1、2020 年浙江年浙江宁波宁波中考数学一模二模考试试题分类（中考数学一模二模考试试题分类（4）二次函数）二次函数 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1 （2020宁波模拟）已知点 P（m，n）在抛物线 ya（x5）2+9（a0）上，当 3m 4 时，总有 n1，当 7m8 时，总有 n1，则 a 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 2 （2020宁波模拟）二次函数 yx2+4x+1 有（ ） A最大值 5 B最小值 5 C最大值3 D最小值3 3 （2020宁波模拟）二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x2，并且 过点（1，0） ，则下列结论中，正确的一项是
2、（ ） Ac0 B9a+c3b C5ab D4acb20 4 （2020宁波模拟）已知点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）均在二次函数 yax26ax+9a4 的图象上，且|x13|x23|，则下列说法错误的是（ ） A直线 x3 是该二次函数图象的对称轴 B当 a0 时，该二次函数有最大值4 C该二次函数图象与坐标轴一定有一个或三个交点 D当 a0 时，y1y2 5 （2020鄞州区模拟）如图是二次函数 yax2+bx+c 的图象，下列结论：2ab；a b+c0；ab；ac，其中正确的结论是（ ） A B C D 6 （2020北仑区模拟）将抛物线 yx2沿直线 yx 向上平移个单位，得
3、到的抛物线的解 析式为（ ） Ay（x+1）2+1 By（x+1）21 Cy（x1）2+1 Dy（x1）21 7 （2020鄞州区一模） yax2+bx+c 的图象如图所示， 则下列 4 个代数式 a+2b+c， 2a+b+c， 3a+2b+c，其中值一定大于 1 的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8 （2020慈溪市模拟）已知抛物线 yx2+mx+n 与 x 轴只有一个公共点，且过点 A（a，b） ， B（a4，b） ，则 b 的值为（ ） A4 B2 C6 D9 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 9 （2020海曙区模拟） 已知二次函数 yax22ax+c
4、（a0） 图象上的两点 （x1，y1） 和（3， y2） ，若 y1y2，则 x1的取值范围是 10 （2020宁波模拟） 如图， 在平面直角坐标系中， 菱形 OABC 的边长为 2， AOC60， 点 D 为 AB 边上的一点，经过 O，A，D 三点的抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E，连结 AE 交 BC 于点 F，当 DFAB 时，CE 的长为 11 （2020慈溪市模拟）把抛物线 y（x2a）2（x2a） （其中 a 是常数）向上平移， 使平移后的抛物线与直线 y1 只有一个公共点，则需平移 个单位 12 （2020余姚市一模）直线 yax+m 和直线 ybx+n 在同一平面直角坐标系
5、中的图象如 图所示，则抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为 13（2020海曙区一模） 已知自变量为 x 的二次函数 y （ax+b）（x+） 经过 （m， 3） 、（m+4， 3）两点，若方程（ax+b） （x+）0 的一个根为 x5，则其另一个根为 14 （2020鄞州区模拟）如图所示，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴相交于点 A，B，若其对称轴为直线 x2，则 OBOA 的值为 三解答题（共三解答题（共 18 小题）小题） 15 （2020余姚市模拟）如图，已知二次函数 yx2+ax+3 的图象经过 P 点（2，3） （1）求 a 的值和图象的顶点坐标 （2）点 Q
6、（m，n）在该二次函数的图象上 当 m2 时，求 n 的值； 若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围 16 （2020宁波模拟）已知：如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点， 与 y 轴交于点 C，其中 A 点坐标为（1，0） ，M（2，9）为二次函数图象的顶点 （1）求二次函数的表达式； （2）求MCB 的面积 17 （2020宁波模拟）二次函数 yx2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0） ，B（2，0）两点， 交 y 轴于点 C （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线上存在一点 D（不与点 C 重合）使得 SABD
