1、 平行线的证明 通过对本节课的学习，你能够： 能够熟练应用平行线的判定及性质. 能够综合应用所学知识解决问题. 第 16 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 检验数学结论的常用方法 定义和命题 利用“三线八角”判定两直线平行 综合运用平行线判定方法证明两直线平行 平行线的性质的应用 平行线判定与性质的综合应用 平行线的实际应用与探究题 教学目标 1、理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明,理解幵掌握应用实验进行证明、举反例 验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法. 2、公理、定理的概念. 3、通过经历利用平行线第一个判定定理
2、简单论证平行线的另两个判定定理的过程,进一步 掌握平行线的判定方法,领悟归纳和转化数学思想方法. 4、经历证明平行线性质的过程,进一步掌握平行线的性质,幵了解证明的方法与步骤,体会 论证的科学与严谨. 教学重点 1、在观察实验的基础上进行平行线定理的推导. 2、数学证明平行线的性质. 教学难点 1、证明平行线的判定定理. 概 述 2、运用严谨、科学的方法进行数学证明. 【知识导图】【知识导图】 如下图，先观察，再验证. (1)图(1)中，三角形的边是直的还是弯曲的？ (2)图(2)中，两条线段 a 与 b 哪一条更长？ (3)图(3)中，直线 AB 与直线 CD 平行吗？ _ 平行线的证明平行
3、线的证明 证明的必要性证明的必要性 定义与命题定义与命题 平行线的证明与性质平行线的证明与性质 二、知识讲解 一、导入 考点 1 证明的必要性 教学过程 上图中 (1)三角形的边是直的；（2）a 和 b 一样长.（3）AB 和 CD 是平行的. 理由： (1)受周围同心圆的影响，容易把三角形的边看成是弯曲的，但用直尺验证的结果是直的. (2)受两边斜线的影响，容易看成线段 a 比线段 b 长，验证后发现 a 和 b 一样长. (3)受两条直线上斜线的影响，容易看成 AB 和 CD 不平行，验证后发现 AB 和 CD 是平行的. 结论:(1)通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确?怎样判断一个
4、结论是否正确呢? (2)总结:实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确,因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅 依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明. (1)公理:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公 理. 例如:“两点之间线段最短”,“三边分别相等的两个三角形全等”,“过直线外一点,有且只有一条直线与已 知直线平行” (2)定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理. 定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据. 一、1.证明一. (1)出示定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简述为:内
5、错角相等,两直线 平行. (2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言,谁能说一说,怎么转化? 考点 3 平行线的判定与性质 考点 2 定义与命题 (画出两条直线 a、b,被第三条直线 c 所截,标出内错角1、2,表示如果1=2,那么 ab) (3)怎么证明呢?请写出完整的证明过程. 已知:如图,1 和2 是直线 a,b 被直线 c 截出的内错角,且1=2. 求证:ab. 证明:1=2(已知),1=3(对顶角相等),3=2(等量代换).ab(同位角相等,两直线平行). 2.证明二. (1)出示定理:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简述为:同旁内角互补,两 直线平
6、行. (2)让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二. (3)讨论:要由同旁内角互补证明两直线平行,要怎么证明? (我们知道有定理“同位角相等,两直线平行”,如果能由同旁内角互补推出同位角相等,那么根据已有的这个 定理就能证明出两直线平行) (4)学生板书证明过程. 3.变式训练,培养能力.(出示投影) (1)如图 1 所示,由DCE=D,可判断哪两条直线平行?由1=2,可判断哪两条直线平行? (2)如图 2,已知1=45,2=135,l1l2 吗?为什么? 学生活动:学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出各种答案. 二、 1.证明:两直线平行,同位角相等. (1)引导学生画出两条平
