1、 用二元一次方程组确定一次函数表达式 第 14 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.二元一次方程和一次函数的关系 2.二元一次方程组与一次函数的关系 3.用二元一次方程组确定一次函数表达式 教学目标 1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式,进一步理解方程与函数的联系. 教学重点 二元一次方程(组)与一次函数的关系 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 教学难点 理解并掌握数形结合的思想. 【教学建议教学建议】 本节课主要学习函数图象与二元一次方程（组）的关系，理解二元一次方程的解与一次函数的对应关 系非常重要，体现了数
2、形结合的思想 【知识导图】【知识导图】 用二元一次方程组确定一次函数表达式用二元一次方程组确定一次函数表达式 二元一次方程与一次函数的关系二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程组与一次函数的关系二元一次方程组与一次函数的关系 用二元一次方程组确定一次函数表用二元一次方程组确定一次函数表 达式达式 概 述 1.什么叫二元一次方程的解？ 2.一次函数的图像是什么？ 3.如图，求一次函数的图像的解析式 一、试一试 1、问题：方程 x+y=5 的解有多少个？写出其中的几个解来 方程 x+y=5 的解有无数多个，如： 2、在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y = 5 x 的图
3、像上吗？ 3、在一次函数 y=5x 的图像上任取一点，它的坐标适合方程 x+y=5 吗？ 4、以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y = 5 x 的图象相同吗？ 二、知识讲解 一、导入 考点 1 二元一次方程(组)与一次函数的关系 教学过程 二、做一做 在同一直角坐标系内分别作出一次函数 y = 5 x 和 y = 2x 1 的图象，这两个图象有交点吗？交点的 坐标与方程组 12 5 yx yx 的解有什么关系？你能说明理由吗？ 一次函数 y = 5 x 和 y = 2x 1 的图像的交点为(2，3)，因此， 3 2 y x 就是方程组 12 5 yx yx 的解 例
4、1、用作图象的方法解方程组 22 22 yx yx 解： 由 x-2y= - 2 可得 y=1 2 x ， 同理， 由 2xy=2 可得 y=2x2， 在同坐标系中作出一次函数 y =1 2 x 的图象和 y=2x2 的图象，观察图象，得两直线交于点（2，2），所以方程组 22 22 yx yx 的解是 2 2 y x 同学们你从本题中感悟到什么？ 原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图象法，那么用作图法来解方程组的步骤 如下： 1、把二元一次方程化成一次函数的形式 2、在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点 3、交点坐标就是方程组的解 三、练一练 1、用作图象的方法
5、解方程组 1232 42 yx yx 解：由 2x+y = 4 得 y= 2x+4；由 2x 3y = 12，可得4 3 2 xy 在同一直角坐标系中作出函数 y = 2x+4 和函数4 3 2 xy的图象，观察图象可得交点为(3， 2)， 所以方程组 1232 42 yx yx 的解是 2 3 y x 四、试一试 1、有一组数同时适合方程 x+y=2 和 x+y=5 吗？ 2、一次函数 y = 2 x，y = 5 x 的图象之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？ 没有一组数同时适合方程 x+y=2 和 x+y=5；一次函数 y = 2x，y = 5 x 的图象是两条平行的直线。 我们可以得
