1、 立方根与估算 通过对本节课的学习，你能够： 会用根号表示一个数的立方根. 会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小. 概 述 第 5 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 立方根 估算无理数的大小 用估算比较两个数的大小 计算无理数的整数部分和小数部分 教学目标 1、掌握立方根的定义以及正数、负数、0 的立方根的特点. 1、会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的 实际问题 教学重点 掌握立方根的定义. 估算无理数的大小 用估算比较两个数的大小 计算无理数的整数部分和小数部分 教学难点 运用所
2、学知识解决问题. 【知识导图】【知识导图】 概 述 温故知新温故知新 1计算： 3 1 ， 3 ) 2 1 ( ， 3 0 ， 3 2 . 0 ， 3 )3 . 0( ， 3 ) 4 3 ( ， 3 ) 5 1 ( 。 2.填一填：27(_)3，64(_)3，125(_)3， 125 8 (_)3 1.要制作一种容积为 27 3 m 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 解：设这种包装箱的边长是xm，则有 =27 想一想：这个问题，其实就是已知一个数的立方，反过来求这个数。即已知 xax，求 3 2.什么叫立方根？什么叫开立方？ 一般的，如果一个数一般的，如果一个数x的的 等于等
3、于a，即，即 ax 3 ，那么这个数，那么这个数x叫做叫做 立方根或立方根或 ，a叫做叫做 。 求一个数的 的运算，叫做 .立方与 互为逆运算。 立方根与估算立方根与估算 立方根立方根 估算估算 教学过程 二、知识讲解 一、导入 考点 1 立方根及其性质 填一填： 125(_)3，125 的立方根是 ； 0(_)3，0 的立方根是 ； 8(_)3，8 的立方根是 ； 64 27 (_)3 ， 64 27 的立方根是 ； 正数的立方根是 数； 0 的立方根是 ；负数的立方根是 数。 由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容公园有多宽 某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园
4、已知这块地的长是宽的两倍，它的面 积为 400000 平方米此时公园的宽是多少?长是多少? 给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少 给出引导问题：公园的宽有 1000 米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽 解：设公园的宽为 x 米，则它的长为 2x 米，由题意得： x2x =400000， 2x 2 =400000， x =200000 那么200000=? 学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值 例 1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流 4020 ； 0.90.3； 100000500； 3 90096 解答：这些结果都不正确 怎样估算一个
5、无理数的范围? 考点 2 估算 例 2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法 40 ； 0.9； 100000 ； 3 900 （ 误差小于 0.1；误差小于 10；误差小于 1） 解答： 406.3 ； 0.90.9； 100000310 ； 3 9009 说明：误差小于 10 就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于 10，所以100000的估算值在误差小 于 10 的前提下可以是 310，也可以是 320，还可以是 310 到 320 之间的任何数教材使用误差小于 10， 而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。 目的： 同伴间进行交流，教师适时引导在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总
6、结，和学生一起归纳出估 算的方法让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力 效果： 通过简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备 深入探究 内容： 用估算来解决数学的实际问题 例 1 你能比较 51 2 - 与 1 2 的大小吗？你是怎样想的？ 小明是这样想的： 51 2 - 与 1 2 的分母相同， 只要比较他们的分子就可以了，因为52， 所以5-11， 51 2 - 1 2 解：54，即（5） 2 2 2 ， 52，5-11， 即 51 2 - 1 2 例 2 解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题 2000
7、00=? （1）如果要求误差小于 10 米，它的宽大约是？ （大约 440 米或 450 米） 说明：只要是 440 与 450 之间的数都可以 （2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 平方米，你能估计它的半径吗（误差小于 1 米）？ （15 米或 16 米） 说明：只要是 15 与 16 之间的数都可以 例 3 给出新的问题情境画能挂上去吗？ 生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定现有一长度 为 6 米的梯子，当梯子稳定摆放时， （1）他的顶端最多能到达多高（保留到 0.1）？ （2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高 5.9 米的地方
