1、2020-2021 年年建瓯市房道建瓯市房道中中学学九年级（上）月考数学试卷（九年级（上）月考数学试卷（10 月份）月份） 一选择题（每题一选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）16 平方根是（ ） A4 B4 C4 D8 2 （3 分）方程 2x26x=9 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A6，2，9 B2，6，9 C2，6，9 D2，6，9 3 （3 分）抛物线 y=（x2）23 的顶点坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 4 （3 分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ） Ax2+2x=0 B （x1）
2、2=0 Cx2=1 Dx2+1=0 5 （3 分）如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ） Ay=x22x+3 By=x22x3 Cy=x2+2x+3 Dy=x2+2x+3 6 （3 分）直角三角形两条直角边的和为 7，面积是 6，则斜边长是（ ） A B5 C D7 7 （3 分）把 160 元的电器连续两次降价后的价格为 y 元，若平均每次降价的百分率是 x，则 y 与 x 的函数关系式为（ ） Ay=320（x1） By=320（1x） Cy=160（1x2） Dy=160（1x）2 8 （3 分） 已知函数 y= （k3） x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点， 则 k 的取值范
3、围是 （ ） Ak4 Bk4 Ck4 且 k3 Dk4 且 k3 9 （3 分）三角形两边长分别是 8 和 6，第三边长是一元二次方程 x216x+60=0 一个实 数根，则该三角形的面积是（ ） A24 B48 C24 或 8 D8 10 （3 分）函数 y=ax22x+1 和 y=ax+a（a 是常数，且 a0）在同一直角坐标系中的图 象可能是（ ） A B C D 二填空题（每小题二填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）已知（1，y1） ， （2，y2） ， （3，y3）都在函数 y=x2图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系为 （用“”连接） 12 （3
4、分）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛 90 场设共有 x 个队参加比赛，则依题意可列方程为 13 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x25x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 可取的最 大整数为 14 （3 分）已知点 P（x，y）在二次函数 y=2（x+1）23 的图象上，当2x1 时， y 的取值范围是 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（0， 2） ， （1，0） ，顶点 C 在函数 y=x2+bx1 的图象上，将正方形 ABCD 沿 x 轴正方形平 移后得到正方形 ABCD，点 D 的对应点 D落在抛物线上
5、，则点 D 与其对应点 D间的 距离为 16 （3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的两个交点分别为（1，0） ， （3， 0）对于下列命题：b2a=0；abc0； a2b+4c08a+c0，其中正确的 有 三、解答题（共三、解答题（共 102 分）分） 17 （10 分）解方程 （1）x24x=0 （2）2x2+3=7x 18（8 分）已知 x1=1 是方程 x2+mx5=0 的一个根，求 m 的值及方程的另一根 x2 19 （8 分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，2） ， （0，2） ，函数的 最小值是4 （1）求二次函数的解析式 （2） 当自变量的
6、取值范围为什么时， 该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案 20 （10 分）某商店进行促销活动，如果将进价为 8 元/件的商品按每件 10 元出售，每 天可销售 100 件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的 单价每涨 1 元，其销售量就要减少 10 件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所 赚的利润最大？并求出最大利润 21 （8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 mx2（2m2）x+m=0 有实根 （1）求 m 的取值范围； （2）若原方程两个实数根为 x1，x2，是否存在实数 m，使得+=1？请说明理由 22 （8 分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示隧道