7、SABC，求点 D 的坐标； （3）若点 E 是 y 轴上一动点，求 AE+CE 的最小值 18 （2020宁波模拟）如图，是 400 米跑道示意图，中间的足球场 ABCD 是矩形，两边是 半圆，直道 AB 的长是多少？ 你一定知道是 100 米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因， 等你做完本题就明白了设 ABx 米 （1）请用含 x 的代数式表示 BC （2）设矩形 ABCD 的面积为 S 求出 S 关于 x 的函数表达式 当直道 AB 为多少米时，矩形 ABCD 的面积最大？ 19 （2020宁波模拟） 已知二次函数 y2 （x+a） 23a+2 的图象的顶点为 P
8、， 直线 ykx+b 分别交 x 轴，y 轴于点 A（10，0） ，B（0，10） （1）如图 1，若点 P 在AOB 内（不包括三边） ，求 a 的取值范围 （2）如图 2，点 C（，y1） ，D（，y2） ，均在该二次函数的图象上，且 y1y2，求 a 的取值范围 （3）如图 3，连结 PO，PA，是否存在点 P，使得POA 为直角三角形？若存在，请求 出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 20 （2020宁波模拟）若抛物线的顶点到 x 轴的距离与抛物线截 x 轴所得的线段长度之比为 整数，则称该抛物线为倍比抛物线，这个整数比叫做抛物线的倍比值 （1）判断下列抛物线是否为倍比抛物线，在横
9、线上填“是”或“不是” ，如果“是” ，直 接写出倍比值 y（x2）21 ； y2（x1）28 ； y3（x）2+12 （2）有一条倍比值为 1 的抛物线 yax2+bx+c，交 x 轴于点 A（m，0） ，点 B（1，0） ， 交 y 轴于点 C（0，3） ，求这条倍比抛物线的解析式 21 （2020宁波模拟）如图，已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（8，0） 两点， 交 y 轴于点 C （0， 8） ， P 是抛物线在 x 轴上方一动点， 且在对称轴右侧， 连结 PA， PB，作 BDAP 于点 D，PEx 轴于点 E，直线 BD 与直线 PE 相交于点
10、F （1）求抛物线的函数表达式 （2）ADBF 的值是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出这个定值 （3）如图，若抛物线的对称轴交 x 轴于点 H，PAB45，作ADB 的平分线交抛 物线的对称轴于点 M，连结 AM，BM，求ABM 的面积 22 （2020宁波模拟）如图，点 G 是等边三角形 AOB 的外心，点 A 在第一象限，点 B 坐标为（4，0） ，连结 OG抛物线 yax（x2）+1+的顶点为 P （1）直接写出点 A 的坐标与抛物线的对称轴； （2）连结 OP，求当AOG2AOP 时 a 的值 （3）如图，若抛物线开口向上，点 C，D 分别为抛物线和线段 AB 上的动点，以
11、CD 为底边构造顶角为 120的等腰三角形 CDE（点 C，D，E 成逆时针顺序） ，连结 GE 点 Q 在 x 轴上，当四边形 GDQO 为平行四边形时，求 GQ 的值； 当 GE 的最小值为 1 时，求抛物线的解析式 23 （2020宁波模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，我们把函数图象上横坐标与纵坐标相等 的点叫做这个图象上的“不动点” 已知抛物线 yx22x，记与 x 轴的两交点中的右侧 交点为点 M，其顶点为点 A （1）试求抛物线 yx22x 的“不动点”的坐标 （2）平移抛物线 yx22x，使所得新抛物线的顶点 B 是该拋物线的“不动点” ，若 OBM 是以 OB 为腰的等腰三角
12、形，求OBM 的面积 （3）平移抛物线 yx22x，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点” ，其对称 轴与 x 轴交于点 C，若AOB 与BCO 相似 求新抛物线的解析式； 若点B 的横坐标为 t， 点P 是半径为|的M 上一动点， 当点 P运动到某一位置时， PB+PC 的值最小，请直接写出这个最小值 24 （2020海曙区模拟）如图，在平面直角坐标系中，B（5，0） ，点 A 在第一象限，且 OA OB，sinAOB （1）求过点 O，A，B 三点的抛物线的解析式 （2）若 y的图象过（1）中的抛物线的顶点，求 k 的值 25 （2020江北区模拟）如图 1，平面直角坐标系中，O
