1、 概率概率 第8讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 简单事件概率的计算 树状图或列表法计算概率 概率与代数、几何知识结合 用平均频率估计概率 用实验频率估计概率 教学目标 1、掌握计算概率的方法. 2、应用概率解决实际问题. 教学重点 能熟练掌握计算概率的方法. 教学难点 概率综合题. 【教学建议教学建议】 公式法解一元二次方程是三种解法中最直观的一种方法，仅仅需要将各项系数带入计算即可得到一元 二次方程的解，因此在学习本讲的时候，最重要的就是把求根公式记忆牢固，并认真细心地计算. 【知识导图】【知识导图】 概 述 【教学建议】【教学
2、建议】 在这一讲知识的学习中，让学生经历计算理论概率的过程，更能进一步发展学生的合作交流意识及反 思的习惯. 概率是中考中每年必考的部分，其中概率的计算、树状图（列表）是热门考点，在这一部分，我们要 充分理解概率的含义，进而掌握这一部分的知识 对于简单的概率类题型我们可以通过列举法，计算事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率，但 是对于可能情况较多的事件，我们可以通过用树状图 或列表法来解决 树状图法： 分层.分清事件发生的层次，哪些情况是第一层（第一次）发生的，哪些是第二层（第二次）发生的； 根据分层用树状图把每一层（每一次）表示出来，然后计算事件发生的概率； 列表法： 将前后两次发生的事
3、件在表格中全部表达出来，在其中计算事件发生的次数，进而计算频率. 教学过程 考点 1 树状图（或列表法）的使用 二、知识讲解 一、导入 三 、例题精析 类型一 简单事件概率的计算简单事件概率的计算 一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 【解析】 1 2 阴影部分的交点是矩形对角线的交点，因此阴影所占面积是整个矩形面积的一半. 【总结与反思】本题较为简单，通过计算阴影面积所占矩形面积的比例即可. 类型二 树状图或列表法计算概率树状图或列表法计算概率 在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“ 通过”(用表示) 或“ 淘汰”(用表示)的评定
4、结果.节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级. (1)请用树形图列举出选手 A 获得三位评委评定的各种可能的结果； (2)求选手 A 晋级的概率. 【解析】（1）树状图如图所示，选手一共有 8 种等可能的结果，分别为(,)、(,)、(,)、(,)、 (,)、(,)、(,)、( , , ). 开始 （2）由（1）得选手 A 的结果共有 8 种等可能情况，其中晋级的情况有 4 种，故其概率为 41 = 82 【总结与反思】 此题只要掌握树状图的画法，就比较简单了. 例题 1 例题 1 21 = 63 类型三：概率与代数、几何知识结合概率与代数、几何知识结合 在一个不透明的盒子中放有
5、三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为 3， ， （卡片除了实 数不同外，其余均相同） （1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率； （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将 卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图的方法列出所有等可能的结果，并求出两次好抽取的卡片 上的实数之差为有理数的概率 【解析】（1）在一个不透明的盒子中放有三张卡片,每张卡片上写有一个实数,分别为 3， ， 从盒子中随机抽取一张卡片,卡片上的实数是无理数的概率是： 2 3 （2）画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，两次好抽取的卡片上
6、的实数之差为有理数的有 2 种情况， 两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为： 【总结与反思】 此题根据事件的发生情况，采用树状图解题即可. 类型四：用平均频率估计概率：用平均频率估计概率 “中国梦”关乎每个人的幸福生活.为进一步感知我们身边的幸福,展现成都人追梦的风采,我市某校开展了 以 “梦想中国,逐梦成都” 为主题的摄影大赛,要求参赛学生每人交一件作品.现将参赛的 50件作品的成绩(单 位:分)进行统计如下: 等级 成绩(用 s 表示) 频数 频率 A 90100s x 0.08 B 8090 s 35 y C 80s 11 0.22 例题 1 例题 1 合计 50 1 请根据上表
