1、 1 目录 第一讲 有理数的概念和数轴 . 1 第二讲 有理数的计算. 6 第三讲 数轴与绝对值.12 第四讲 整式的概念及加减 .17 第五讲 简单的整式化简求值 .22 第六讲 整体代入与化简求值 .25 第七讲 期中检测 .27 第八讲 定义新运算与找规律（二） .27 第九讲 一元一次方程.32 第十讲 一元一次方程.39 第十一讲 一元一次方程的应用 .45 第十二讲 立体图形.51 第十三讲 线段计算.56 第十四讲 角度计算.66 第十五讲 期末检测.73 2 第一讲第一讲 有理数的概念和数轴有理数的概念和数轴 【知识点一】相反意义的量，正分数，有理数概念与分类【知识点一】相反意
2、义的量，正分数，有理数概念与分类 笔记：笔记：我们将 0 作为正负数的分界线. 正数:大于 0 的数. 负数:正数前面加上负号的数. 练习：练习：下列数哪些是正数，哪些是负数？ 140 （ ） -12 （ ） +36 （ ） 0 （ ） 注意：注意：正数前的“+”号可省略不写省略不写. 负数前的“一”号不可省略不可省略. 0 0 既不是负数也不是正数. 有理数的分类：有理数的分类： （1 1）按符号分：）按符号分： （2 2）按定义分）按定义分 负分数 负整数 负有理数 正分数 正整数 正有理数 有理数0 负分数 正分数 分数 负整数 正整数 整数 有理数 0 练习：练习：以下个数是否为有理数
3、. 3 18 （ ） 0.6 （ ） 3 . 0 （ ） 注意：注意：（1）有限小数和无限循环小数均可写成分数形式分数形式，所以它们也为有理数有理数. （2） 3 18 ， 7 28 ， 9 36 是整数，不是分数. 四非：四非：非负数：正数和 0 非正数：分数和 0 非负整数：正整数和 0 非正整数：负整数和 0 练习：练习： 在下列数 4 3 ， +10， 3， 8， -11， 0，23 5 ， -6， - （-2） ， 2 1 中， 属于非负整数的个数有 个. 例例 1 1.请将下列各数填入相应的集合内： 201622.626626662. 2 113 355 0010010001. 1
4、 4 7 ），之间依次多一个个（每， 正数集合： ； 负数集合： ； 正分数集合： ； 负分数集合： ； 有理数集合： ； 3 （2）下列说法正确的是（ ） A.有最小的负整数，有最大的正整数 B.有最小的负数，没有最大的正数 C.有最大的负数，没有最小的正数 D.没有最大的有理数和最小的有理数 练习练习 1 1- -1 1.（1）3.1415926 是（ ） A. 整数 B.分数 C.无限循环小数 D.非正数 （2）下列说法正确的是（ ） A. 整数分为正整数和负整数 B.分数分为正分数和负分数 C.一个有理数不是正数就是负数 D.0 是整数，但不是最小的非负数 练习练习 1 1- -2 2
5、.下列说法正确的是（ ） A. 一个数前面加上” “号，这个数就是负数 B.非负数就是正数 C.正数和负数统称为有理数 D.0 既不是正数也不是负数 【知识点二】数轴的概【知识点二】数轴的概念与性质念与性质 数轴：数轴：规定了 ， 和 的直线. 注意： 原点：用 0 表示 正方形：通常向右为正 单位长度：0 和 1 之间的长度 原点、正方向、单位长度统称为数轴的三要素. 性质：性质：（1) 所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （2）原点左侧是负数负数,右侧是正数正数，从左到右数字依次增大增大. 练习：练习：（1）把下列各数在数轴上表示出来，再比较大小. -1.5，2.7， 3 2 ， （2）
6、如果数轴上的点 A 到原点的距离为 4,点 B 到原点的距离为 5,那么两点的距离为 . （3）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共 有 个. 例例 2 2.有理数ba，在数轴上的位置如图所示，则ba的值（ ） A.大于 0 B.小于 0 C.小于a D.大于b 4 （2）有理数ba，在数轴上的位置如图，则下面的关系式中正确的个数为（ ） 0ba；0ba；0ab；0 ba； ba 11 ；0 b a ； A.2 个 B.3 个 C.4 个 D. 5 个 练习练习 2 2- -1 1.在数轴上 A、 B 两点表示的数分别为ba， 且点 A 在点 B 的左边，