13、AB 的边 OA 在 x 轴的正半轴上， 点 B 在第二象限，且AOB135，OA2，OB2，抛物线 yx2+bx+c 经过 点 B，并与 y 轴交于点 C（0，5） ，点 P 在抛物线的对称轴上 （1）求 b、c 的值，及抛物线的对称轴 （2）求证：以点 M（2，5）为圆心，半径为 2的圆与边 AB 相切 （3）若满足条件AOB+POD180与 OB：ODOA：OP 的点 D 恰好在抛物线上， 请求出此时点P的坐 标 26 （2020镇海区模拟）如图，直线 yx+m 与二次函数 yax2+2x+c 的图象交于点 A（0， 3） ，已知该二次函数图象的对称轴为直线 x1 （1）求 m 的值及二
14、次函数解析式； （2）若直线 yx+m 与二次函数 yax2+2x+c 的图象的另一个交点为 B，求OAB 的面 积； （3）根据函数图象回答：x 为何值时该一次函数值大于二次函数值 27 （2020慈溪市模拟）如图，抛物线 yx2+bx+c，经过矩形 OABC 的 A（3，0） ，C （0，2） ，连结 OBD 为横轴上一个动点，连结 CD，以 CD 为直径作M，与线段 OB 有一个异于点 O 的公共点 E，连结 DE过 D 作 DFDE，交M 于 F （1）求抛物线的解析式； （2）tanFDC 的值； （3）当点 D 在移动过程中恰使 F 点落在抛物线上，求此时点 D 的坐标； 连结 B
15、F，求点 D 在线段 OA 上移动时，BF 扫过的面积 28 （2020奉化区模拟）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点（1，0） ，且对一切实 数 x，都有 xax2+bx+cx2+x+成立 （1）当 x1 时，求 y 的值； （2）求此二次函数的表达式； （3） 当 xt+m 时， 二次函数 yax2+bx+c 的值为 y1， 当 x2t 时， 二次函数 yax2+bx+c 的值为 y2，若对一切1t1，都有 y1y2，求实数 m 的取值范围 29 （2020余姚市模拟）如图，已知二次函数 yx2+bx+c 的图象经过点 A（3，1） ，点 B （0，4） （1）求该二次函数的表
16、达式及顶点坐标； （2）点 C（m，n）在该二次函数图象上 当 m1 时，求 n 的值； 当 mx3 时，n 最大值为 5，最小值为 1，请根据图象直接写出 m 的取值范围 30 （2020北仑区模拟）为满足市场需求，某超市在中秋节来临前夕，购进一种品牌月饼， 每盒进价是 40 元超市规定每盒售价不得少于 45 元，根据以往销售经验发现：当售价 定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒 （1）试写出每天的销售利润 P（元）与每盒涨价 x（元）之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）当每盒涨价为多少元时，每天的销售利润 P 最大？最
17、大利润是多少？ （3）如果超市想要每天获得不低于 6000 元的利润，求 x 的取值范围 31 （2020慈溪市模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ya（x+3） （x4）与 x 轴 交于 A、C 两点（点 C 在点 A 的右侧） ，与 y 轴交于 B（0，4）点，D 是 x 轴正半轴上一 点，且 ABAD，连结 BD，P 是 x 轴上一动点，P、Q 关于 BD 对称，连结 BP （1）求 a 的值和 D 的坐标； （2）若 Q 点落在 BC 上 求证：ABP45；求点 P 的坐标； （3） 若点 Q 落在抛物线和直线 BC 围成的区域 （包括边界） 中， 且 Q 点的横坐标为整数， 求此
18、时点 P 的坐标 32 （2020宁波模拟）如图，函数 y1的图象经过向左或向右平移一次，再向上或向下平移 一次，得到函数 y2的图象，我们称函数 y1为“基函数” ，y2为“基函数”的“像”左右、 上下平移的路径称为平移路径，对应点之间的距离称为平移距离 我们所学过的函数：二次函数 yax2，正比例函数 ykx 和反比例函数 y都可以作为 “基函数” ，沿着平移路径平移可以得到“像” 如一次函数 y2x5 是基函数 y2x 的像，由 y2x52（x1）3 可知，平移路径 可以是向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，平移距离 （1）一位同学经过思考后，为函数 y2x5 又找到了一条平移