7、提供的信息,解答下列问题: (1)表中 x 的值为 ,y 的值为 ; (2)将本次参赛作品获得A等级的学生依次用 1234 A A A A表示,现该校决定从本次参赛作品获得A等级的学 生中,随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会,请用树形图或列表法求恰好抽到学生 1 A和 2 A的概率. 【解析】（1）4，0.7；（2） 1 6 . （1）x+35+11=50，x=4，或 x=500.08=4； y= 35 50 =0.7，或 y=1-0.08-0.22=0.7； （2）依题得获得 A 等级的学生有 4 人，用 A1，A2，A3，A4表示，画树状图如下： 由上图可知共有 12 种结果，且每一种结果
8、可能性都相同，其中抽到学生 A1和 A2的有两种结果， 所以从本次参赛作品中获得 A 等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，恰好抽到学生 A1和 A2 的概率为：P= 21 126 . 【总结与反思】使用平均概率来估算其他事件的概率. 类型五：用实验频率估计概率用实验频率估计概率 为了估计湖中有多少条鱼先从湖中捕捞 n 条鱼作记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完 全混于鱼群中之后再捕捞，第二次捕鱼 m 共条，有 k 条带记号，则估计湖里有鱼（ ） A.条 B.条 C.条 D.条 【解析】B 第一次和第二次的概率相同，因此可以通过第二次的概率来估算整个湖里的鱼数量，得到 B
9、 的答案. 【总结与反思】通过实验频率概率来估算整体的数量. 例题 1 1.将五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一 面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是（ ） A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 2.如图，管中放置着三根同样的绳子 AA1,BB1,CC1; (1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子 AA1的概率是多少？ (2)小明先从左端 A、B、C 三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端 A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打 一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率 答案与解析答案与解析 1.
10、【答案】C 【解析】等边三角形，矩形，正六边形是中心对称的. 2.【答案】见解析 【解析】(1)三种等可能的情况数， 则恰好选中绳子 AA1的概率是 1 3 ； (2)列表如下 AB AC BC A1B1 A1C1 B1C1 所有等可能的情况有 9 种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有 6 种， 则 P= 62 = 93 四 、课堂运用 基础 巩固 1. 有 9 张卡片， 分别写有 19 这九个数字， 将它们背面朝上洗匀后， 任意抽取一张， 记卡片上的数字为 a， 则使关于 x 的不等式组有解的概率为 . 2.一养鱼专业户为了估计池塘里有多少条鱼，先捕上 100 条鱼做上标记，然后放回湖
11、里，过了一段时间，待 带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕捞了五次，记录如下：第一次捕上 90 条鱼，其中带标记的有 11 条； 第二次捕上 100 条鱼，其中带标记的鱼有 9 条；第三次捕上 120 条鱼，其中带有标记的鱼有 12 条；第四次 捕上 100 条鱼，其中带标记的鱼有 9 条；第五次捕上 80 条鱼，其中带标记的鱼有 8 条.问池塘里大约有多少 条鱼? 答案与解析答案与解析 1.【答案】 4 9 【解析】不等式的解集为：x3，x 3 1a2 ，要使不等式有解， 则 3 1a2 3，则 a5 即 6,7,8,9 四个数. 2.【答案】见解析 【解析】 11+9 12+98 100 90
12、+100 120 10080 =1000=1000 1.九年级（1）班要举行一场毕业联欢会，规定每个同学同时转动下图中、两个转盘（两个转盘分别被 二等分和三等分），若两个转盘停止后指针所指的数字之和为奇数，则这个同学要表演唱歌节目；若数字 之和为偶数， 则要表演其他节目 试求出这个同学表演唱歌节目的概率 （要求用画树状图或列表方法求解） 答案与解析答案与解析 拔高 1.【答案】 1 2 【解析】列表如下： 由上表可知，所有等可能结果共有 6 种，其中数字之和为奇数的有 3 种， P（表演唱歌）= 31 62 = 本节的重要内容：树状图或列表法解答概率题. 树状图和列表法其实质是一样的，但是树状