7、 下列结论一定正确的是 （ ） A.0ba B.0ba C.0ba D.0ba 练习练习 2 2- -2 2.数 a、b 在数轴上位置如图，下列结论正确的有_（填序号） 0ba；ba；0 2 ba； 0 ba a ； ba 11 ； 例例 3 3.（1）数轴上一对应的数是 3 的点 A，沿着数轴某一方向移动了 5 个单位，则此时点 A 所对应的 数为_ （2）一个小虫在数轴上先向右爬 2 个单位，再向左爬 6 个单位，所在位置正好距离数轴原点 2 个单 位，则小虫 的起始位置所表示的数是（ ） A.6 B.-2 C.2 或 6 D.-2 或 4 （3） 一个跳蚤在一条直线上， 从 O 点开始，
8、 第 1 次向右跳 1 个单位， 紧接着第 2 次向左跳 2 个单位， 第 3 次向右 跳 3 个单位，第 4 次向左跳 4 个单位，依此规律跳下去，当它跳第 2015 次落下时，则落 点处离 O 点的距 离为_（用单位表示） 练习练习3 3- -1 1. （1） 数轴上点A表示的数是1， 点B到点A的距离为2个单位， 则B点表示的数是_ （2）点 n A.AAA 321 ，（n为正整数）都在数轴上，点 1 A在原点 0 的左边且OA1=1；点 2 A在点 1 A的 右边且2AA 12 ；点 3 A在点 2 A的左边且3AA 23 ；点 4 A在点 3 A的右边且4AA 34 ， 依照上述 规
9、律，点 2017 A所表示的数为_ 练练 3 3- -2 2.（1）如图，数轴上一动点 A 向左移动 2 个单位长度到达点 B，再向右移动 5 个单位长度到达 点 C若点 C 表示的数为 1，则点 A 表示的数为（ ） A.7 B.3 C.-3 D.-2 （2） 在数轴上点 A 表示 1， 现将点 A 沿数轴做如下移动： 第一次点 A 向左移动 3 个单位长度到达点 1 A， 第二次将点 1 A向右移动 6 个单位长度到达点 2 A，第三次将点 2 A向左移动 9 个单位长度到达点 3 A，按 照这种移动规律移动下去，则线段 1413A A的长度是_ 5 【知识点三】相反数的概念与性质【知识点
10、三】相反数的概念与性质 相反数代数定义相反数代数定义: :只有符号符号不同的两个数互为互为相反数. 特别的，0 的相反数是 0. 相反数几何定义相反数几何定义: :分布在原点原点两侧,且到原点距离相等相等. 常见考点：常见考点： (1) a 的相反数为-a. (2) 若 a，b 互为相反数.则 a + b = 0 (3) 多重符号化简：奇负偶正 练习：练习：正数和负数互为相反数 ( ) 相反数等于其本身的只有 0 ( ) a 的相反数是负数 ( ) 若两个数互为相反数，则他们异号 ( ) 练习：练习：若13 x是 8 的相反数，则x= . 分析：13 x是 8 的相反数13 x=-8x=-3
11、练习：练习：a，b在数轴上的位置如图，请比较a，b，-a，-b的大小关系. 例例 4 4. （1） 小明竟然不知道(|1| 1)的相反数是什么， 他在学校一定没有好好学习 你认为(|2017| 2017)的相反数是（ ） A.4030 B.-4030 C.0 D.2015 （2）若 00000feeddccbba， ，则 ba, 这六个字母中， 与a为相反数的一 定有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 练习练习 4 4- -1 1.（1）下面说法正确的是（ ） A.正数和负数互为相反数 B.相反数等于它本身的数只有 0 C.a的相反数是负数 D.若两个数互为相反数，则它们异
12、号 （2）若12 x是9 的相反数，则x= 练习练习 4 4- -2 2.(1)如果 ba, 互为相反数，且b0，则式子a+b在，ba 的值分别为（ ） A.0,1,2 B.1,0,1 C.1,-1,0 D.0,-1,0 （2）已知qp与互为相反数，且p 0，那么下列关系式正确的是（ ） A. 1qp B. 1 p q C. 1qp D. 0qp 6 【知识点四】绝对值的概念及性质【知识点四】绝对值的概念及性质 绝对值：绝对值：数轴上表示数a的点与原点原点的距离叫做a的绝对值，记作a. 绝对值的性质：绝对值的性质：记a，b为有理数则有： 非负性：0a 0, 0, 0 0, aa a aa a
