1、 反比例函数的应用反比例函数的应用 通过对本节课的学习，你能够： 掌握菱形的性质与判定. 学会应用菱形的性质解决最值问题. 第17讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 反比例函数的几何应用 反比例函数的实际应用 教学目标 1、掌握反比例函数的几何应用. 2、利用反比例函数解决实际问题. 教学重点 能熟练掌握反比例函数的应用. 教学难点 能熟练掌握反比例函数的应用. 【知识导图】【知识导图】 概 述 反比例函数是每年中考中的热门考点，其应用题的形式主要分为几何类、实际应用类，在本讲中我们 将对这两种应用进行深入的学习. （1）反比例函数的
2、几何应用：涉及到面积类的题型； （2）反比例函数的实际应用：生活中成反比的实例. 类型一 反比例函数的几何应用反比例函数的几何应用 已如图，反比例函数 yk x 的图象与一次函数 ymxb的图象交于两点A（1,3） ,B（n,1） （1）求反比例函数与一次函数的函数关系式； （2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）连接 AO、BO，求ABO 的面积； 【解析】 教学过程 考点 1 反比例函数的应用 二、知识讲解 一、导入 三 、例题精析 例题 1 【总结与反思】 类型二 反比例函数的实际应用反比例函数的实际应用 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透
3、着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y （)m四面条的粗细（横截面积）S（) 2 mm的反比例函数，其图象如图所示. （1）写出y与 S 的函数关系式； （2）求当面条粗 1.6 2 mm时，面条的总长度是多少米？ 【解析】 【总结与反思】 例题 1 1.已知反比例函数 y= x k 的图象与一次函数 y=kx+m 的图象相交于点 A（2，1） （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）当 x 取什么范围时，反比例函数值大于 0； （3）若一次函数与反比例函数另一交点为 B，且纵坐标为4，当 x 取什么范围时，反比例函数值大于一次 函数的值； （4）试判断点 P（1，5）关于 x
4、轴的对称点 P是否在一次函数 y=kx+m 的图象上 2.已知，如图，正比例函数 y=ax 的图象与反比例函数 y=的图象交于点 A（3，2） （1）填空：a= ；k= 四 、课堂运用 基础 （2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中 0m3，过点 M 作直线 MBx 轴，交 y 轴于点 B；过点 A 作直线 ACy 轴交 x 轴于点 C，交直线 MB 于点 D 当 BM=DM 时，求ODM 的面积； 当 BM=2DM 时，求出直线 MA 的解析式 3.如图，在平面直角坐标系中直线 y=x2 与 y 轴相交于点 A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点 B（m，2） （1）求反比例函
5、数的关系式； （2）将直线 y=x2 向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点 C，且ABC 的面积为 18，求平移后 的直线的函数关系式 4.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I（A）是电阻 R（）的反比例函数，其图象如图所示 （1）求这个反比例函数的表达式； （2）当 R=10时，电流能是 4A 吗？为什么？ 1.如图, 在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 BC 在 X 轴上，点 B、D 的坐标分别为 B（1，0），D（3，3）. （1）直接写出点 C 的坐标； （2）若反比例函数 k y x 的图象经过直线 AC 上的点 E，且点 E 的坐标为（2，m），求m 的值及反比例函
6、 数的解析式； （3）若（2）中的反比例函数的图象与 CD 相交于点 F，连接 EF，在线段 AB 上（端点除外）找一点 P，使 得：SPEFSCEF，并求出点 P 的坐标. 巩固 2.如图， 在平面直角坐标系xOy中， 菱形OABC的顶点C在x轴上， 顶点A落在反比例函数 m y x （0m） 的图象上 一次函数ykxb（0k ） 的图象与该反比例函数的图象交于A、D两点， 与x轴交于点E 已 知5AO，20 OABC S 菱形 ，点D的坐标为（4，n） （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接CA、CD，求ACD的面积 3.南宁市某生态示范村种植基地计划用 90 亩120 亩的
7、土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到 36 万斤 （1）列出原计划种植亩数 y（亩）与平均每亩产量 x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值 范围； （2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种改良后平均每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划 增加了 9 万斤，种植亩数减少了 20 亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？ 1.如图， 矩形 OABC 的顶点 A、 C 分别在 x、 y 轴的正半轴上， 点 D 为对角线 OB 的中点， 反比例函数(0) k yk x 在第一象限内的图象经过点 D，与 AB 相交于点 E，且点 B（4，2） （1）求反比例函数 k y x