7、中公路的宽度 AB=8m，隧道的 最高点 C 到公路的距离为 6m （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）现有一辆货车的高度是 4.4m，货车的宽度是 2m，为了保证安全，车顶距离隧道 顶部至少 0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道 23 （10 分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形 花园 ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m） ，现在已备足可以砌 50m 长的墙的材料 （1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为 300m2 （2）当 BC 为何值时，矩形 ABCD 的面积有最大值？并求出最大值 24 （10 分）如图，正方形
8、OABC 的边 OA，OC 在坐标轴上，点 B 的坐标为（4，4） 点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向点 O 运动；点 Q 从点 O 同时出 发， 以相同的速度沿 x 轴的正方向运动，规定点 P 到达点 O 时，点 Q 也停止运动 连 接 BP，过 P 点作 BP 的垂线，与过点 Q 平行于 y 轴的直线 l 相交于点 DBD 与 y 轴交 于点 E，连接 PE设点 P 运动的时间为 t（s） （1）PBD 的度数为 ，点 D 的坐标为 （用 t 表示） ； （2）当 t 为何值时，PBE 为等腰三角形？ （3）探索POE 周长是否随时间 t 的变化而变化？若变化
9、，说明理由；若不变，试求这 个定值 25 （10 分）已知直线 l：y=2，抛物线 C：y=ax21 经过点（2，0） （1）求 a 的值； （2）如图，点 P 是抛物线 C 上任意一点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q求证： PO=PQ； （3）请你参考（2）中的结论解决下列问题 1如图，过原点作直线交抛物线 C 于 A，B 两点，过此两点作直线 l 的垂线，垂足分 别为 M，N，连接 ON，OM，求证：OMON； 2如图，点 D（1，1） ，使探究在抛物线 C 上是否存在点 F，使得 FD+FO 取得最小值？ 若存在，求出点 F 的坐标，若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考
10、答案与试题解析 一选择题（每题一选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）16 平方根是（ ） A4 B4 C4 D8 【分析】依据平方根的定义和性质求解即可 【解答】解：16 平方根是4 故选：C 【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，掌握平方根的性质是解题的关键 2 （3 分）方程 2x26x=9 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A6，2，9 B2，6，9 C2，6，9 D2，6，9 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0） ，特别要注 意 a0 的条件 这是在做题过程中容易忽视的知识点 在一般形式中 ax
11、2叫二次项， bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项要 确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式 【解答】解：方程 2x26x=9 化成一般形式是 2x26x9=0， 二次项系数为 2，一次项系数为6，常数项为9 故选：C 【点评】注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号 3 （3 分）抛物线 y=（x2）23 的顶点坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决 【解答】解：抛物线 y=（x2）23，
12、 该抛物线的顶点坐标是（2，3） ， 故选：A 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质 解答 4 （3 分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ） Ax2+2x=0 B （x1）2=0 Cx2=1 Dx2+1=0 【分析】 逐一求出四个选项中方程的根的判别式的值， 取其为零的选项即可得出结论 【解答】解：A、=22410=40， 一元二次方程 x2+2x=0 有两个不相等的实数根； B、原方程可变形为 x22x+1=0， =（2）2411=0， 一元二次方程（x1）2=0 有两个相等的实数根； C、原方程可变形为 x21=0， =0241（1）=40
13、， 一元二次方程 x2=1 有两个不相等的实数根； D、=02411=40， 一元二次方程 x2+1=0 没有实数根 故选：B 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当=0 时，方程有两个相等的实数根”是解题的 关键 5 （3 分）如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ） Ay=x22x+3 By=x22x3 Cy=x2+2x+3 Dy=x2+2x+3 【分析】先利用抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0） ， （3，0） ，则可设交点式为 y=a （x+1） （x3） ，然后把（0，3）代入求出 a 的值即可 【解答】解：因为抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0） ， （3，0） ， 可设交