13、若a，b互为相反数，ba 注意：注意：若ba ，则ba或ba 练习：练习：（1）绝对值越大、这个数就越大（ ） （2）a一定是负数（ ） （3）若 0aa,则 0a( ) （4）若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数（ ） 练习：练习：若0 3 1 2 1 yx，则yx= . 练习：练习：已知有理数cba,满足1 c c b b a a ，求 abc abc 的值. 分析：只有当cba,满足两负一正时，才能使1 c c b b a a 成立，故0abc， abc abc =-1. 注意：注意：多个绝对值相加，可以按正数个数正数个数分类讨论. 例例 5.5.（1）1 不是1 的（ ） A.绝对值
14、 B.相反数 C.倒数 D.平方数 （2）一个数的相反数和它的绝对值相等，那么这个数是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 （3）已知ba、，都是有理数，且baaa ，则ab = （ ） A.负数 B.正数 C.负数或零 D.非负数 练习练习 5 5- -1 1.（1）若52ba与互为相反数，求ba，各是多少. 7 （2） ab ab b b a a 的所有可能取值有哪些？ 练练 5 5- -2 2.若ba，都是不为零的有理数，那么 b b a a2 的值为 . 附加题：附加题： 1.（1）a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，d 是绝对值等于 2 的
15、数， 则dcba = _ （2）已知 a 与 b 互为倒数，且 0 n m ab ，则 nm = _ 2.已知1 c c b b a a ，求 ca ab bc ac ab bc abc abc 2017 的值. 课堂练习课堂练习 1.-2.5， 7 10 ，-3，2，0，4，5，-1 在中,负分数有( ) A:1 个 B:2 个 C:3 个 D:0 个 2.下列说法(1)有理数可分为分数和整数两大类;(2)有理数除了正数就是负数;(3)既不存在最小的 负整数,也不存在最大的正整数;(4)所有的整数除了正数就是 0;(5)正整数的集合、负整数的集合、 正分数的集合、 负分数的集合合并在一起就是
16、有理数集合;(6)几个有理数相乘,当负因数有奇数个时, 积为负;(7)几个有理数相乘,当积为负数时,则负因数有奇数个;其中正确的个数有( ) A：3 个 B：4 个 C：5 个 D：6 个 8 3.有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示,则下列各式正确的是( ) A:0ab B:0ab C:0ab D:0 a b 4.如图,数轴上 A、B 两点分别对应有理数ab、,则下列结论:0ab;0ab;0ab; 0ab中正确的有( ) A:1 个 B:2 个 C:3 个 D:4 个 5.一个点从数轴上的原点开始,先向右移动 2 个单位长度,再向左移动 3 个单位长度,经过两次移动后 到达的终点表示的是什
17、么数?( ) A:+5 B+1 C1 D-5 6.下列说法中正确的是( ) A正数和负数互为相反数 B数轴上,原点两旁的两个点所表示的数互为相反数 C除 0 以外的数都有相反数 D任何一个数都有相反数 7.下列说法错误的是( ) A:一个正数的绝对值一定是正数 B一个负数的绝对值一定是正数 C任何数的绝对值都不是负数 D任何数的绝对值一定是正数 8.已知aa bb，,且|ab,则( ) A:ab B:ab C:ab D:不能确定 9.已知2340abc,则234ab的值为( ) A12 B16 C18 D20 10.下列说法中，正确的是（ ） A有理数就是正数和负数的统称 B零不是自然数，但是
18、正数 C个有理数不是整数就是分数 D正分数、零、负分数统称分数 11.有理数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ） 0ba;ba;0ab;abab . A: B: C: D: 12.一只蚂蚁从数轴上 A 点出发爬了 4 个单位长度到了表示-1 的点 B,则点 A 所表示的数是( ) 9 A:3 或 5 B:5 或 3 C:5 D:3 13.下列说法中正确的是( ) A两个有理数不相等,那么这两个数的绝对值也一定不相等 B任何一个数的相反数与这个数一定不相等 C两个有理数的绝对值相等,那么这两个有理数不相等 D两个数的绝对值相等,且符号相反,那么这两个数互为相反数 14.