19、路径，由基函数 y2x 先向 个单位，再向下平移 7 个单位，相应的平移距离为 ； （2）已知函数 yx26x+5 是基函数 yx2的像，请写出平移路径和相应的平移距离； （3）已知函数 y是基函数 y的像，求出平移路径，并求相应的平移距离 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1 （2020宁波模拟）已知点 P（m，n）在抛物线 ya（x5）2+9（a0）上，当 3m 4 时，总有 n1，当 7m8 时，总有 n1，则 a 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 【答案】D 【解答】解：抛物线 ya（x5）2+9（a0） ， 抛物线的顶点为（5，9）
20、 ， 当 7m8 时，总有 n1， a 不可能大于 0， 则 a0， x5 时，y 随 x 的增大而增大，x5 时，y 随 x 的增大而减小， 当 3m4 时，总有 n1，当 7m8 时，总有 n1，且 x3 与 x7 对称， m3 时，n1，m7 时，n1， ， 4a+91， a2， 故选：D 2 （2020宁波模拟）二次函数 yx2+4x+1 有（ ） A最大值 5 B最小值 5 C最大值3 D最小值3 【答案】A 【解答】解：yx2+4x+1（x2）2+5 由于 a10， 所以该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（2，5） 所以该抛物线有最大值，且最大值是 5 故选：A 3 （2020宁
21、波模拟）二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x2，并且 过点（1，0） ，则下列结论中，正确的一项是（ ） Ac0 B9a+c3b C5ab D4acb20 【答案】C 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 抛物线的对称轴为直线 x2， b4a0， 抛物线经过（1，0） ， 即 x1，y0， a+b+c0， cba4aa5a0，所以 A 选项错误； 抛物线的对称轴为直线 x2，抛物线与 x 轴的一个交点为（1，0） ， 抛物线与 x 轴的一个交点为（5，0） ， 当 x3 时，y0， 即 9a3b+c0， 9a+c3b，所以 B 选项错误； 5ab5a4aa0， C 选
22、项正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，所以 D 选项错误 故选：C 4 （2020宁波模拟）已知点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）均在二次函数 yax26ax+9a4 的图象上，且|x13|x23|，则下列说法错误的是（ ） A直线 x3 是该二次函数图象的对称轴 B当 a0 时，该二次函数有最大值4 C该二次函数图象与坐标轴一定有一个或三个交点 D当 a0 时，y1y2 【答案】C 【解答】解：二次函数 yax26ax+9a4a（x3）24， 直线 x3 是该二次两数图象的对称轴，当 a0 时，该二次函数有最大值4，故选项 A、B 正确； |x13|x23|，点 A
23、（x1，y1）和 B（x2，y2）均在二次函数 yax26ax+9a4 的图 象上， 当 a0 时，y1y2，故选项 D 正确； 当 x0，y0 时，得 a，即 a时，该函数图象与坐标轴有两个交点，故选项 C 错误； 故选：C 5 （2020鄞州区模拟）如图是二次函数 yax2+bx+c 的图象，下列结论：2ab；a b+c0；ab；ac，其中正确的结论是（ ） A B C D 【答案】D 【解答】解：抛物线的对称轴在 y 轴左侧，则 a、b 同号，而 a0，则 b0，而 c0； 函数的对称性 x1，故 2ab，故正确，符合题意； 当 x1 时，yab+c0，故错误，不符合题意； 由得，ab+
24、c0，即 abc0，即 ab，故正确，符合题意； 由得：ab+c0，即 a+cb2a，故 ac，故正确，符合题意； 故选：D 6 （2020北仑区模拟）将抛物线 yx2沿直线 yx 向上平移个单位，得到的抛物线的解 析式为（ ） Ay（x+1）2+1 By（x+1）21 Cy（x1）2+1 Dy（x1）21 【答案】C 【解答】解：将抛物线 yx2沿直线 yx 向上平移个单位， 将抛物线 yx2向右平移 1 个单位、向上平移 1 个单位， 平移后抛物线的解析式为 y（x1）2+1 故选：C 7 （2020鄞州区一模） yax2+bx+c 的图象如图所示， 则下列 4 个代数式 a+2b+c，