7、行线(说一说:平行线怎么画?)被第三条线所截,并标出同位角,如图所示: (2)用几何语言描述这样的证明题. 已知:直线 ABCD,1 和2 是直线 AB,CD 被直线 EF 截出的同位角.求证1=2. (3)尝试证明. 思考:如果直接进行证明的话,难以找到能够作为依据的相关事实、定理,该怎么办?(提示学生可以用反证法, 假设结论错误,再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方,说明假设不成立,从而得证.) 提问:如果12,那么是否存在另外一条直线,它被第三条直线所截的2 的另一同位角1,有1=2 呢?(有) 如果有,是否意味着这条直线和 CD 平行?(是的,同位角相等,两直线平行) 这条直
8、线可以是任意一条,也就是说我们可以过 M 点(AB 与 EF 相交于点 M)画这样的一条直线,此时我们发 现过 M 点有两条直线与 CD 平行,这可能吗?(不可能,过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行) 这样看来假设不能成立,说明什么?(1=2) (4)学生根据讨论、交流,板书证明过程. 证明:假设12,那么我们可以过点 M 作直线 GH,使EMH=2,如图所示. 根据“同位角相等,两直线平行”,可知 GHCD. 又因为 ABCD,这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明12 的假设不
9、成立,所以1=2. 2.证明:两直线平行,内错角相等. (1)已知:如图,直线 l1l2,1 和2 是直线 l1,l2 被直线 l 截出的内错角. 求证:1=2. (2)尝试证明. 提示:我们已经证明了两直线平行,同位角相等,可以将这个作为基本的事实(定理),进行论证.在证明时,通过构 建新角等方法,尽可能应用到已有的定理,从而进行论证. 板书证明过程: 证明:l1l2(已知), 1=3(两直线平行,同位角相等). 又2=3(对顶角相等), 1=2(等量代换). 3.证明:两直线平行,同旁内角互补. 学生已有了相关证明的经验,放手让学生自我证明,再全班交流,集体订正. 4.师:请你对比这些平行
10、线的性质与前面所学的平行线的判定,它们有什么不同?请大家填写下面的表格,加以 对比. 条件 结论 平行线 的性质 判定平行 的判定 生填表,并讨论. 条件 结论 平行线 的性质 两直线平行 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 判定平行 的判定 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 师生共同总结: 两直线平行性质判定 判定:角的关系线的关系 性质:线的关系角的关系 5.思考:完成一个命题的证明,需要哪些主要环节? (1)根据题意画出图形(若已给出图形,则可省略); (2)根据题设和结论,结合图形,写出已知和求证; (3)经过分析,找出
11、已知得出求证的途径,写出证明过程; (4)检查证明过程是否正确完善. 三、解决问题 师:学会了平行线的性质,我们就利用性质解决一些问题.(投影出示) 1.如图,ABCD,ACBD.分别找出与1 相等或互补的角. 生:画图,找出所有与1相等或互补的角.与1相等的角有7个,与1互补的角有8个,用性质说明它们相等 或互补的理由. 第 1 题图 第 2 题图 2.如图,一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同,第一次拐的角B 是 130,第二次拐的角C 是多少度? 生:方向相同说明两条直线平行,根据两直线平行,内错角相等可得,C=B=130. 类型一检验数学结论的常用方法检验数学结论的常用方法 A. B.
12、 C. D 四个同学猜测他们之中谁被评为三好学生。 A 说：“如果我被评上，那么 B 也被评上。”B 说：“如果我被评上，那么 C 也被评上。”C 说：“如果 D 没评上，那么我也没评上。”实际上他们之中只有一个没被评上，并且 A. B. C 说的都是正确的。则没被 评上三好学生的是_. 【解析】 【总结与反思】 三 、例题精析 类型二 定义和命题定义和命题 2、下列语句中,是命题的是（ ） A. 两点确定一条直线吗 B. 在线段 AB 上任取一点 C. 作A 的平分线 AM D. 两个锐角的和大于直角 【解析】 【总结与反思】 类型三 利用“三线八角”判定两直线平行利用“三线八角”判定两直线
13、平行 1、如图，直线 a、b 被直线 c 所截，下列说法正确的是（ ） A.当1=2 时，一定有 ab B.当 ab 时，一定有1=2 C.当 ab 时，一定有1+2=90 D.当1+2=180时，一定有 ab 【解析】 【总结与反思】 考点四：综合运用平行线判定方法证明两直线平行考点四：综合运用平行线判定方法证明两直线平行 如图所示，不能判定 ADBC 的条件是（ ） A.2=3 B.1=4 C.DAB+ABC=180 D.ADC+BCD=180 【解析】 【总结与反思】 考点五：平行线的性质的应用考点五：平行线的性质的应用 如图，DHEGBC，DCEF，那么与EFB 相等的角(不包括EFB