14、点式为 y=a（x+1） （x3） ， 把（0，3）代入 y=a（x+1） （x3） ， 可得：3=a（0+1） （03） ， 解得：a=1， 所以解析式为：y=x22x3， 故选：B 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关 系式时， 要根据题目给定的条件， 选择恰当的方法设出关系式， 从而代入数值求解 一 般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求 解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线 与 x 轴有两个交点时， 可选择设其解析式为交点式来求解 也考查了二次函数的性质 6 （3 分）直角
15、三角形两条直角边的和为 7，面积是 6，则斜边长是（ ） A B5 C D7 【分析】设其中一条直角边的长为 x，则另一条直角边的长为（7x） ，根据三角形的面 积为 x 建立方程就可以求出两直角边，由勾股定理就可以求出斜边 【解答】解：设其中一条直角边的长为 x，则另一条直角边的长为（7x） ，由题意，得 x（7x）=6， 解得：x1=3 ，x2=4， 由勾股定理，得 斜边为： =5 故选：B 【点评】本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理的运用列一元二次方程解实 际问题的运用，解答时根据面积公式建立方程求出直角边是关键 7 （3 分）把 160 元的电器连续两次降价后的价格为 y 元，
16、若平均每次降价的百分率是 x，则 y 与 x 的函数关系式为（ ） Ay=320（x1） By=320（1x） Cy=160（1x2） Dy=160（1x）2 【分析】由原价 160 元可以得到第一次降价后的价格是 160（1x） ，第二次降价是在第 一次降价后的价格的基础上降价的，为 160（1x） （1x） ，由此即可得到函数关系 式 【解答】解：第一次降价后的价格是 160（1x） ， 第二次降价为 160（1x）（1x）=160（1x）2 则 y 与 x 的函数关系式为 y=160（1x）2 故选：D 【点评】此题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降 价后的
17、价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于 x 的二次函数 8 （3 分） 已知函数 y= （k3） x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点， 则 k 的取值范围是 （ ） Ak4 Bk4 Ck4 且 k3 Dk4 且 k3 【分析】分为两种情况：当 k30 时， （k3）x2+2x+1=0，求出=b24ac=4k+16 0 的解集即可；当 k3=0 时，得到一次函数 y=2x+1，与 x 轴有交点；即可得到 答案 【解答】解：当 k30 时， （k3）x2+2x+1=0， =b24ac=224（k3）1=4k+160， k4； 当 k3=0 时，y=2x+1，与 x 轴有交点 故选：
18、B 【点评】本题主要考查对抛物线与 x 轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点 的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的 k 是解此题的关键 9 （3 分）三角形两边长分别是 8 和 6，第三边长是一元二次方程 x216x+60=0 一个实 数根，则该三角形的面积是（ ） A24 B48 C24 或 8 D8 【分析】先利用因式分解法解方程得到所以 x1=6，x2=10，再分类讨论：当第三边长为 6 时，如图，在ABC 中，AB=AC=6，BC=8，作 ADBC，则 BD=CD=4，利用勾股定理 计算出 AD=2，接着计算三角形面积公式；当第三边长为 10 时，利用勾股定理的 逆定理可判断
19、此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积 【解答】解：x216x+60=0 （x6） （x10）=0， x6=0 或 x10=0， 所以 x1=6，x2=10， 当第三边长为 6 时，如图， 在ABC 中， AB=AC=6， BC=8， 作 ADBC， 则 BD=CD=4， AD=2， 所以该三角形的面积=82=8； 当第三边长为 10 时，由于 62+82=102，此三角形为直角三角形， 所以该三角形的面积=86=24， 即该三角形的面积为 24 或 8 故选：C 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边 通过因式分解化为两个一次因式的积
20、的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0， 这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方 程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 10 （3 分）函数 y=ax22x+1 和 y=ax+a（a 是常数，且 a0）在同一直角坐标系中的图 象可能是（ ） A B C D 【分析】 可先根据一次函数的图象判断a的符号， 再判断二次函数图象与实际是否相符， 判断正误 【解答】解：A、由一次函数 y=ax+a 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax2+bx+c 的图 象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数 y=ax+a 的图象可得：a0，此时二次函数