25、2a+b+c， 3a+2b+c，其中值一定大于 1 的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】D 【解答】解：由 yax2+bx+c 的图象可得： 开口向下，故 a0； 与 y 轴的交点在（0，1）的上方，故 c1； 对称轴在 y 轴右侧，且 a0 故 b0； 由图象可知当 x1 时，ya+b+c1 a+2b+ca+b+c+b1； 对称轴 x1， b2a， 2a+b0， 2a+b+c0+c1； 3a+2b+c（2a+b）+（a+）+c0+0+cc1； 综上所述，值一定大于 1 的个数是 4 个 故选：D 8 （2020慈溪市模拟）已知抛物线 yx2+mx+n 与 x 轴只
26、有一个公共点，且过点 A（a，b） ， B（a4，b） ，则 b 的值为（ ） A4 B2 C6 D9 【答案】A 【解答】解：抛物线 yx2+mx+n 与 x 轴只有一个公共点， m241nm24n0， nm2， 抛物线 yx2+mx+n 过点 A（a，b） ，B（a4，b） ， ba2+ma+n，b（a4）2+m（a4）+n， a2+ma+n（a4）2+m（a4）+n， 化简，得 a， ba2+ma+n（）2+m+m24， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 9 （2020海曙区模拟） 已知二次函数 yax22ax+c （a0） 图象上的两点 （x1，y1） 和（3， y
27、2） ，若 y1y2，则 x1的取值范围是 1x13 【答案】见试题解答内容 【解答】解：y1y2， a2ax1+c9a6a+c， a2ax13a0， a0， 函数 ya2ax13a 开口向下， 令 a2ax13a0， 解得 x11 或 3， 画出函数图象示意图： 由图象可得，当1x3 时，a2ax13a0， x1的取值范围是1x13， 故答案为：1x13 10 （2020宁波模拟） 如图， 在平面直角坐标系中， 菱形 OABC 的边长为 2， AOC60， 点 D 为 AB 边上的一点，经过 O，A，D 三点的抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E，连结 AE 交 BC 于点 F，当 DFAB
28、时，CE 的长为 【答案】见试题解答内容 【解答】解：菱形 OABC 的边长为 2，AOC60， OA2， A（1，） ， 菱形 OABC， ABOC2，ABOC， B（3，） ， 设 BFx，则 CF2x， 在菱形 OABC 中，BAOC60， DFAB， D（3x，） ， 点 A 与点 D 的中点为（2x，） ， 抛物线经过 O，A，D、E， 点 O 与点 E 的中点为（2x，0） ， E（4x，0） ， CE4x22x， ABCE， ， ， x4+2（舍）或 x42， CE， 故答案为 11 （2020慈溪市模拟）把抛物线 y（x2a）2（x2a） （其中 a 是常数）向上平移， 使平移
29、后的抛物线与直线 y1 只有一个公共点，则需平移 个单位 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设抛物线 y（x2a）2（x2a） （其中 a 是常数）向上平移 b 个单位， y（x2a）2（x2a）（x2a）2 把抛物线 y（x2a）2（x2a） （其中 a 是常数）向上平移 b 个单位后抛物线解析 式为：y（x2a）2+b 依题意得： （x2a）2+b1，即 x2（4a+1）x+4a2+2a+b10， （4a+1）24（4a2+2a+b1）0 解得 b 故答案是： 12 （2020余姚市一模）直线 yax+m 和直线 ybx+n 在同一平面直角坐标系中的图象如 图所示，则抛物线 yax2+b
30、x+c 的对称轴为 直线 x 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图可知，当 x2 时，2a+m2b+n，得 2a2bnm； 当 x3 时，y13a+m，当 x6 时，y26b+n，且 y1y2； 得 nm3a6b， 2a2b3a6b， a4b 由二次函数的性质可知，其对称轴为直线 x 故答案为：直线 x 13（2020海曙区一模） 已知自变量为 x 的二次函数 y （ax+b）（x+） 经过 （m， 3） 、（m+4， 3）两点，若方程（ax+b） （x+）0 的一个根为 x5，则其另一个根为 1 或9 【答案】见试题解答内容 【解答】解：二次函数 y（ax+b） （x+） ， 当 x0