6、到：二元一次方程组无解一次函数的图象平行（无交点） 二元一次方程组有一解一次函数的图象相交（有一个交点） 二元一次方程组有无数个解一次函数的图象重合（有无数个交点） 五。、小结 1、二元一次方程的图象实际上就是一次函数的图象 2、用图象法可以解二元一次方程组，原来我们还可以用几何的图象法来解代数问题。 1.独立思考解决问题 例 1 已知点 A（1，2）和点 B（-2，5），试写出一个一次函数，使它的图象都经过 A、B 两点。 解：设经过 A、B 两点的一次函数为 y=kx+b 经过 A（1，2）和点 B（-2，5） 52 2 bk bk 解这个方程组得 3 1 b k 所以这个一次函数的表达式
7、为 y=-x+3 。 归纳：待定系数法的步骤可总结为四个字：“ 设 、 列 、 解 、 代 ” 已知直线 l1 经过点 A（0，3）及 B（3，0），l2 经过点 M（1，2）及 N（-2，-3）。求 l1、l2 的交点坐标。 分析：利用待定系数法先求出 l1、l2 的表达式，再把两个表达式联立，解方程组可得交点坐标。 类型一 二元一次方程（组）和一次函数的关系二元一次方程（组）和一次函数的关系 1 以方程 1 32 4 xy的解为坐标的所有点都在一次函数 y=_的图象上。 【解析】 12 123 yx 【总结与反思】二元一次方程和一次函数的相互转换 三 、例题精析 考点 2 用二元一次方程组
8、确定一次函数表达式 2.一次函数y=74x和y=1x的图象的交点坐标为_，则方程组 1 74 yx yx 的解为_. 【解析】（2，-1）， 2 1 x y 【总结与反思】二元一次方程组的解和对应一次函数交点的关系. 类型二 二元一次方程组确定一次函数表达式二元一次方程组确定一次函数表达式 1如果 2 3 y x 是方程组 53 1 2 1 nymx nymx 的解，则一次函数y=mx+n的解析式为（ ） A.y=x+2 B.y=x2 C.y=x2 D.y=x+2 【解析】D 【总结与反思总结与反思】 解方程求 m,n 从而得出答案. 1.直线 y=kx+b（k0）的表达式就是一个关于 x，y
9、 的_方程，以二元一次方程 y-kx=0 的解为坐标的 点组成的图像就是一次函数_的图像。 2 二元一次方程 5x+y=7 有_个解，经过以它的两个解为坐标的点就可以画出一次函数_的图象 3.一次函数 y=3x-5 与 y=2x+b 的图象的交点的坐标为 P（1，-2），试确定方程组 35 2 yx yxb 的解和 b 的值。 答案与解析答案与解析 1.【答案】二元一次；y=kx 【解析】一次函数与二元一次方程的关系. 2. 【答案】无数；y=7-5x 【解析】一次函数与二元一次方程的关系. 3. 【答案】b=-4，方程组的解： 1 2 x y 四 、课堂运用 基础 【解析】二元一次方程组与一
10、次函数的关系. 1.在一次函数y=52x的图象上任取一点， 它的坐标_方程 2x+y=5(此空填 “适合” 或 “不一定适合” ） . 2.以方程 2x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数_的图象相同. 3.已知两直线y1=2x3,y2=6x （1）在同一坐标系中作出它们的图象. （2）求它们的交点A的坐标. （3）则方程 xy x 6 32y 的解. 答案与解析答案与解析 1.【答案】适合 【解析】一次函数与二元一次方程的关系 2. 【答案】y=5-2x 【解析】一次函数与二元一次方程的关系 3. 【答案】.已知两直线y1=2x3,y2=6x （1）图略.（2）（3,3）.（3）
11、 3 3 y x 【解析】二元一次方程组与一次函数的关系及图象法求解二元一次方程组. 1.已知直线l1:y=k1x+b1和直线l2:y=k2x+b2 （1）当_时，l1与l2相交于一点，这个点的坐标是_. （2）当_时，l1l2，此时方程组 22 11 bxky bxky 的解的情况是_. （3）当_时，l1与l2重合，此时方程组 22 11 bxky bxky 的解的情况是_. 2.某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用 水量x（吨）的函数关系如图所示. （1） 分别写出当 0 x15 和x15 时，y与x的函数关系式； （2） 若某用户
12、十月份 用水量为 10 吨， 则应交水费多少元？若该用户 十 一月份交了 51 元的水费， 则他该月用水多少吨？ 巩固 拔高 x（吨） y（元） 15 20 39 27 O 答案与解析答案与解析 1.【答案】（1）k1k2，（ 211 212 1212 , bbk bb k kkkk ）. （2）k1=k2，b1b2，两个方程的解成正比。 （3）k1=k2，b1=b2，两个方程的解相等. 【解析】二元一次方程组解的三种情况. 2. 【答案】解： 【解析】待定系数法求一次函数解析式及一次函数的应用. 本节讲了 2 个重要内容： 1 二元一次方程（组）与一次函数的关系. 2 用二元一次方程组确定一