21、y=ax2+bx+c 的图象应该开口向 下，故选项错误； C、由一次函数 y=ax+a 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax2+bx+c 的图象应该开口向 上，对称轴 x=0，故选项正确； D、 由一次函数 y=ax+a 的图象可得： a0， 此时二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴 x= 0，故选项错误故选 C 【点评】应该熟记一次函数 y=ax+a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数 的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等 二填空题（每小题二填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）已知（1，y1） ， （2，y2） ， （3，y3）都在函数 y
22、=x2图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系为 y1y2y3 （用“”连接） 【分析】把各点的横坐标代入函数解析式求出函数值，即可得解 【解答】解：x=1 时，y1=2（1）2=2， x=2 时，y2=222=8， x=3 时，y3=2（3）2=18， 所以，y1y2y3 故答案为：y1y2y3 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确计算求出各函数值是解题的关 键 12 （3 分）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛 90 场设共有 x 个队参加比赛，则依题意可列方程为 x（x1）=90 【分析】设有 x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛
23、，共 要比赛 90 场，可列出方程 【解答】解：设有 x 个队参赛， x（x1）=90 故答案为：x（x1）=90 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关 系列方程求解 13 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x25x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 可取的最 大整数为 6 【分析】根据判别式的意义得到=（5）24k0，解不等式得 k，然后在此范 围内找出最大整数即可 【解答】解：根据题意得=（5）24k0， 解得 k， 所以 k 可取的最大整数为 6 故答案为 6 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24a
24、c：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0， 方程没有实数根 14 （3 分）已知点 P（x，y）在二次函数 y=2（x+1）23 的图象上，当2x1 时， y 的取值范围是 3y5 【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可以求得相应的 y 的取值范围，本题得以解 决 【解答】解：二次函数 y=2（x+1）23， 该函数对称轴是直线 x=1，当 x=1 时，取得最小值，此时 y=3， 点 P（x，y）在二次函数 y=2（x+1）23 的图象上， 当2x1 时，y 的取值范围是：3y5， 故答案为：3y5 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征
25、，解答本题的关键是 明确题意，利用二次函数的性质解答 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（0， 2） ， （1，0） ，顶点 C 在函数 y=x2+bx1 的图象上，将正方形 ABCD 沿 x 轴正方形平 移后得到正方形 ABCD，点 D 的对应点 D落在抛物线上，则点 D 与其对应点 D间的 距离为 2 【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据 A 和 B 的坐标求 OB 和 OA 的长，证明 AOBBGC，BG=OA=2，CG=OB=1，写出 C（3，1） ，同理得：BCGCDH， 得出 D 的坐标，根据平移的性质：D 与 D的纵坐标相
26、同，则 y=3，求出 D的坐标，计 算其距离即可 【解答】解：如图，过 C 作 GHx 轴，交 x 轴于 G，过 D 作 DHGH 于 H， A（0，2） ，B（1，0） ， OA=2，OB=1， 四边形 ABCD 为正方形， ABC=90，AB=BC， ABO+CBG=90， ABO+OAB=90， CBG=OAB， AOB=BGC=90， AOBBGC， BG=OA=2，CG=OB=1， C（3，1） ， 同理得：BCGCDH， CH=BG=2，DH=CG=1， D（2，3） ， C 在抛物线的图象上， 把 C（3，1）代入函数 y=x2+bx1 中得：b=， y=x2x1， 设 D（x，
27、y） ， 由平移得：D 与 D的纵坐标相同，则 y=3， 当 y=3 时， x2x1=3， 解得：x1=4，x2=3（舍） ， DD=42=2， 则点 D 与其对应点 D间的距离为 2， 故答案为：2 【点评】本题考查出了二次函数图象与几何变换平移、三角形全等的性质和判 定、正方形的性质，作辅助线，构建全等三角形，明确 D 与 D的纵坐标相同是关键 16 （3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的两个交点分别为（1，0） ， （3， 0）对于下列命题：b2a=0；abc0； a2b+4c08a+c0，其中正确的 有 【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得 a0，根据图