31、时，y3， 二次函数 y（ax+b） （x+）必经过定点（0，3） ， 二次函数 y（ax+b） （x+）经过（0，3） 、 （4，3）两点或经过（4，3） （0，3）两 点， 对称轴为：x2 或 x2 方程（ax+b） （x+）0 的一个根为 x5， 另一个根为1 或9 故答案为1 或9 14 （2020鄞州区模拟）如图所示，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴相交于点 A，B，若其对称轴为直线 x2，则 OBOA 的值为 4 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设 A（x1，0） ，B（x2，0） ， 则 x1、x2是方程 ax2+bx+c0 的两个根， 抛物线的对称轴是：
32、x2， 2， b4a， 由图可知：x10，x20， OBOAx2（x1）x2+x14， 故答案为：4 三解答题（共三解答题（共 18 小题）小题） 15 （2020余姚市模拟）如图，已知二次函数 yx2+ax+3 的图象经过 P 点（2，3） （1）求 a 的值和图象的顶点坐标 （2）点 Q（m，n）在该二次函数的图象上 当 m2 时，求 n 的值； 若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围 【答案】 （1）a2，顶点坐标为（1，2） ； （2）11；2n11 【解答】解： （1）把点 P（2，3）代入 yx2+ax+3 中， a2， yx22x+3（x1）2+2
33、， 顶点坐标为（1，2） ； （2）当 m2 时，n（2）22（2）+311， 点 Q 到 y 轴的距离小于 2， |m|2， 2m2， 2n11 16 （2020宁波模拟）已知：如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点， 与 y 轴交于点 C，其中 A 点坐标为（1，0） ，M（2，9）为二次函数图象的顶点 （1）求二次函数的表达式； （2）求MCB 的面积 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）函数的表达式为：ya（x2）2+9， 将点 A（1，0）代入上式得：0a（12）2+9， 解得：a1， 故抛物线的表达式为：y（x2）2+9，即 yx2+4x+5
34、； （2）由 yx2+4x+5 可知点 C（0，5） ， A 点坐标为（1，0） ，对称轴为直线 x2， B（5，0） ， 则直线 BC 函数表达式为：yx+5， 把 x2 代入得 y3， 过点 M 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 则点 H（2，3） ， SMCBHMBO5615 17 （2020宁波模拟）二次函数 yx2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0） ，B（2，0）两点， 交 y 轴于点 C （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线上存在一点 D（不与点 C 重合）使得 SABDSABC，求点 D 的坐标； （3）若点 E 是 y 轴上一动点，求 AE+CE 的最小值
35、 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）二次函数 yx2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0） ，B（2，0） ， 二次函数的解析式为 y（x+1） （x2）x2x2 （2）设 D（m，n） ，由题意 C（0，2） SABDSABC， ABOCAB|n|， |n|2， 当 n2 时，2m2m2， 解得 m， D（，2） ，D（，2） 当 n2 时，2m2m2， 解得 m0 或 1， D（1，2） ， 综上所述，满足条件的的 D 的坐标为（，2）或（，2）或（1，2） （3）如图，过点 E 作 EHBC 于 H B（2，0） ，C（0，2） ， OBOC2， COB90， OCBOB
36、C45， EHBC， EHEC， AE+ECAE+EH， 根据垂线段最短可知当 A，E，H 共线时，AE+EH 的值最小，此时ABH 是等腰直角三 角形， AHAB， AE+CE 的最小值为 18 （2020宁波模拟）如图，是 400 米跑道示意图，中间的足球场 ABCD 是矩形，两边是 半圆，直道 AB 的长是多少？ 你一定知道是 100 米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因， 等你做完本题就明白了设 ABx 米 （1）请用含 x 的代数式表示 BC （2）设矩形 ABCD 的面积为 S 求出 S 关于 x 的函数表达式 当直道 AB 为多少米时，矩形 ABCD 的面