19、若|3|x与|7|y 互为相反数,求3xy的值. 15.已知abc， ，都是有理数,且0abc,求的值. |4| abc ab 第二讲第二讲 有理数的计算有理数的计算 10 【知识点一】有理数的加法【知识点一】有理数的加法 加法法则：加法法则： 同号同号两个数相加，取相同符号相同符号，并把绝对值相加绝对值相加. 异号异号两个数相加，取绝对值较大绝对值较大加数符号符号，并用较大绝对值减减较小绝对值. 一个数与 0 相加，仍得这个数仍得这个数. 互为相反的两个数相加和为 0. 练习：练习：计算 （-6）+（-9）= . 18 + 0= . 13 +（-17）= . 4+（-4）= . 有理数的加法
20、运算律：有理数的加法运算律：互为相反数的两数相加得相加得 0 0 （先算） 符号相同符号相同的数先加 分母相同分母相同的数先加 相加得整数相加得整数的数先加 练习：练习：3 . 25 2 1 7 . 525 . 0 . 分析： 原式=（0.5+ 2 1 ）+（5.7+2.3）-（2+5）=1+8-7=2 有理数减法：有理数减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 练习：练习：14-（-16）=14+（ ）= . -8-3=-8+（ ）= . （-2）-（-4）=（-2）+（+4）= . 注意：注意：减号加号 减数它的相反数 例例 1.计算： 2137 97 . 16 . 07 . 16 .
21、0 5 . 13 . 42 . 56 . 34 . 1 练习练习 1-1. 15-23-17-32- 4 . 525. 06 . 035. 0 练练 1-2.计算： 2 . 03 . 19 . 07 . 08 . 1 8 3 3 1 8 1 3 2 【知识点二】有理数乘法：【知识点二】有理数乘法：（1）两数相乘，同号得正，异号得负. 11 （2）多个非零有理数相乘，“奇负偶正” （3）00a 练习练习： 254 . 8 9 5 1 4 3 3 2 = . -3（-4）（-1）（-5）= . 有理数除法：有理数除法：除以一个不为 0 的数，等于乘乘这个数的倒数倒数. 练习：练习：0.5 的倒数为
22、= . -0.6 的倒数为= . 3 4 的倒数为= . 7 1 1的倒数为= . 有理数的混合运算：有理数的混合运算：先乘除后加减 同级运算，从左到右 先确定符号符号，再计算绝对值绝对值.有括号的先算括号里的数. 注意：注意：有理数加减法中：减去一个数.等于加上加上这个数的相反数. 除以一个不等于 0 0 的数，等于乘乘这个数的倒数倒数. 练习：练习： 24 6 1 8 7 3 4 . 5 2 1 3 4 8= . 解：原式= 15421-32 24 6 1 24 8 7 24 3 4 解： 11 120 11 15 8 15 11 8 5 2 3 1 8 例例 2 2.计算： 13 1 3
23、 2 113 5 3 5 8 4 15 4 3 7 2 1 6 5 15 . 03 2 1 3 2 1 练习练习 2 2- -1 1.计算： 3 2 2 6 5 4 3 6 . 0 6 1 25. 0 5 8 3 2 练习练习 2 2- -2 2. 2 1 1 3 1 1 4 3 2 1 3 2 2 8 5 3 12 7 8 5 12 【知识点三】有理数的乘方【知识点三】有理数的乘方 形式：形式：如图， n a读作a的n次幂（a的n次方） 练习：练习：化成指数形式 3 5 3 5 3 5 3 5 . 性质：（1)正数的任意次幂均为正正 (2)0 的任意正整数次幂均为 0 0 (3) 负数的指数
24、幂“奇负负偶正正” 练习：练习：计算 3 2= . 3 2= . 23= . 2 3= . 20181= . 2018 1= . 思考：思考： 2018 1与 2018 1分别表示什么意义？ 2018 1表示 . 2018 1表示 . （答案：2018 个-1 相乘； 2018 个 1 相乘的相反数） 例例 3 3.（1）下列各组中的两个数，运算后结果相等的是（ ） A. 100 100 33与 B. 59 95 与 C. 2015 2015 77与 D. 11 11 3 2 3 2 与 （2）对于任意有理数a，下列各式一定成立的是（ ） A. 2 2 aa B.3 3 aa C. 2 2 a