8、 的关系式； （2）求四边形 OAED 的面积； （3）若反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F，将矩形折叠，使点 O 与点 F 重合，折痕分别与 x、y 轴 正半轴交于点 H、G，若 5 5 4 GH ，求直线 GH 的函数关系式 2.类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换： （1）将 y=的图象向右平移 1 个单位，所得图象的函数表达式为 _ ，再向上平移 1 个单位，所得图 象的函数表达式为 _ ； （2）函数 y=的图象可由 y=的图象向 _ 平移 _ 个单位得到；y=的图象可由 拔高 哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到； （3）一般地，函数 y=（ab
9、0，且 ab）的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ 3.如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点 O 左侧固定位置 B 处悬挂 重物 A，在中点 O 右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点 O 的距离 x（cm），观察弹簧秤的示数 y（N） 的变化情况.实验数据记录如下： x（cm） 10 15 20 25 30 y（N） 30 20 15 12 10 （1）把上表中 x，y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观 察所得的图象，猜测 y（N）与 x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）当弹簧秤的示数为 2
10、4N 时，弹簧秤与 O 点的距离是多少 cm？随着弹簧秤与 O 点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变 化？ 本节的重要内容：反比例函数的应用 （1）反比例函数的几何应用：涉及到面积和一次函数； （2）反比例函数的实际应用：生活中成反比的实例. 1.如图，一次函数的图象与反比例函数 x y 3 （x0）的图象相交于 A 点，与 y 轴、x 轴分别相交于 B、C 两点，且 C（2，0），当1x时，一次函数值大于反比例函数值，当01x时，一次函数值小于反 比例函数值 （1）求一次函数的解析式； （2）设函数 x a y （x0）的图象与 x y 3 （x0）的图象关于 y 轴对称，在（x0
11、）的图象上 取一点 P（P 点的横坐标大于 2），过 P 点作 PQx 轴，垂足是 Q，若四边形 BCQP 的面积等于 2，求 P 点的 坐标 2 a y x 2 y 1 y 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 2.如图，直线 l：y=x+1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 与原点 O 关于直线 l 对称反比例函数 k y x 的图象经过点 C， 点 P 在反比例函数图象上且位于 C 点左侧， 过点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线分别交直线 l 于 M、 N 两点 （1）求反比例函数的解析式； （2）求 ANBM 的值 3.工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，
12、即需要将材料烧到 800，然后停止煅烧进行锻 造操作，经过 8min 时，材料温度降为 600煅烧时温度 y（）与时间 x（min）成一次函数关系；锻造 时，温度 y（）与时间 x（min）成反比例函数关系（如图）已知该材料初始温度是 32 （1）分别求出材料煅烧和锻造时 y 与 x 的函数关系式，并且写出自变量 x 的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于 480时，须停止操作那么锻造的操作时间有多长？ 4.如图所示，制作一种产品，需将原材料加热，设该材料温度为 y，从加热开始计算的时间为 x 分钟据 了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x 成一次函数关系已知该材料在加热前的温
13、度为 l5，加热 5 分钟使材料温度达到 60时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度 y 与时问 x 成反比例函 数关系 （1）分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数关系(要写出 x 的取值范)； （2）根据工艺要求，在材料温度不低于 30的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进 行特殊处理所用的时间为多少分钟? 1.九年级数学兴趣小组组织了以“等积变形”为主题的课题研究 第一学习小组发现：如图（1），点 A、点 B 在直线 l1上，点 C、点 D 在直线 l2上，若 l1l2，则 SABC=SABD； 反之亦成立 第二学习小组发现：如图（2），点 P
14、 是反比例函数上任意一点，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 M、N，则矩形 OMPN 的面积为定值|k| 请利用上述结论解决下列问题： （1） 如图 （3） ， 四边形 ABCD、 与四边形 CEFG 都是正方形点 E 在 CD 上， 正方形 ABCD 边长为 2， 则 SBDF= （2）如图（4），点 P、Q 在反比例函数图象上，PQ 过点 O，过 P 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 H，过 Q 作 x 轴的平行线交 PH 于点 G，若 SPQG=8，则 SPOH= ，k= （3）如图（5）点 P、Q 是第一象限的点，且在反比例函数图象上，过点 P 作 x 轴垂线，过点 Q 作
15、y 轴 垂线，垂足分别是 M、N，试判断直线 PQ 与直线 MN 的位置关系，并说明理由 巩固 2.如图 1，点 A 是反比例函数 1 2 y x （x0）图象上的任意一点，过点 A 作 ABx 轴，交另一个反比例函 数 2 k y x （k0，x0）的图象于点 B （1）若 SAOB=3，则 k=_； （2）当 k=-8 时： 若点 A 的横坐标是 1，求AOB 的度数； 将中的AOB 绕着点 O 旋转一定的角度，使AOB 的两边分别交反比例函数 y1、y2 的图象于点 M、N， 如图 2 所示在旋转的过程中，OMN 的度数是否变化？并说明理由； （3）如图 1，若不论点 A 在何处，反比例