37、积最大？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）由题意可得：BC， BC； （2）四边形 ABCD 是矩形， Sx（x100）2+； 当 x100 时，S 最大， 当 AB100 米时，S 最大 19 （2020宁波模拟） 已知二次函数 y2 （x+a） 23a+2 的图象的顶点为 P， 直线 ykx+b 分别交 x 轴，y 轴于点 A（10，0） ，B（0，10） （1）如图 1，若点 P 在AOB 内（不包括三边） ，求 a 的取值范围 （2）如图 2，点 C（，y1） ，D（，y2） ，均在该二次函数的图象上，且 y1y2，求 a 的取值范围 （3）如图 3，连结 PO，PA，是否
38、存在点 P，使得POA 为直角三角形？若存在，请求 出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）A（10，0） ，B（0，10） ， 直线 AB 的解析式为 yx+10， P（a，3a+2） ，点 P 在AOB 内部， 则有， 解得2a0 （2）由题意：y12（+a）23a+2，y22（+a）23a+2， y1y2， 2（+a）23a+22（+a）23a+2， （+a）2（+a）2， |+a|+a|， 解得 a， 故满足条件的 a 的取值范围为 a （3）当AOP90时，点 P 在 y 轴上，a0，P（0，2） 当OAP90时，点 P 在直线 x10 上
39、，a10，P（10，32） 当APO90时，则有 OA2OP2+AP2， a2+（3a2）2+（10+a）2+（3a2）2102， 整理得：5a2a+20，方程无解 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（0，2）或（10，32） 20 （2020宁波模拟）若抛物线的顶点到 x 轴的距离与抛物线截 x 轴所得的线段长度之比为 整数，则称该抛物线为倍比抛物线，这个整数比叫做抛物线的倍比值 （1）判断下列抛物线是否为倍比抛物线，在横线上填“是”或“不是” ，如果“是” ，直 接写出倍比值 y（x2）21 不是 ； y2（x1）28 是 ； y3（x）2+12 是 （2）有一条倍比值为 1 的抛物线
40、yax2+bx+c，交 x 轴于点 A（m，0） ，点 B（1，0） ， 交 y 轴于点 C（0，3） ，求这条倍比抛物线的解析式 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）抛物线的顶点坐标为： （2，1） ， 令 y0，则 x3 或1， 故抛物线截 x 轴所得的线段长度为 3（1）4， 则倍比值为：14不为整数， 故答案为：不是； 抛物线的顶点坐标为： （1，8） ， 同理抛物线截 x 轴所得的线段长度为 4， 则倍比值为：842 是整数， 故答案为：是； 抛物线顶点坐标为： （，12） ， 同理抛物线截 x 轴所得的线段长度为 4， 则倍比值为：1243 是整数， 故答案为：是； （2）
41、抛物线的对称轴为：x（m+1） ，抛物线截 x 轴所得的线段长度为|m1|， 抛物线的表达式可表示为：ya（x1） （xm） ， 将点 C 的坐标代入上式得：ya（1） （m）3，解得：a， 故抛物线的表达式为：y（x1） （xm） ， 倍比值为 1， 抛物线顶点坐标为： （，|m1|） ，即（，m1）或： （，m+1） ， 将顶点坐标代入 y（x1） （xm）得： |m1|（1） （m） ， 解得：m3 或， 故抛物线的表达式为：y（x1） （x+3）x22x+3 或 y7x210 x+3 21 （2020宁波模拟）如图，已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（
42、8，0） 两点， 交 y 轴于点 C （0， 8） ， P 是抛物线在 x 轴上方一动点， 且在对称轴右侧， 连结 PA， PB，作 BDAP 于点 D，PEx 轴于点 E，直线 BD 与直线 PE 相交于点 F （1）求抛物线的函数表达式 （2）ADBF 的值是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出这个定值 （3）如图，若抛物线的对称轴交 x 轴于点 H，PAB45，作ADB 的平分线交抛 物线的对称轴于点 M，连结 AM，BM，求ABM 的面积 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）设抛物线的表达式为：ya（x2） （x8） ， 将点 C 的坐标代入上式得：16a8，解得：a，
