1、 立方根与估算 第 5 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 立方根 估算无理数的大小 用估算比较两个数的大小 计算无理数的整数部分和小数部分 教学目标 1、掌握立方根的定义以及正数、负数、0 的立方根的特点. 1、会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的 实际问题 教学重点 掌握立方根的定义. 估算无理数的大小 用估算比较两个数的大小 计算无理数的整数部分和小数部分 教学难点 运用所学知识解决问题. 【教学建议教学建议】 从现实情境引入，一方面让学生初步建立数感，另一方面让学生体会生活中的数学从而激发
2、学习的积极 性学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值 【知识导图】【知识导图】 概 述 温故知新温故知新 1计算： 3 1 ， 3 ) 2 1 ( ， 3 0 ， 3 2 . 0 ， 3 ) 3 . 0( ， 3 ) 4 3 ( ， 3 ) 5 1 ( 。 2.填一填：27(_)3，64(_)3，125(_)3， 125 8 (_)3 1.要制作一种容积为 27 3 m的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 解：设这种包装箱的边长是xm，则有 =27 想一想：这个问题，其实就是已知一个数的立方，反过来求这个数。即已知xax，求 3 2.什么叫立方根？什么叫开立方？
3、 一般的，如果一个数一般的，如果一个数x的的 等于等于a，即，即 ax 3 ，那么这个数，那么这个数x叫做叫做 立方根或立方根或 ，a叫做叫做 。 求一个数的 的运算，叫做 .立方与 互为逆运算。 填一填： 立方根与估算立方根与估算 立方根立方根 估算估算 教学过程 二、知识讲解 一、导入 考点 1 立方根及其性质 125(_)3 ，125 的立方根是 ； 0(_)3 ，0 的立方根是 ； 8(_)3 ，8 的立方根是 ； 64 27 (_)3 ， 64 27 的立方根是 ； .正数的立方根是 数； 0 的立方根是 ；负数的立方根是 数。 由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容公园有
4、多宽 某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园已知这块地的长是宽的两倍，它的面 积为 400000 平方米此时公园的宽是多少?长是多少? 给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少 给出引导问题：公园的宽有 1000 米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽 解：设公园的宽为 x 米，则它的长为 2x 米，由题意得： x2x =400000， 2x 2 =400000， x = 200000 那么 200000 =? 学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值 例 1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流 4020 ； 0.90.3； 1000
5、00500； 3 90096 解答：这些结果都不正确 怎样估算一个无理数的范围? 例 2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法 考点 2 估算 40 ； 0.9； 100000 ； 3 900 （ 误差小于 0.1；误差小于 10；误差小于 1） 解答： 406.3 ； 0.90.9； 100000310 ； 3 9009 说明：误差小于 10 就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于 10，所以100000的估算值在误差小 于 10 的前提下可以是 310，也可以是 320，还可以是 310 到 320 之间的任何数教材使用误差小于 10， 而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。 目的： 同
6、伴间进行交流，教师适时引导在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估 算的方法让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力 效果： 通过简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备 深入探究 内容： 用估算来解决数学的实际问题 例 1 你能比较 51 2 - 与 1 2 的大小吗？你是怎样想的？ 小明是这样想的： 51 2 - 与 1 2 的分母相同， 只要比较他们的分子就可以了， 因为52， 所以5-11， 51 2 - 1 2 解：54，即（5） 2 2 2 ， 52，5-11， 即 51 2 - 1 2
7、 例 2 解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题 200000=? （1）如果要求误差小于 10 米，它的宽大约是？ （大约 440 米或 450 米） 说明：只要是 440 与 450 之间的数都可以 （2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 平方米，你能估计它的半径吗（误差小于 1 米）？ （15 米或 16 米） 说明：只要是 15 与 16 之间的数都可以 例 3 给出新的问题情境画能挂上去吗？ 生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定现有一长度 为 6 米的梯子，当梯子稳定摆放时， （1）他的顶端最多能到达多高（保留到 0.
