1、 相似三角形的性质及位似相似三角形的性质及位似 第13讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1、相似三角形中对应线段的比 2、相似三角形周长的比 3、相似三角形周长的比 4、相似三角形性质的综合 5、位似图形的定义 6、位似图形的性质 7、位似图形的画法 教学目标 1、掌握三角形相似的性质. 2、掌握图形的位似的性质及画法. 教学重点 能熟练掌握相似三角形的性质. 教学难点 能熟练掌握相似三角形的性质. 【教学建议教学建议】 在这一讲中着重讲的是相似三角形的性质，在讲解本讲前.先复习一下学习过的有关相似的知识，会使 学生更好的理解本讲中
2、的性质. 【知识导图】【知识导图】 概 述 【教学建议】【教学建议】 本讲是相似三角形的性质为主要知识点，在学习的时候要让注意复习回顾学过的有关相似的知识点. 三角形相似我们已经学习过很多知识点，本讲针对三角形和多边形的性质来把学习过的知识点综合讲 述，相信本讲会使同学们对于三角形的相似有一个更深入的认识. 1、相似三角形对应角相等、对应边成比例，且对应边之比就是相似比. 2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 1、相似多边形对应角相等，对应线段之比等于相似比，对应周长比等于相似比，对应面积比等于相 似
3、比的平方，而相似三角形是相似多边形的特例，因此，相似三角形具有相似多边形的一切性质. 2、四条边以上的多边形可分割成若干个三角形，相似多边形还具有“对应三角形相似的性质”. 3、相似多边形面积比等于相似比的平方，反之，相似多边形的相似比等于面积比的算术平方根. 说明：相似多边形的定义、性质与相似三角形基本一致，而相似多边形的判别与相似三角形是有区别 的，对应角相等或对应边成比例的三角形相似，而只有对应角相等且对应边成比例的多边形才相似，所以 不能把判别三角形相似的方法套用在多边形相似上，如两个矩形各角都相等，但对应边不一定成比例，所 以矩形不一定相似，又如，两个菱形对应边成比例，但对应角不相等
4、，所以菱形不一定相似，另外，研究 多边形相似通常利用添加辅助线划为三角形. 1、用来证明角相等，线段成比例. 教学过程 考点 1 相似三角形的性质 二、知识讲解 一、导入 考点 2 相似多边形的性质 考点 3 相似多边形的性质的应用 2、证明线段的平方比. 3、证明三角形相似. 4、用于有关计算. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所成的直线多经过同一个点，那么这样的两个图形叫 做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比. 说明：（1）位似图形上任意两组对应点连线的交点或其延长线的交点就是位似中心，位似中心和两对
5、 对应点构成“A 型”或“X 型”的基本图形. （2）利用位似图形的定义可将一个图形放大或缩小. （3） 位似图形是相似图形的特例， 不仅要求形状相同， 而且还要求对应点的连线相交于同一点， 因此， 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. 类型一 相似三角形中对应线段的比相似三角形中对应线段的比 两个相似三角形的相似比为 1：2，则对应高的比为 （ ） A 1：1 B 1：2 C 1：3 D 1：4 【解析】B 三角形的相似比是 1：2， 那么这两个三角形对应边上的高的比是 1：2 故选 B. 【总结与反思】三角形相似的性质即可解答此题. 三 、例题精析 例题 1 考点 4 位似
6、的定义和性质 类型二 相似三角形面积的比相似三角形面积的比 如果两个相似三角形的相似比为 2：3, 那么这两个相似三角形的面积比为_ 【解析】4：9 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果 解：两个相似三角形的相似比为 2：3， 这两个相似三角形的面积比为 4：9 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方 【总结与反思】 此题利用相似三角形的性质来解答. 类型三：相似三角形性质的综合相似三角形性质的综合 已知：如图，矩形DEFG的一边DE在ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高， AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6