14、)的个数为（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【解析】 【总结与反思】 考点六：平行线判定与性质的综合应用考点六：平行线判定与性质的综合应用 如图，BE 平分ABC，DEBC，图中相等的角共有（ ） A3 对 B4 对 C5 对 D6 对 【解析】 【总结与反思】 1、下列推理正确的是（ ） A. 如果 ab，bc，则 ac B. 若 ab，则 acbc C. 因为AOB=BOC，所以两角是对顶角 D. 因为两角的和是 180 ，所以两角互为邻补角 2.下列命题中，为真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 若 22 ba ，则 a=b D. 若
15、ab，则2a2b 3.如图，直线 1 l、 2 l被直线 3 l、 4 l所截，下列条件中，不能判断直线 1 l 2 l的是（ ） A.1=3 B.5=4 C.5+3=180 D.4+2=180 四 、课堂运用 基础 1.已知下列命题：相等的角是对顶角；互补的角就是平角；互补的两个角一定是一个锐角，另一个 为钝角； 垂直于同一条直线的两条直线平行； 同旁内角的平分线互相垂直 其中真命题的个数为 （ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 2.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角
16、互补，两直线平行 D.两直线平行，同位角相等 3.如图，直线 a 与直线 b 交于点 A，与直线 c 交于点 B，1=120，2=45，若使直线 b 与直线 c 平行， 则可将直线 b 绕点 A 逆时针旋转（ ） A.15 B.30 C.45 D.60 巩固 1.下列说法不正确的是（ ） A. 命题是判断一件事情的句子 B. 要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可 C. 公理正确与否必须用推理的方法来证实 D. 定理正确与否必须用推理的方法来证实 2、如图，下列条件中能判定直线 1 l 2 l的是（ ） A.1=2 B.1=5 C.1+3=180 D.3=5 拔高 3.如图,若1 与B
17、互为补角,B=E,那么直线 AB 与直线 DE 平行吗?直线 BC 与直线 EF 平行吗?为什么? 本节讲了 3 个重要内容： 1、下列推理正确的是（ ） A. 弟弟今年 13 岁，哥哥比弟弟大 6 岁，到了明年，哥哥比弟弟只大 5 岁了，因为弟弟的明年比今年长大 了 1 岁 B. 如果 ab，bc，则 ac C. A 与B 相等，原因是它们看起来大小也差不多 D. 因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角。 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 2、下列说法正确的是（ ） A. 互补的两个角是邻补角 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. “同旁内角互补”不是命题 D. “相等的两个角是对顶
18、角”是假命题 3.如图，能判定 EBAC 的条件是（ ） A.C=ABE B.A=EBD C.C=ABC D.A=ABE 1.学习平行线后，小敏想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行先的一种方法，她是通过折一张半透 明的纸得到的，如图，小敏画平行线的依据是 巩固 2.如图,在四边形 ABCD 中,A=C=90 ,1=2,3=4,求证：BEDF. 3.如图，ABCD，直线 EF 分别交 AB，CD 于 E，F，EG 平分BEF，若1=62，则2= 4.看图填空： (1)看图 1，完成证明： A+D=180(已知) _ _ 1=_ 1=65(已知) C=65_ (2)看图 2，已知，ADC=AB
19、C，BE、DF 分别平分ABC、ADC，且1=2，求证：A=C. 证明：BE、DF 分别平分ABC、ADC(已知) 1= 1 2 ABC,3= 1 2 ADC_ ABC=ADC(已知) 1 2 ABC= 1 2 ADC_ 1=3_ 1=2(已知) 2=3_ _ A+_=180, C+_=180_ A=C_ . 1.如图 （1）ABD=BDC（已知）， ，（ ）； （2）DBC=ADB（已知）， ，（ ）； （3）CBE=DCB（已知）， ，（ ）； （4）CBE=A，（已知）， ，（ ）； （5）A+ADC=180（已知）， ，（ ）； （6）A+ABC=180（已知）， ，（ ）. 拔高 2.如图所示，点 B、E 分别在 AC、DF 上，BD、CE 均与 AF 相交，12，CD，求证：AF 3.如图，在图 a、图 b、图 c 中都有直线 mn， （1）在图 a 中，2 和1、3 之间的数量关系是 。 （2）猜想：在图 b 中，1、2、3、4 之间的数量关系是 。 （3）猜想：在图 c 中，2、4 和1、3、5 的数量关系式是 。
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