8、1）？ （2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高 5.9 米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？ 解：设梯子稳定摆放时的高度为 x 米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的 1 3 ，根据勾股定理 ： 32,36466 3 1 22222 xxx，）（， x=32， 因为3236.316 . 5 2 ,3249.327 . 5 2 ,5.65 32，所以他的顶端最多能到达 5.7 米 5.75.9 所以画不能挂上去 目的： 学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值 效果： 在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣 6 1 3
9、6 x 类型一 立方根 1. 32 1 ）（的立方根是( ) A.-1 B.0 C.1 D.1 【解析】C 【总结与反思】考查立方根的定义 2.若一个数的立方根是-3,则该数为( ) A.- 3 3 B.-27 C. 3 3 D.27 【解析】B 【总结与反思】考查立方根与立方互为逆运算 3.下列判断： 一个数的立方根有两个， 它们互为相反数； 若 33 )2(x， 则 x=-2； 15 的立方根是 3 15； 任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数.其中正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解析】B 【总结与反思】考查立方根及其性质 类型二 估算及比较大小 【例
10、题】【例题】 估计30的值在（ ） （A）3 到 4 之间 （B） 4 到 5 之间 （C）5 到 6 之间 （D）6 到 7 之间 【解析】C 【总结与反思】平方法估算数的大小 2、若 a，b 是两个连续整数，且 a17b，则 ab= 。 【解析】20 【总结与反思】平方法估算数的大小 3、一个正方形的面积为 50cm，则这个正方形的边长约为（ ） （A）5cm （B）6cm （C）7cm （D）8cm 三 、例题精析 【解析】C 【总结与反思】平方法估算数的大小 4、估算20 （误差小于 0.1）； 3 286 （误差小于 1）。 【解析】4.5,6 【总结与反思】平方法估算数的大小 考点
11、三：计算无理数的整数部分和小数部分考点三：计算无理数的整数部分和小数部分 【例题】【例题】 1、估算117 的整数部分是 ，小数部分是的 。 【解析】5，17-4 【总结与反思】 先部分估算无理数（根号）部分的大小，再整体估算 2、若13的整数部分是 a， 3 65的整数部分是 b，则 a-b= 。 【解析】-1 【总结与反思】平方（立方）法估算数的大小 1.立方根等于本身的数为_. 2. 3 64的平方根是_. 3一个正方形的面积为 28，则它的边长应在（ ） A3 到 4 之间 B4 到 5 之间 C5 到 6 之间 D6 到 7 之间 4如图，下列各数中，数轴上点 A 表示的可能是（ ）
12、 A4 的算术平方根 B4 的立方根 C8 的算术平方根 D8 的立方根 答案与解析 1.【答案】0,1,-1 【解析】立方根等于它本身的数 2. 【答案】2 【解析】平方根立方根综合应用 3. 【答案】B 【解析】估算数的大小 基础 4. 【答案】D 【解析】估算数的大小 1.若 x-1 是 125 的立方根，则 x-7 的立方根是_. 2下列各组数的比较，错误的是（ ） A65 B31.732 C1.4142 D3.14 答案与解析 1.【答案】-1 【解析】立方根的运算 2. 【答案】C 【解析】平方法比较大小 1.计算 33 7）（的正确结果是( ) 2.-27 的立方根与81的平方根
13、之和是_. 3已知 a，b 为两个连续整数，且ba 13，则 a+b=_ 答案与解析 1.【答案】-7 【解析】求立方根 2.【答案】0 或-6 【解析】平方根与立方根的混合应用 3.【答案】7 【解析】估算 本节讲了 2 个重要内容： 立方根的定义及性质, 巩固 拔高 五 、课堂小结 2估算及比较大小. 1.求下列各式的值： (1) 3 001. 0； (2) 3 125 343 ； (3) 3 27 19 1. 2.下列说法正确的是( ) A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B.一个数的立方根比这个数平方根小 C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D. 3 a与 3 a互为相反
14、数 3.12 的负的平方根介于（ ） A5 与4 之间 B4 与3 之间 C3 与2 之间 D2 与1 之间 答案与解析答案与解析 1.【答案】(1)0.1； (2)- 5 7 ； (3)- 3 2 . 【解析】求立方根 2.【答案】D 【解析】立方根及其性质 3.【答案】B 【解析】估算 1.已知 2x+1 的平方根是5，则 5x+4 的立方根是_. 2.若8a与(b-27)互为相反数，求 33 ba 的立方根. 3若 n=596，则估计 n 的值所在范围，下列最接近的是（ ） A4n5 B3n4 C2n3 D1n2 4比较5, 2 3 , 3 3 的大小，正确的是（ ） 巩固 六 、课后作
15、业 A 3 3 2 3 5 B 2 3 35 3 C5 2 3 3 3 D 2 3 53 3 答案与解析答案与解析 1.【答案】4 【解析】由平方根求立方根 2.【答案】由题意知 a=-8，b=27， 所以 33 ba =-5. 故 33 ba 的立方根是 3 5 【解析】平方根与立方根的运算 3.【答案】D 【解析】估算 4.【答案】A 【解析】比较大小 1如图，在数轴上点 A 和点 B 之间的整数是_ 2规定用符号x表示一个实数的整数部分，例如3.69=33=1，按此规定，131=_ 3.很久很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干死了,人们找不到水喝,于是大家一起到神 庙里去
16、向神祈求.神说：“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的正方体祭坛太小,如果你们做一个比 它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降雨.”大家觉得很好办,于是很快做好了一个新祭坛送到神那里, 新祭坛的棱长是原来的 2 倍.可是神愈发恼怒,他说：“你们竟敢愚弄我.这个祭坛的体积不是原来的 2 倍, 我要进一步惩罚你们！” 如图所示,不妨设原祭坛边长为 a,想一想： 拔高 (1)做出来的新祭坛是原来体积的多少倍？ (2)要做一个体积是原来祭坛的 2 倍的新祭坛,它的棱长应该是原来的多少倍？ 4.请先观察下列等式： 33 7 2 2 7 2 2， 33 26 3 3 26 3 3， 33 63 4 4 63 4 4， (1)请再举两个类似的例子； (2)经过观察,写出满足上述各式规则的一般公式. 答案与解析答案与解析 1.【答案】2 【解析】估算 2.【答案】2 【解析】估算 3.【答案】(1)8 倍； (2) 3 2倍. 【解析】立方根的应用 4.【答案】(1) 33 124 5 5 124 5 5, 33 215 6 6 215 6 6； (2) 3 3 3 3 11 n n n n n n（n1,且 n 为整数). 【解析】立方根及其规律探究 七 、教学反思
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