28、象与 y 轴交点可得 c0， 再根据二次函数的对称轴 x=，结合图象与 x 轴的交点可得对称轴为 x=1，结合 对称轴公式可判断出的正误；根据对称轴公式结合 a 的取值可判定出 b0，根据 a、b、c 的正负即可判断出的正误；利用 ab+c=0，求出 a2b+4c0，再利用当 x=4 时，y0，则 16a+4b+c0，由知，b=2a，得出 8a+c0 【解答】解：根据图象可得：a0，c0， 对称轴：x=0， 它与 x 轴的两个交点分别为（1，0） ， （3，0） ， 对称轴是 x=1， =1， b+2a=0， 故错误； a0， b0， c0， abc0，故错误； ab+c=0， c=ba， a
29、2b+4c=a2b+4（ba）=2b3a， 又由得 b=2a， a2b+4c=7a0， 故此选项正确； 根据图示知，当 x=4 时，y0， 16a+4b+c0， 由知，b=2a， 8a+c0； 故正确； 故正确为：两个 故答案为： 【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数 a 决定抛物线的开口方向， 当 a0 时， 抛物线向上开口； 当 a0 时， 抛物线向下开口； 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置： 当a与b同号时 （即ab0） ， 对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右 （简称：左同右 异）常数项 c
30、决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于（0，c） 三、解答题（共三、解答题（共 102 分）分） 17 （10 分）解方程 （1）x24x=0 （2）2x2+3=7x 【分析】 （1）利用因式分解法解方程； （2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程 【解答】解： （1）x（x4）=0， x=0 或 x4=0， 所以 x1=0，x2=4； （2）2x27x+3=0， （2x1） （x3）=0， 2x1=0 或 x3=0， 所以 x1=，x2=3 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为 0，再把 左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个
31、因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二 次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 18 （8 分）已知 x1=1 是方程 x2+mx5=0 的一个根，求 m 的值及方程的另一根 x2 【分析】将 x1=1 代入方程可得关于 m 的方程，解之求得 m 的值，即可还原方程，解 之得出另一个根 【解答】解：由题意得： （1）2+（1）m5=0， 解得 m=4； 当 m=4 时，方程为 x24x5=0 解得：x1=1，x2=5 所以方程的另一根 x2=5 【点评】本题主要考查一元二次方程的解的定义及解方程的能力，解题的关键是根据方 程
32、的解的定义求得 m 的值 19 （8 分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，2） ， （0，2） ，函数的 最小值是4 （1）求二次函数的解析式 （2） 当自变量的取值范围为什么时， 该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案 【分析】 （1）先利用二次函数的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x=1，则抛物线的顶 点坐标为（1，4） ，设顶点式 y=a（x1） 24，然后把（0，2）代入求出 a 即可； （2）2（x1）24=0 得抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0） ， （1+，0） ，然后 写出抛物线在 x 轴上方所对应的自变量的范围即可 【解答】解： （1）二次函数的图象经过（
33、2，2） ， （0，2） ， 抛物线的对称轴为直线 x=1， 抛物线的顶点坐标为（1，4） ， 设抛物线的解析式为 y=a（x1）24， 把（0，2）代入得 a（01）24=2，解得 a=2， 抛物线的解析式为 y=2（x1）24； （2）当 y=0 时，2（x1）24=0，解得 x1=1，x2=1+， 抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0） ， （1+，0） ， 当 x1或 x1+时，y0， 即当 x1或 x1+时，该二次函数的图象在横轴上方 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）与 x 轴的交点坐标问题转化解一元二次方程的
34、问题关于 x 的一元二次方程即 可求得交点横坐标也考查了二次函数的性质 20 （10 分）某商店进行促销活动，如果将进价为 8 元/件的商品按每件 10 元出售，每 天可销售 100 件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的 单价每涨 1 元，其销售量就要减少 10 件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所 赚的利润最大？并求出最大利润 【分析】确定每件利润、销售量，根据利润=每件利润销售量，得出销售利润 y（元） 与销售单价 x（元）之间的函数关系，利用配方法确定函数的最值 【解答】解：设销售价每件定为 x 元，则每件利润为（x8）元，销售量为10010（x 10），