8、张贴一副宣传画，他能办到吗？ 解：设梯子稳定摆放时的高度为 x 米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的 1 3 ，根据勾股定理 ： 32,36466 3 1 22222 xxx，）（， x=32， 因为3236.316 . 5 2 ,3249.327 . 5 2 ,5.65 32，所以他的顶端最多能到达 5.7 米 5.75.9 所以画不能挂上去 目的： 学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值 6 1 3 6 x 效果： 在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣 类型一 立方根 1. 32 1 ）（的立方根是( ) A.-
9、1 B.0 C.1 D.1 【解析】 【总结与反思】 2.若一个数的立方根是-3,则该数为( ) A.- 3 3 B.-27 C. 3 3 D.27 【解析】 【总结与反思】 3.下列判断： 一个数的立方根有两个， 它们互为相反数； 若 33 )2(x， 则 x=-2； 15 的立方根是 3 15； 任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数.其中正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解析】 【总结与反思】 三 、例题精析 类型二 估算及比较大小 【例题】【例题】 估计30的值在（ ） （A）3 到 4 之间 （B） 4 到 5 之间 （C）5 到 6 之间 （D）6
10、 到 7 之间 【解析】 【总结与反思】 2、若 a，b 是两个连续整数，且 a17b，则 ab= 。 【解析】 【总结与反思】 3、一个正方形的面积为 50cm，则这个正方形的边长约为（ ） （A）5cm （B）6cm （C）7cm （D）8cm 【解析】 【总结与反思】 4、估算20 （误差小于 0.1）； 3 286 （误差小于 1）。 【解析】 【总结与反思】 考点三：计算无理数的整数部分和小数部分考点三：计算无理数的整数部分和小数部分 【例题】【例题】 1、估算117 的整数部分是 ，小数部分是的 。 【解析】 【总结与反思】 2、若13的整数部分是 a， 3 65的整数部分是 b，
11、则 a-b= 。 【解析】 【总结与反思】 1. 立方根等于本身的数为_. 2. 3 64的平方根是_. 3一个正方形的面积为 28，则它的边长应在（ ） A3 到 4 之间 B4 到 5 之间 C5 到 6 之间 D6 到 7 之间 基础 4如图，下列各数中，数轴上点 A 表示的可能是（ ） A4 的算术平方根 B4 的立方根 C8 的算术平方根 D8 的立方根 1. 若 x-1 是 125 的立方根，则 x-7 的立方根是_. 2下列各组数的比较，错误的是（ ） A65 B31.732 C1.4142 D3.14 1.计算 33 7）（的正确结果是( ) 2.-27 的立方根与81的平方根
12、之和是_. 3已知 a，b 为两个连续整数，且ba 13，则 a+b=_ 巩固 拔高 1.求下列各式的值： (1) 3 001. 0； (2) 3 125 343 ； (3) 3 27 19 1. 2.下列说法正确的是( ) A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B.一个数的立方根比这个数平方根小 C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D. 3 a与 3 a互为相反数 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 3.12 的负的平方根介于（ ） A5 与4 之间 B4 与3 之间 C3 与2 之间 D2 与1 之间 1. 已知 2x+1 的平方根是5，则 5x+4 的立方根是_. 2. 若
13、8a与(b-27)互为相反数，求 33 ba 的立方根. 3若 n=596，则估计 n 的值所在范围，下列最接近的是（ ） A4n5 B3n4 C2n3 D1n2 4比较5, 2 3 , 3 3 的大小，正确的是（ ） A 3 3 2 3 5 B 2 3 35 3 C5 2 3 3 3 D 2 3 53 3 巩固 1如图，在数轴上点 A 和点 B 之间的整数是_ 2规定用符号x表示一个实数的整数部分，例如3.69=33=1，按此规定，131=_ 3.很久很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干死了,人们找不到水喝,于是大家一起到神 庙里去向神祈求.神说：“我之所以不给你们降水,是因
14、为你们给我做的正方体祭坛太小,如果你们做一个比 它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降雨.”大家觉得很好办,于是很快做好了一个新祭坛送到神那里, 新祭坛的棱长是原来的 2 倍.可是神愈发恼怒,他说：“你们竟敢愚弄我.这个祭坛的体积不是原来的 2 倍, 我要进一步惩罚你们！” 如图所示,不妨设原祭坛边长为 a,想一想： (1)做出来的新祭坛是原来体积的多少倍？ (2)要做一个体积是原来祭坛的 2 倍的新祭坛,它的棱长应该是原来的多少倍？ 拔高 4.请先观察下列等式： 33 7 2 2 7 2 2， 33 26 3 3 26 3 3， 33 63 4 4 63 4 4， (1)请再举两个类似的例子； (2)经过观察,写出满足上述各式规则的一般公式.
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