7、，EFGF=12，求矩形DEFG的周长 【解析】设EF=x，则GF=2x GFBC，AHBC，AKGF GFBC，AGFABC AH=6，BC=12， 解得x=3 矩形DEFG的周长为 18 【总结与反思】 此题利用相似三角形的综合性质来解答. BC GF AH AK 12 2 6 6xx 例题 1 例题 1 类型四：位似图形的定义与性质：位似图形的定义与性质 下列关于位似图形的表述： 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； 位似图形一定有位似中心； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似 图形； 位似图形上任意两点与位似中心的距离
8、之比等于位似比 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【解析】相似图形不一定是位似图形，故错； 位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故错； 其他都正确故选 A 【总结与反思】 此题利用位似的定义即可解答. 如图，ABC 与 CBA是位似图形，点是位似中心，若 OA=2AA,SABC=8，则 A B C S =（ ） A18 B12 C32 D16 【解析】：ABC 与ABC是位似图形且由 OA=2AA 可得两位似图形的位似比为 2：3，所以两位似图形的面积比为 4：9， 又 SABC=8， O B C A 例题 1 例题 2 SABC= 72 4 =18故选 A 【总结与反思
9、】 此题利用位似的定义即可解答. 类型五：位似图形的画法位似图形的画法 在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是 1 个单位）有一点O和ABC （1）请以点O为位似中心，把ABC缩小为原来的一半（不改变方向），得到ABC （2）请用适当的方式描述ABC 的顶点 A ， B ， C 的位置 【解析】本题主要考查了相似图形里的位似作图 运用相似的原理，进行图形的扩大或者缩小变换，要求熟练掌握相似作图 解：（1）利用三角形相似作图，连接 OA，OB，OC，分别找出这三条线段的中点 A、B、C，顺次连接 A、B、C即可得到ABC；如图所示 （2）描述ABC的顶点 A、B、C的位置可建立坐标系用坐标来描述
10、；也可说成点 A、B、C 的位置分别为 OA、OB、OC 的中点等 【总结与反思】 此题利用位似的定义和性质即可解答. 例题 1 1.两相似三角形对应高的比为 34，则对应中线的比为（ ） A34 B916 C3:2 D43 2.如果两个相似三角形对应高之比是 916，那么它们的对应周长之比是（ ） A4 B43 C916 D169 3.下列说法中正确的是( ) A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等 C.位似图形的位似中心不只有一个 D.位似中心到对应点的距离之比都相等 4.两个相似三角形的相似比为 25，它们周长的差为 9，则较大三角形的周长为_ 5.如果两个相
11、似三角形的周长分别是 10cm、15cm，小三角形的面积是 24cm 2，那么大三角形的面积是 _cm 2 6.如图，DCAB，OA=2OC，则OCD与OAB的位似比是_ 答案与解析答案与解析 1.【答案】A 【解】相似三角形对应线段的比等于相似比 2.【答案】C 【解析】相似三角形周长的比等于相似比，对应高的比也等于相似比 3.【答案】D 【解析】根据位似图形的性质依次分析各项即可判断. A.位似图形是相似图形，不可以通过平移而相互得到，故本选项错误； 四 、课堂运用 基础 B.位似图形的对应边平行或共线且对应成比例，故本选项错误； C.位似图形的位似中心只有一个，故本选项错误； D.位似中
12、心到对应点的距离之比都相等，本选项正确； 故选 D. 4.【答案】15 【解析】设较大三角形的周长为 x，则较小三角形的周长为 x9，根据周长的比等于相似比可得（x9） x25，解得 x15，即较大三角形的周长为 15 5.【答案】36. 【解析】由两个相似三角形周长比为 2：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，又由相似三角形 周长的比等于相似比，所以大三角形的面积= 2 2 3） （小三角形的面积=36 cm 2. 6.【答案】12 【解析】本题考查了位似变换. 先证明OABOCD，OCD 与 OAB 的对应点的连线都过点 O，所以可得OCD 与OAB 的位似，即可求得 OCD 与O
13、AB 的位似比为 OC：OA=1：2 解：DCAB OABOCD OCD 与 OAB 的对应点的连线都过点 O OCD 与OAB 的位似 OCD 与OAB 的位似比为 OC：OA=1：2 1.如果两个相似三角形的对应边上的高之比是 2:3，则它们的周长比是 2.“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个 较小的“E”中是位似图形的是 ( ) 巩固 A左上 B左下 C右上 D右下 3.如图，ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(-1，0).以点 C 为位似中心，在 x 轴的下 方作ABC 的位似图形，并把ABC 的边长放