43、故抛物线的表达式为：y（x2） （x8）x25x+8； （2）是，理由： 设点 P（x，y） ，则 y（x2） （x8） ， BDAP，PEx 轴， ADBFEB90， ABDFBE， ADBFEB，FDAB， AEPFEB90， AEPFEB， ，即， 解得：EF2， ADBFEB， ， ADBFABEF6212， 即 ADBF 的值是定值； （3）如图，在 DF 上截取 DKDA，连接 MK， DM 平分ADB， ADMKDM， DMDM， ADMKDM（SAS） ， MAMK，DAMBKM， 点 M 在抛物线的对称轴上， MBMA， MKMB， MBKMKB， DBM+MBK180， D
44、BM+DAM180， AMB+ADB180， ADB90， AMB90， HMAB3， ABM 的面积ABMH639 22 （2020宁波模拟）如图，点 G 是等边三角形 AOB 的外心，点 A 在第一象限，点 B 坐标为（4，0） ，连结 OG抛物线 yax（x2）+1+的顶点为 P （1）直接写出点 A 的坐标与抛物线的对称轴； （2）连结 OP，求当AOG2AOP 时 a 的值 （3）如图，若抛物线开口向上，点 C，D 分别为抛物线和线段 AB 上的动点，以 CD 为底边构造顶角为 120的等腰三角形 CDE（点 C，D，E 成逆时针顺序） ，连结 GE 点 Q 在 x 轴上，当四边形
45、GDQO 为平行四边形时，求 GQ 的值； 当 GE 的最小值为 1 时，求抛物线的解析式 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）如图，连接 AG 并延长 AG 交 OB 于 H， 点 B 坐标为（4，0） ， OB4， 点 G 是等边三角形 AOB 的外心， AHOB，OAOB4，AOB60， OAH30， OHOA2，AHOH2， 点 A（2，2） ， 抛物线 yax（x2）+1+ax22ax+1+， 对称轴为：直线 x1； （2）如图，过点 P 作 PNOB 于 N，交 AO 于 F， ON1， 点 G 是等边三角形 AOB 的外心， OG 平分AOB， AOG30BOG， 当点
46、P 在AOB 内， AOG2AOP， AOP15POG， PON45， PNOB， PONOPN45， PNON1， 点 P 坐标（1，1） ， 1a（12）+1+， a， 当点 P 在AOB 外， 同理可得AOP15， PON75， OPN15AOP， OFPF， AOB60，PNOB， OF2ON2PF，FNON， PNPF+FN2+， 点 P 坐标为（1，2+） ， 2+a（12）+1+， a1， 综上所述：a1 或； （3）如图，连接 AG 并延长 AG 交 OB 于 H， 点 G 是等边三角形 AOB 的外心， AG2GH，OHBH2，AH2， GH， 四边形 GDQO 为平行四边形
47、， GDOB，GDOQ， ， GD， QH， GQ； 如图，在 OB 上截取 OMBD，连接 CM，GM，GB，MD，GD， 点 G 是等边三角形 AOB 的外心， OGGB，GOBGBOABG30， 又OMBD， OGMBGD（SAS） ， MGGD，OGMBGD， OGBMGD1803030120， MDGD，GDM30， CDE 中 CEDE，CED120， CDDE，CDE30， MDCGDE， GDEMDC， ， 当 GE 最小值为 1 时，MC 最小值为， 当点 C 与抛物线顶点 P 重合，且 CMOB 时，CM 有最小值， CM 的最小值为顶点 P 的纵坐标， 点 P 坐标（1，） ， a（12）+1+， a1， 抛物线的解析式为：yx（x2）+1+（x1）2+ 23 （2020宁波模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，我们把函数图象上横坐标与纵坐标相等 的点叫做这个图象上的“不动点” 已知抛物线 yx22x，记与 x 轴的两交点中的右侧 交点为点 M，其顶点为点 A （1）试求抛物线 yx22x 的“不动点”的坐标 （2）平移抛物线 yx22x，使所得新抛物线的顶点 B 是该拋物线的“不动点” ，若 OBM 是以 OB 为腰的等腰三角形，
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