13、图法较为便捷一些，观察起来也更为直观，因此要牢固掌 握树状图这种解概率题的方法. 1.如图，转盘中 8 个扇形的面积都相等任意转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向大于 6 的数的 概率为 2.第 17 届亚亚运会正在韩国仁川如火如荼的进行，爸爸想通过一个游戏决定小明能否看今晚的比赛，在一 个不透明的盒子中放入三张卡片，每张卡片上写着一个实数，分别为 3，222， （每张卡片除了上面的 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 实数不同以外其余均相同），爸爸让小明从中任意取一张卡片，如果抽到的卡片上的数是有理数，就让小 明看比赛，否则就不能看， （1）请直接写出按照爸爸的规则小明能看比赛的概
14、率； （2）小明想了想，和爸爸重新约定游戏规则：自己从盒子里随机抽取两次，每次抽取一张卡片，第一次抽 取后记下卡片上的数， 再将卡片放回盒中抽取第二次， 如果抽取的两个数字之积是有理数，自己就看比赛， 否则就不看，请你用列表法或树状图法求出按照此规则小明看比赛的概率. 答案与解析答案与解析 1.【答案】 1 4 【解析】大于 6 的有两个数：7、8. 2.【答案】见解析 【解析】(1)按照爸爸的规则小明能看比赛的概率 P= 1 3 ； (2)列表如下： 所有等可能的情况有 9 种，其中抽取的两数之积是有理数的情况有 5 种， 则按照此规则小明看比赛的概率 P= 5 9 . 1.在一个不透明的口
15、袋里装有四个分别标有 1、2、3、4 的小球，它们的形状、大小等完全相同.小明先从 口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为 x；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字 y. （1）计算由 x、y 确定的点（x，y）在函数6yx 图象上的概率； 巩固 （2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若 x、y 满足 xy6，则小明胜；若 x、y 满足 xy6 的点有(2,4),(4,2),(4,3),(3,4)，共 4 个； 满足 xy6 的点有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)，共 6 个， 所以 P(小明胜)= 41 = 123 ;P(小红胜)=
16、61 = 122 ； 11 32 游戏规则不公平. 游戏规则可改为：若 x、y 满足 xy6，则小明胜；若 x、y 满足 xy6，则小红胜. 2.【答案】见解析 【解析】(1)列表如下： 1 2 3 1 (1,1) (2,1) (3,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (2)所有等可能的情况数为 9 种，其中是 x23x+2=0 的解的为(1,2)，(2,1)共 2 种， 则 P是方程解= 2 9 . 1.2014 年西宁市教育局建立了“西宁招考信息网”，实现了“网上二填报三公开三查询”，标志着西宁中 考迈出网络化管理第一步，在全市第二次模拟考
17、试实战演练后，通过网上查询，某校数学教师对本班数学 成绩（成绩取整数，满分为 120 分）作了统计分析，绘制成频数分布步和频数分布直方图，请你根据图表 提供的信息，解答下列问题： 频数分布表： 分组 频数 频率 60 x72 2 0.04 7284 8 0.16 84x96 20 a 96x108 16 0.32 108x120 b 0.08 合计 50 1 （1）频数分布表中 a= ，b= ； （2）补全频数分布直方图； （3）为了激励学生，教师准备从超过 108 分的学生中选 2 人介绍学习经验，那么取得 118 分的小红和 112 分的小明同时被选上的概率是多少？请用列表法或画树形图加以说明，并列出所有可能的结果 拔高 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】（1）1-0.04-0.08-0.16-0.32=0.4， 20.040.08=4； （2） （3）讲超过 108 的 4 人分别用 ABCD 来代替，小明为 A，小红为 B. P（恰好抽到小明，小红）= 12 2 = 1 6 A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 七 、教学反思
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