25、a D. 3 3 aa 练习练习 3 3- -1 1.下列各对数中，数值相等的是（ ） A. 32 34与 B. 3 3 33与 C. 2 2 44与 D. 2 2 3434与 练练 3 3- -2.2.已知有理数ba，若 22 ba ，则一定有（ ） A.ba B.ba C.ba D.以上都不对 【知识点四】有理数五则混合运算【知识点四】有理数五则混合运算 五则混合运算：五则混合运算： 13 先乘方，再乘除，最后加减 同级运算，从左到右，依次进行 括号：小中大 练习练习： 100 5 154522）（ 245 . 01514 解：原式=（-32）+10+1-1=-32 解：原式=-1-5+(
26、1-2)2=1-5+(1)2=6 例例 4 4.计算： 4 2 5 3 3 1 5 2 162 3 2 3 3 2 3 2 2 1 27 13 233 练习练习 4 4- -1 1.计算： 5 4 10 2 3 5 3 3 5 2 33 2 1 1 2 1 2 7 6 4 3 1 练练 4 4- -2 2.计算： 1 3 2 4225. 0 2 2 2 3 32017 3 1 32241 【知识点五】有理数的巧算【知识点五】有理数的巧算- -凑整法凑整法 凑整：凑整：构造整式 把好算的数放一起先算 练习练习：33.6 + 22 - 82 + 66.44 解：原式=（33.66+66.44）+（
27、-82+22）=100+（-60）=40 练习练习：（1）1 + 92 + 993 + 9994 + 99995 解：原式=（10-9）+（100-8）+（1000-7）+（10000-6）+（100000-5） =（10+100+1000+10000+100000）-（9+8+7+6+5）=111110-35=111075 （2）1.73+（ 6 1 ）+（+ 5 3 ）+（-0.23）+（- 6 5 ） 解：原式=（1.73-0.23）+（ 6 1 - 6 5 ）+ 5 3 =1.5+（-1）+ 5 3 = 10 11 例例 5 5.计算： 6 5 11 6 5 14 5 3 7 2 1
28、55 5 2 13 3 2 3 2 1 25 4 1 2 2 1 3 3 1 2 14 练练 5 5- -1 1.1999993199998199971996195919 1.05 5 4 3 1 -1.75 练习练习 5 5- -2 2.计算： 19999519994199319211 57. 1 7 6 3261. 7 6 1 2 7 1 5 6 5 357. 139. 2 【知识点六】有理数的巧算【知识点六】有理数的巧算- -裂项裂项 一些特殊构造的数能够拆成几项，进而互相抵消，使运算简化. 常用拆顷公式： 1 11 1 1 nnnn 如： 2 1 1 1 21 1 knnkknn 11
29、11 如： 3 1 1 1 2 1 31 1 例例 6 6. 90 19 72 17 56 15 42 13 30 11 20 9 12 7 6 5 1 练习练习 6 6- -1 1. 20152014 1 43 1 32 1 21 1 15 练练 6 6- -2 2. 10199 1 . 75 1 53 1 31 1 附加题：附加题： 1.为了求 200832 2.2221的值，可令 200832 2.2221s， 则 2009432 2.22222s，因此122 2009 ss则122.2221 2009200832 仿照以上 推理计算 2017201632 27.7777的值 2.计算：
30、 201532 3 1 . 3 1 3 1 3 1 课堂练习课堂练习 1.计算: 6.24.63.62.8 =( ) A:5 B:6 C:8 D:-8 2. 计算: 143 3.84( 6 )( 8 ) 454 =( ) A:7 B:10 C:20 D:22 3.下列说法正确的是( ) A两个有理数相加,和一定大于每一个加数 B异号两数相加,取较大数的符号 16 C同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加 D异号两数相加,用绝对值较大的数减去绝对值较小的数 4.计算: 14 454545 0.4 93 =( ) A:47 B:83 C:-42 D:-47 5.计算： 7377 ()(1) 8