14、大到原来的 2 倍，设点 B 的对应点 B的横坐标是 2，则点 B 的横坐标是 4.如图中小方格都是边长为 1 的正方形，ABC 和ABC是关于点 O 为位似中心的位似图形，它们的 顶点都在小正方形的顶点上. （1）画出位似中心点 O； （2）ABC 与ABC的位似比为_； （3）以 O 为位似中心，再画一个A1B1C1，使它与ABC 的位似比等于 1.5. 答案与解析答案与解析 1.【答案】2:3 【解析】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可 两个相似三角形的相似比为 2：3， 它们对应周长的比为 2：3 故答案为：2：3 2.【答案】B 【解析】解：根据位似变换的特点可知：最上面较
15、大的“E”与左下较小的“E“是位似图形 故选 B 3.【答案】-2.5 【解析】根据位似的性质和坐标系的知识即可解答此题 4.【答案】（2）1：2 （1）（3）如图所示 【解析】位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线 AA、BB的交点就是位似中心 O ABC 与ABC的位似比等于 AB 与 AB的比， 也等于 AB 与 AB在水平线上的投影比， 即 3：6=1： 2要画A1B1C1，先确定点 A1 的位置，因为A1B1C1 与ABC 的位似比等于 1.5，因此 OA1=1.5OA，所以 OA1=9再过点 A1 画 A1B1AB 交 O B于 B1，过点 A1 画 A1C1AC 交
16、 O C于 C1 1.例八年级数学学习合作小组在学过图形的相似这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展 到矩形、 菱形的相似中去 如： 我们可以定义： “长和宽之比相等的矩形是相似矩形 ”相似矩形也有以下的性质： 相似矩形的对角线之比等于相似比， 周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方等等 请你参与这个学习小组， 一同探索这类问题： （1）写出判定菱形相似的一种判定方法：若有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相 似； （2）如图，将菱形 ABCD 沿着直线 AC 向右平移后得到菱形 ABCD，试证明：四边形 AFCE 是菱形，且 菱形 ABCD菱形 AFCE
17、； （3）若 AC=，菱形 AFCE 的面积是菱形 ABCD 面积的一半，求平移的距离 AA的长 拔高 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】相似多边形的面积的比等于相似比的平方，因而已知面积的比，就可以求出边长的比，求出 AC 的长 就可以解决 解：（1）有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例）；（3 分） （2）利用 ADAE，ABAF，得DAB=DAB 再利用（1）的结论，得到证明；（6 分） （3）菱形 ABCD菱形 AFCE，菱形 AFCE 的面积是菱形 ABCD 面积的一半， 菱形 ABCD 与菱形 AFCE 的面积比为 2：1， 对应边之比为：1，即 AC：AC=：
18、1，（7 分） AC=， AC=1，（9 分） AA=1（10 分） 本节的重要内容：三角形、多边形相似的性质及位似的定义和性质 1、相似三角形对应角相等、对应边成比例，且对应边之比就是相似比. 2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所成的直线多经过同一个点，那么这样的两个图形叫 做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 1.若两个相似三角形的相似比是 23，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应 角平分线的比是 ，周长比是 ，面积
19、比是 . 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 2.两个相似三角形的相似比为 2:3，它们的面积和为 65，那么较大三角形的面积是_. 3.两个相似三角形面积之比是 9:25,较大的三角形的周长是 20cm,则较小的三角形的周长是_cm. 4.两个相似三角形的相似比为 2 ：3，面积差为 30cm 2，则较小三角形的面积为 cm2 5.如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0）.把它们的横坐标和纵坐标分 别变成原来的 2 倍，得到点CBA , , ，下列说法正确的是( ) A.CBA和ABC 是位似图形，位似中心是（1，0）. B.CBA和ABC 是位似图形，