35、根据利润=每件利润销售量， 可得销售利润 y= （x8） 10010 （x10） =10 x2+280 x1600=10 （x14） 2+360， 当 x=14 时，y 的最大值为 360 元， 应把销售价格定为每件 14 元，可使每天销售该商品所赚利润最大，最大利润为 360 元 【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而 来解决实际问题，比较简单 21 （8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 mx2（2m2）x+m=0 有实根 （1）求 m 的取值范围； （2）若原方程两个实数根为 x1，x2，是否存在实数 m，使得+=1？请说明理由 【分析】 （1）根
36、据“关于 x 的一元二次方程 mx2（2m2）x+m=0 有实根”，判别式 0，得到关于 m 的一元一次方程，解之即可， （2）根据“+=1”，通过整理变形，根据根与系数的关系，得到关于 m 的一元二次 方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案 【解答】解： （1）方程 mx2（2m2）x+m=0 是一元二次方程， m0， =（2m2）24m2 =4m28m+44m2 =48m0， 解得：m， 即 m 的取值范围为：m且 m0， （2）+=2=1， x1+x2=，x1x2=1， 把 x1+x2=，x1x2=1 代入 2=1 得： =3， 解得：m=42， m 的取值范围为：m且 m0， m=
37、42不合题意， 即不存在实数 m，使得+=1 【点评】 本题考查了根与系数的关系， 一元二次方程的定义和根的判别式， 解题的关键： （1）根据判别式0，列出关于 m 的一元一次方程， （2）正确掌握根与系数的关 系，列出一元二次方程 22 （8 分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示隧道中公路的宽度 AB=8m，隧道的 最高点 C 到公路的距离为 6m （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）现有一辆货车的高度是 4.4m，货车的宽度是 2m，为了保证安全，车顶距离隧道 顶部至少 0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道 【分析】（1） 以 AB 所在直线为 x 轴，
38、 以抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy， 如图所示，利用待定系数法即可解决问题 （1）求出 x=1 时的 y 的值，与 4.4+0.5 比较即可解决问题 【解答】解： （1）本题答案不唯一，如： 以 AB 所在直线为 x 轴， 以抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy， 如图所示 A（4，0） ，B（4，0） ，C（0，6） 设这条抛物线的表达式为 y=a（x4） （x+4） 抛物线经过点 C， 16a=6 a= 抛物线的表达式为 y=x2+6， （4x4） （2）当 x=1 时，y=， 4.4+0.5=4.9， 这辆货车能安全通过这条隧道 【点评】本题考查二次函数
39、的应用、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平 面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型 23 （10 分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形 花园 ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m） ，现在已备足可以砌 50m 长的墙的材料 （1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为 300m2 （2）当 BC 为何值时，矩形 ABCD 的面积有最大值？并求出最大值 【分析】 （1）根据题意可以得到相应的一元二次方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后化为顶点式，注意求出的边 长要符合题意 【解答】解： （1）设 A
40、B 为 xm，则 BC 为（502x）m， x（502x）=300， 解得，x1=10，x2=15， 当 x1=10 时 502x=3025（不合题意，舍去） ， 当 x2=15 时 502x=2025（符合题意） ， 答：当砌墙宽为 15 米，长为 20 米时，花园面积为 300 平方米； （2）设 AB 为 xm，矩形花园的面积为 ym2， 则 y=x（502x）=2（x）2+， x=时，此时 y 取得最大值，502x=25 符合题意，此时 y= ， 即当砌墙 BC 长为 25 米时，矩形花园的面积最大，最大值为 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找
41、 出所求问题需要的条件 24 （10 分）如图，正方形 OABC 的边 OA，OC 在坐标轴上，点 B 的坐标为（4，4） 点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向点 O 运动；点 Q 从点 O 同时出 发， 以相同的速度沿 x 轴的正方向运动，规定点 P 到达点 O 时，点 Q 也停止运动 连 接 BP，过 P 点作 BP 的垂线，与过点 Q 平行于 y 轴的直线 l 相交于点 DBD 与 y 轴交 于点 E，连接 PE设点 P 运动的时间为 t（s） （1）PBD 的度数为 45 ，点 D 的坐标为 （t，t） （用 t 表示） ； （2）当 t 为何值时，PBE