31、4812 =( ) A:1 B:2 C:1 D:3 6.如果0ab,那么ab，的值为( ) A都为 0 B不都为 0 C至少有一个为 0 D都不为 0 7.下列说法中错误的是( ) A:一个数同 O 相乘,仍得 0 B:一个数同 1 相乘,仍得原数 C:一个数同-1 相乘得原数的相反数 D:互为相反数的两数之积是 1 8.下列各组数中,相等的是( ) A: 22 ( 2)2与 B 9999 -3( 3)与 C 34 43与 D: 11 11 55 ( ) 77 与 9.对于任意有理数a,下列各式一定成立的是( ) A 22 aa B 33 ()aa C: 44 -|aa D: 33 |aa 1
32、0.计算 25.77.313.75.3 的结果为( ) A:8 B:10 C:12 D:0.6 11.已知ab且0ab,则( ) A0a B0a C0b D0b 12.若00abab ，,则( ) A:00ab， B:00ab， C:ab，两数一正一负,且正数的绝对值大于负数的绝对值 D:ab，两数一正一负,且负数的绝对值大于正数的绝对值 13.下列各组数中,数值相等的是( ) A: 2 1与 2 ( 1) B 3 3 22 ( ) 33 与 C 9 -( 2)与 9 2 D 5 ( 3)与 5 3 14.计算： 1111 (1)72 () 23412 432 14 (2) 1( 5 )( 2
33、)| 31| 211 17 15.计算: （1） 2017 111 ( 1)( 3) | 322 （2） 223 322 ( 3)( )6 | 293 第三讲第三讲 数轴与绝对值数轴与绝对值 【知识点一】数轴距离公式【知识点一】数轴距离公式 18 DF= 思考 2 与 3,1 的关系 2= . BF= 思考 4 与 3,-1 的关系 4= . AC= 思考 2 与 0,-2 的关系 2= . 距离公式：距离公式： 在数轴上， 点 A 点 B 所对应的数分别baba且,， 则 A， B 两点的距离为 . （大减小） 注意：注意：若不知道a、b的大小，则a、b两点之间的距离可表示为 .（作差取绝对
34、值！） 练习：练习：数轴上表示-2 和 5 的两点之间距离为 . 数轴上有 A，B 两点，点 A 表示 1，点 A 与 B 的距离为 5,则 B 表示 . 数轴上表示x和-2 的两点之间距离为 . 数轴上表示m与n两点之间的距离为 . 答案：7 -4 或 6 2x nm 例例 1 1. （1） 数轴上表示 2 和 4 两点之间的距离是_； 表示3 和 1 两点之间的距离是_； （2）数轴上与原点的距离为 5 的数是_；如果表示数a和1 的两点之间的距离是 3，那么a = _ 练习练习 1 1- -1 1. （1） 如果数轴上表示 2 和4 的两点分别是点 A 和点 B， 那么点 A 和点 B
35、之间的距离是 （ ） A.-2 B.2 C.-6 D.6 （2）数轴上点 A、B 表示的数分别是ba，则点 A，B 之间的距离为（ ） A.ba B.ba C.ba D.ba 练练 1 1- -2 2.（1）在数轴上，与表示数2 的点的距离是 5 的点表示的数是（ ） A.3 B.-7 C.7 D.3 或者-7 （2）在数轴上把数 2 对应的点移动 3 个单位后所得的对应点表示的数是（ ） A.5 B.-1 C.5 或-1 D.不确定 【知识点二】数轴中点公式【知识点二】数轴中点公式 CE 的中点： 思考 0 与-1,1 的关系 0= . 19 DF 的中点： 思考 1 与 0,2 的关系 1= . AE 的中点： 思考-1 与-3,1 的关系 -1= . 中点公式：中点公式：数轴上，点 A，B, C 所对应的数分别为 a, b , c 且点 C 为
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