20、位似中心是（0，0）. C.CBA和ABC 是相似图形，但不是位似图形. D.CBA和ABC 不是相似图形 答案与解析答案与解析 1.【答案】1、23，23，23，23，49 【解析】根据相似三角形的性质依次填空即可. 若两个相似三角形的相似比是 23，则它们的对应高线的比是 23，对应中线的比是 23，对应角平分线 的比是 23，周长比是 23，面积比是 49. 2.【答案】45 【解析】两个相似三角形的相似比为 2：3， 它们的面积比为 4：9， 它们的面积之和为 65， 较大的三角形的面积是：65 9 13 =45（cm2） 3.【答案】12 【解析】 试题分析：两个相似三角形的面积比是
21、 9：25， 面积比是周长比的平方， 小三角形与打三角形的相似比是 3：5 相似三角形周长的比等于相似比， 因而设小三角形的周长为 xcm， 则有 x：20=3：5， 解得 x=12 4.【答案】24 【解析】解：相似比为 2 ：3，面积比为 4 ：9，设这两个三角形的面积分别为 22 94xcmxcm 、， 由题意得，4049 xx，解得6x，所以较小三角形的面积为.30 2 cm 5.【答案】B 【解析】根据位似图形的性质可知，ABC 三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它 们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 2 倍，可求得直线 AA，BB，CC得解析式分别为 y=
22、2x，y=- 2 3 x， y=0，所以可知ABC与ABC 是位似图形，位似中心是点（0，0）解答：解：ABC 三个顶点的 坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 2 倍 点 A，B，C的坐标分别为（2，4），（-4，6），（-2，0） 直线 AA，BB，CC得解析式分别为 y=2x，y=- 2 3 x，y=0 对应点的连线交于原点 ABC与ABC 是位似图形，位似中心是点（0，0） 1.已知，如图，ABAB，BCBC，且 OAAA=43，则ABC 与_是位似图形，位似比 为_；OAB 与_是位似图形，位似比为_. 2.如果两个位似图形的对应线段
23、长分别为 3cm 和 5cm，且较小图形周长为 30cm，则较大图形周长 为 . 3.如图，已知图中每个小方格都是边长为 1 的正方形，每个小正方形的顶点称为格点.若ABC 与A1B1C1 是位似图形，则ABC 与A1B1C1的位似中心的坐标是 巩固 4.如下图，ABC 中，A、B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（-1,0），以点 C 为位似中心，在x轴 的下方作ABC 的位似图形A ， B ， C， 并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍.设点 B 的对应点 B的横坐标是a， 则点 B 的横坐标是（） A.a 2 1 B.1 2 1 a C.1 2 1 a D.3 2 1 a 5
24、.画出ABC 以点 P 为位似中心的位似图形且ABC 与 A B C 的位似比是 21. 答案与解析答案与解析 1.【答案】ABC，74，OAB，74 【解析】根据位似图形的定义得到ABC 与ABC；OAB 与OAB是位似图形，再根据位似图形 的性质即可得到结果由题意得ABC 与ABC是位似图形，位似比为 7：4；OAB 与OAB是位 似图形，位似比为 7：4 2.【答案】50cm 【解析】本题考查了位似变换. 两个位似图形的对应线段长分别为 3cm 和 5cm，则相似比是 3：5，而周长的比等于相似比，较小图形周长 为 30cm，则较大图形周长为 50cm 解：相似比是 3：5，小图形周长为
25、 30cm 较大图形周长为 50cm 3.【答案】(9,0) 【解析】相似三角形的位似中心在对应点连线的交点,所以 A1A、C1C 的交点（9,0）就是位似中心. 4.【答案】见解析 【解析】点 B、B向 x 引垂线、垂足分别为 M、N NC=NO+1 BMCBNO（理由你懂得） MC CN CB BC BO= 2 1 (1+a）+1 因为在第二象限 所以为负数 - 2 1 （1+a）+1= - 2 1 （a+3） 5.【答案】 【解析】延长 AP，BP，CP，根据相似比，在延长线上分别截取 AO，BO，CO 的 2 倍，确定所作的位似图形的 关键点 A，B，C再顺次连接所作各点，即可得到放大
