你写出三个代数式 2 ()mn+， 2 ()mn-，mn 之间的等量关系是 ； （3）若 x+y=6，xy=2.75，利用提供的等量关系计算：xy= ； （4） 实际上有许多代数恒
21、等式可以用图形的面积来表示， 如图 C， 它表示了 2 2 m+3mn+ 2 n= （m+n） （2m+n） ， 试画出一个几何图形的面积是 2 a+4ab+3 2 b，并能利用这个图形将 2 a+4ab+3 2 b进行因式分解 【答案答案】 2 m2mn+ 2 n或 2 ()mn-； 2 ()mn+= 2 ()mn-+4mn；5；略. 【解析解析】 （1） 、 2 m2mn+ 2 n或 2 ()mn-； （2） 、 2 ()mn+= 2 ()mn-+4mn； （3） 、 22 ()()xyxy-=+4xy=3611=25 xy=5； （4） 、 2 a+4ab+3 2 b=（a+b） （a+
22、3b） 1. 若6ab，3ab，则 22 33a bab的值是 【答案答案】54 【解析解析】原式=3ab（a+b） ，当 a+b=6，ab=3 时，原式=336=54，故答案为：54 2.因式， 前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了 过 程为：x 24y22x+4y=（x+2y） （x2y）2（x2y）=（x2y） （x+2y2） 这种分解因式的方法叫分组分解法利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式 x 22xy+y216； （2）ABC 三边 a，b，c 满足 a 2abac+bc=0，判断ABC 的形状 【答案答案】 （1） （xy+4）
23、 （xy4） ； （2）ABC 的形状是等腰三角形 【解析解析】解： （1）x 22xy+y216 =（xy） 242 =（xy+4） （xy4） ； （2）a 2abac+bc=0 a（ab）c（ab）=0， （ab） （ac）=0， a=b 或 a=c， ABC 的形状是等腰三角形 3.拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形 来解释某些等式比如图可以解释为： (a2b)(ab)a 23ab2b2 （1）则图可以解释为等式：_ （2）在虚线框中用图中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为 3a 27ab2b2，
24、并通过拼图对多项式 3a27ab2b2因式分解: 3a27ab2b2= （3）如图，大正方形的边长为 m，小正方形的边长为 n，若用 x、y 表示四个长方形的两边长(xy)，结 合图案，指出以下关系式 （1）xy 22 4 mn ； （2）xym； （3）x 2y2mn； （4）x 2y2 22 2 mn 其中正确的关系式的个数有 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 拔高 【答案答案】 （1） （2a+b） （a+2b）=2a 2+5ab+2b2； （2）3a 2+7ab+2b2=（3a+b） （a+2b） ； （3）D 【解析解析】 （1）由分析知：图所表示的等式为： （2a+b） （a+2b）=2a 2+5ab+2b2； （2）示意图如下 3a 2+7ab+2b2=（3a+b） （a+2b） ； （3）D 教学反思
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