42、为等腰三角形？ （3）探索POE 周长是否随时间 t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这 个定值 【分析】 （1）易证BAPPQD，从而得到 DQ=AP=t，从而可以求出PBD 的度数和 点 D 的坐标 （2） 由于EBP=45， 故图 1 是以正方形为背景的一个基本图形， 容易得到 EP=AP+CE 由 于PBE 底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然 后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的 t 值 （3）由（2）已证的结论 EP=AP+CE 很容易得到POE 周长等于 AO+CO=8，从而解决问 题 【解答】解： （1）如图 1， 由题可得：AP=O
43、Q=1t=t（秒） AO=PQ 四边形 OABC 是正方形， AO=AB=BC=OC， BAO=AOC=OCB=ABC=90 DPBP， BPD=90 BPA=90DPQ=PDQ AO=PQ，AO=AB， AB=PQ 在BAP 和PQD 中， BAPPQD（AAS） AP=QD，BP=PD BPD=90，BP=PD， PBD=PDB=45 AP=t， DQ=t 点 D 坐标为（t，t） 故答案为：45， （t，t） （2）若 PB=PE，则 t=0，符合题意 若 EB=EP， 则PBE=BPE=45 BEP=90 PEO=90BEC=EBC 在POE 和ECB 中， POEECB（AAS） O
44、E=CB=OC 点 E 与点 C 重合（EC=0） 点 P 与点 O 重合（PO=0） 点 B（4，4） ， AO=CO=4 此时 t=AP=AO=4 若 BP=BE， 在 RtBAP 和 RtBCE 中， RtBAPRtBCE（HL） AP=CE AP=t， CE=t PO=EO=4t POE=90， PE= =（4t） 延长 OA 到点 F，使得 AF=CE，连接 BF，如图 2 所示 在FAB 和ECB 中， FABECB FB=EB，FBA=EBC EBP=45，ABC=90， ABP+EBC=45 FBP=FBA+ABP =EBC+ABP=45 FBP=EBP 在FBP 和EBP 中
45、， FBPEBP（SAS） FP=EP EP=FP=FA+AP =CE+AP EP=t+t=2t （4t）=2t 解得：t=44 当 t 为 0 秒或 4 秒或（44）秒时，PBE 为等腰三角形 （3）EP=CE+AP， OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE =AO+CO =4+4 =8 POE 周长是定值，该定值为 8 【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾 股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力， 综合性非常强熟悉正方形与一个度数为 45的角组成的基本图形（其中角的顶点与 正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两
46、边分别相交）是解决本题的关键 25 （10 分）已知直线 l：y=2，抛物线 C：y=ax21 经过点（2，0） （1）求 a 的值； （2）如图，点 P 是抛物线 C 上任意一点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q求证： PO=PQ； （3）请你参考（2）中的结论解决下列问题 1如图，过原点作直线交抛物线 C 于 A，B 两点，过此两点作直线 l 的垂线，垂足分 别为 M，N，连接 ON，OM，求证：OMON； 2如图，点 D（1，1） ，使探究在抛物线 C 上是否存在点 F，使得 FD+FO 取得最小值？ 若存在，求出点 F 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数
47、法可求 a 的值； （2）设点 P（a， a21） ，根据两点距离公式可求 PQ，PO 的长度，即可证 PQ=PO； （3）1由（2）可得 OB=BN，AM=AO，即可求BON=BNO，AOM=AMO，根据 三角形内角和定理可求 OMON； 2过点 F 作 EF直线 l，由（2）得 OF=EF，当点 D，点 F，点 E 三点共线时，OF+DF 的 值最小，此时 DE直线 l，即可求 FD+FO 的最小值 【解答】解： （1）抛物线 C：y=ax21 经过点（2，0） 0=4a1 a= （2）a= 抛物线解析式：y=x21 设点 P（a， a21） PO=a2+1 PQ=a21（2）=a2+1 PO=PQ （3）1由（2）可得 OA=AM，OB=BN BON=BNO，AOM=AMO AMMN，BNMN AMBN ABN+BAM=180 ABN+BON+BNO=180，AOM+AMO+BAM=180 ABN+BON+BNO+AOM+AMO+BAM=360 BON+AOM=90 MON=90 OMON 2如图：过点 F 作 EF直线 l， 由（2）可得 OF=EF， OF+DF=EF+DF 当点 D，点 F，点 E 三点共线时，OF+DF 的值最小 即此时 DE直线 l OF+DF 的最小值为 DE=1+2=3 【点评】本题考
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