26、 2 倍的位似图形ABC 1. ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作MDN=B （1）如图（1）当射线 DN 经过点 A 时，DM 交 AC 边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与 ADE 相似的三 角形 （2）如图（2），将MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交线段 AC，AB 于 E，F 点（点 E 与点 A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论 （3）在图（2）中，若 AB=AC=10，BC=12，当 DEF 的面积等于 ABC 的面积的 时，求线段 EF 的长 2.在ABCRt中，5 BCAB，90B，将一块等腰直
27、角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O 处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于E、F两点，如图与是 旋转三角板所得图形的两种情况 （1）三角板绕点O旋转，FOC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出FOC是等 腰直角三角形时BF的长），若不能，请说明理由； （2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图或加以证明； （3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处（如图），当4:1:PCAP时，PE和PF有怎样的 拔高 数量关系？证明你发现的结论 答案与解析答案与解析 1.【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）5 【解析】（1）图（1
28、）中与 ADE 相似的有 ABD， ACD， DCE 证明：AB=AC，D 为 BC 的中点， ADBC，B=C，BAD=CAD， 又MDN=B， ADEABD， 同理可得： ADEACD， MDN=C=B， B+BAD=90，ADE+EDC=90， B=MDN， BAD=EDC， B=C， ABDDCE， ADEDCE， （2） BDFCEDDEF， 证明：B+BDF+BFD=180 EDF+BDF+CDE=180， 又EDF=B，BFD=CDE， 由 AB=AC，得B=C， BDFCED， BD=CD， 又C=EDF， BDFCEDDEF （3）连接 AD，过 D 点作 DGEF，DHBF
29、，垂足分别为 G，H AB=AC，D 是 BC 的中点， ADBC，BD= 2 1 BC=6 在 Rt ABD 中，AD 2=AB2BD2， AD=8 SABC= 2 1 BCAD= 2 1 128=48 SDEF= 4 1 SABC= 4 1 48=12 又 2 1 ADBD= 2 1 ABDH， DH=， BDFDEF， DFB=EFD DGEF，DHBF， DH=DG= 5 24 SDEF= 2 1 EFDG=12， EF= DG 2 1 12 =5 2.【答案】（1）OFC 是能成为等腰直角三角形，（2）OE=OF（3）PE：PF=1：3 【解析】（1）由题意可知，当 F 为 BC 的
30、中点时，由 AB=BC=5，可以推出 CF 和 OF 的长度，即可推出 BF 的长度，当 B 与 F 重合时，当 OC=FC 时，根据直角三角形的相关性质，即可推出 OF 的长度，即可推出 BF 的长度； （2）连接 OB，由已知条件推出OEBOFC，即可推出 OE=OF； （3）过点 P 做 PMAB，PNBC，结合图形推出PNFPME，APMPNC，继而推出 PM：PN=PE：PF， PM：PN=AP：PC，根据已知条件即可推出 PA：AC=1：4 得出 PE：PF=1：3 试题解析：（1）OFC 是能成为等腰直角三角形， 当 F 为 BC 的中点时， O 点为 AC 的中点， OFAB，
31、 CF=OF= 1 2 AB= 5 2 ， AB=BC=5， BF= 5 2 ， 当 B 与 F 重合时， OF=OC= 5 2 2 ， BF=0； （2）如图 1，连接 OB， 由（1）的结论可知，BO=OC= 5 2 2 ， EOB=FOC，EBO=C， OEBOFC（ASA）， OE=OF （3）如图 3，过点 P 作 PMAB，PNBC， EPM+EPN=EPN+FPN=90， EPM=FPN， AMP=FNP=90， PNFPME， PM：PN=PE：PF， APM 和PNC 为等腰直角三角形 APMPNC， PM：PN=AP：PC， PA：AC=1：4， PE：PF=1：3 七 、教学反思
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