16、函数 2 k y x （k0，x0）图象上总存在一点 D，使得四边形 AOBD 为平行四边形，求 k 的值 3.如图，面积为 8 的矩形ABOC的边,OB OC分别在x轴，y轴的正半轴上，点A在反比例函数 x k y 的 图象上，且2AC . （1）求反比例函数 x k y 的解析式 （2） 将矩形ABOC以点B为旋转中心， 顺时针旋转 90后得到矩形BDEF， 反比例函数图象交DE于M 点，交EF于N点.求,MN的坐标. （3）MBN 的面积 4.如图，已知反比例函数 1 k y x 和一次函数1 2 axy的图象相交于第一象限内的点 A，且点 A 的横坐标 为 1.过点 A 作 ABx 轴
17、于点 B，AOB 的面积为 1. （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与 x 轴相交于点 C，求线段 AC 的长度； （3）直接写出：当 1 y 2 y0 时，x 的取值范围； （4）在 y 轴上是否存在一点 p，使PAO 为等腰三角形，若存在，请直接写出 p 点坐标，若不存在，请说 明理由.（要求至少写两个） 5.在某一电路中，保持电压不变，电流 I（安培）与电阻 R（欧姆）成反比例当电阻 R=6 欧姆时，电流 I=2 安培 （l）求 I 与 R 之间的函数关系式； （2）当电流 I=1.5 安培时，求电阻 R 的值； （3）如果电路中用电器限制电流不得超过 10
18、安培，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 6.为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏清毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含 药量 y(mg)与时间 x(min)成正比例.药物燃烧后,y 与 x 成反比例(如图所示),现测得药物 8min 燃毕,此时室 内空气中每立方米的含药量为 6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题: (1)药物燃烧时,y 关于 x 的函数关系式为: _, 自变量 x 的取值范围是:_,药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为_. (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于 1.6mg 时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过 _分钟后,
19、学生才能回到教室; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于 3mg 且持续时间不低于 10min 时,才能有效杀灭空气中的病 菌,那么此次消毒是否有效?为什么? 1.如图，在平面直角坐标系中有 RtABC，A90，ABAC，A（2，0）、 B（0，1）、C（d，2）. （1）求 d 的值； （2）将ABC 沿 x 轴的正方向平移，在第一象限内 B、C 两点的对应点 B、C正好落在某反比例函数图 像上.请求出这个反比例函数和此时的直线 BC的解析式； （3）在（2）的条件下，直线 BC交 y 轴于点 G.问是否存在 x 轴上的点 M 和反比例函数图像上的点 P， 使得四边形 PGMC是平
20、行四边形.如果存在，请求出点 M 和点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由. 拔高 2.如图，已知点 A（4，0），B（0，4 3），把一个直角三角尺 DEF 放在OAB 内，使其斜边 FD 在线段 AB 上，三角尺可沿着线段 AB 上下滑动其中EFD=30，ED=2，点 G 为边 FD 的中点 （1）求直线 AB 的解析式； （2）如图 1，当点 D 与点 A 重合时，求经过点 G 的反比例函数 k y x （0k ）的解析式； （3）在三角尺滑动的过程中，经过点 G 的反比例函数的图象能否同时经过点 F？如果能，求出此时反比例 函数的解析式；如果不能，说明理由 3.如图， 奥运圣火抵达某市
21、奥林匹克广场后， 沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递 动点 T （m， n） 表示火炬位置， 火炬从离北京路 10 米处的 M 点开始传递， 到离北京路 1000 米的 N 点时传递活动结束 迎 圣火临时指挥部设在坐标原点 O（北京路与奥运路的十字路口），OATB 为少先队员鲜花方阵，方阵始终保 持矩形形状且面积恒为 10000 平方米（路线宽度均不计） （1）求图中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）； （2）当鲜花方阵的周长为 500 米时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）； （3）设 t=mn，用含 t 的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置 （用坐标表示） 4.某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在市场营销中发现商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如 下关系： x（元） 3 4 5 6 y（个） 20 15 12 10 （1）根据表中数据，在直角坐标系描出实数对（yx，）的对应点 （2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象； （3）设经营此贺卡的销售利润为 W 元，试求出 W 与x之间的函数关系式，若物价居规定此贺卡的售价最高 不能超过 10 元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？
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