13、次函数表达式. 五 、课堂小结 六 、课后作业 1.方程 2x+y=5 的解有_个，请写出其中的四组解_，在直角坐标系中分别描出以这些解 为坐标的点，它们_一次函数y=52x的图象上（此空填“在”或“不在”）. 2.方程组 52 22 yx yx 的解为_，则一次函数y=22x,y=52x的图象的交点是_. 3.已知直线 y=x 与 y=-2x+1 相交，则其交点的坐标是_. 答案与解析答案与解析 1.【答案】无数； 1023 , 3511 xxxx yyyy ；在 【解析】二元一次方程与一次函数的关系. 2. 【答案】无解，没有交点. 【解析】二元一次方程组与一次函数的关系. 3. 【答案】
14、 1 1 , 3 3 【解析】用二元一次方程组求一次函数的交点坐标. 1.已知y1= 4 b x4,y2=2ax+4a+b （1）求a、b为何值时，两函数的图象重合？ （2）如果两直线相交于点（1，3），求a、b的值. 2.如图，l甲、l乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图象 并回答下列问题： （1）乙出发时，与甲相距_千米； （2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为_小时； 巩固 基础 （3）乙从出发起，经过_小时与甲相遇； （4）甲行走的路程s(千米）与时间t(时）之间的函数关系是_； （5）如果乙的自行车不出现故障，那么
15、乙出发后经过_时与甲相遇，相遇处离乙的出发点_ 千米，并在图中标出其相遇点. 答案与解析答案与解析 1.【答案】（1）a=1，b=-8; (2)a= 25 - 2 ,b=28 【解析】两直线重合的条件及二元一次方程组与一次函数的关系. 2. 【答案】（1）10； （2）1； （3）3； ； （5）15. 【解析】一 次函数应用与待定系数法求一次函数解析式. 1.用图象法解方程组 . 12 , 4 yx yx 2.如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象（分别为正比例函 数和一次函数）.两地间的距离是 80 千米.请你根据图象回答或解决下面的问题： （1）谁出发
16、的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？ 拔高 （2）两人在途中行驶的速度分别是多少？ （3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （4）指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件 列出关于时间x的方程或不等式（不要化简，也不要求解）：自行车行驶在摩托车前面；自行车与摩 托车相遇；自行车行驶在摩托车后面. 答案与解析答案与解析 1.【答案】解:交点坐标为：（1,3），所以方程组的解为 x=1 y=3 【解析】图象法求解二元一次方程组. 2. 【答案】.解： （1）由图可以看出，自行车出发较早，早
17、3 个小时，摩托车到达乙地较早，早 3 个小时 （2）对自行车而言，行驶的距离是 80 千米，耗时 8 个小时 所以其速度是：808=10（千米/小时）； 对摩托车而言，行驶的距离是 80 千米，耗时 2 个小时 所以其速度是：802=40（千米/小时） （3）设表示自行车行驶过程的函数解析式为 y=kx x=8 时，y=80， 因此 k=10， 表示自行车行驶过程的函数式是 y=10 x 设表示摩托车行驶过程的函数解析式是 y=ax+b， 由题意可知： 805 03 ba ba ，解得 120 40 b a ， 表示摩托车行驶过程的函数解析式为 y=40 x-120 （4）在 3x5 时间段内两次均行驶在途中， 自行车在摩托车前：10 x40 x-120， 两车相遇：10 x=40 x-120， 自行车在摩托车的后面：10 x40 x-120 【解析】一 次函数应用与待定系数法求一次函数解析式. 七 、教学反思
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