1、2020 年山东省德州市德城区中考数学二练试卷年山东省德州市德城区中考数学二练试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 48 分）分） 1 （3 分）如果 a 与 1 互为相反数，则|a+2|等于（ ） A2 B2 C1 D1 2 （3 分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列式子中，计算正确的是（ ） Am2+m2m4 B （m+2）2m2+4 C （2mn2）36m3n6 D （m4）2m8 4 （3 分） “山东半岛蓝色经济区”规划主体区包括的海域面积共 159500 平方公里159500 用科学记数法表
2、示为（ ） A1595102 B159.5103 C15.95104 D1.595105 5 （3 分）下列说法正确的是（ ） A “任意画一个三角形，其内角和为 360”是随机事件 B检测某城市的空气质量，采用抽样调查法 C已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投 10 次可投中 6 次 D抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取 6 （3 分）在平面直角坐标系中，若点 M（m，n）与点 Q（2，3）关于原点对称，则点 P （mn，n）所在象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7 （3 分）圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥侧面积为（ ） A3
3、 B6 C3 D6 8 （3 分）若一个三角形的两边长分别是 2 和 6，第三边的边长是方程 x210 x+210 的一 个根，则这个三角形的周长为（ ） A7 B3 或 7 C15 D11 或 15 9 （3 分）已知 a，b 为两个连续整数，且 a1b，则这两个整数是（ ） A1 和 2 B2 和 3 C3 和 4 D4 和 5 10 （3 分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现 在平均每天比原计划多植树 30 棵， 现在植树 400 棵所需时间与原计划植树 300 棵所需时 间相同，设现在平均每天植树 x 棵，则列出的方程为（ ） A B C D 11
4、（3 分）已知二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象如图，则下列结论中正确的是 （ ） Aabc0 Bb24ac0 C9a+3b+c0 Dc+8a0 12 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB3，点 E 在边 CD 上，且 CD3DE将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG，CF下列结论：点 G 是 BC 中点；FGFC；SFGC其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 24 分）分） 13 （3 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 14 （3 分）一个正 n 边形的内角和等于
5、900，则 n 15 （3 分）如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋高楼顶部 B 的仰角为 30，看 这栋高楼底部 C 的俯角为 60，热气球 A 与高楼的水平距离为 120m，这栋高楼 BC 的 高度为 米 16 （3 分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆 形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面若这个输水管道有水部分 的水面宽 AB16cm， 水面最深地方的高度为 4cm， 则这个圆形截面的半径为 cm 17 （3 分）对于三个数 a，b，c，用 Ma，b，c表示这三个数的中位数，用 maxa，b，c 表示这三个数中最大的数例如：M
6、2，1，01；max2，1，00，max 2，1，a根据以上材料，解决下列问题： 若 max3，53x，2x6M1，5，3，则 x 的取值范围为 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OAA1的直角边 OA 在 x 轴上，点 A1在第一象限， 且OA1， 以点A1为直角顶点， OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2， 再以点 A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形 OA2A3依此规律，则点 A2020 的坐标是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 78 分）分） 19 （10 分） （1）计算： （2）化简求值：，其中 m1 20 （
7、10 分）垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源，生活垃圾一般按如图 所示 A、B、C、D 四种分类方法回收处理，某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调 查、统计了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类处理情况，并将调查统计结果绘制 成如下两幅不完整的统计图表： 根据图表解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）在抽样数据中，产生的有害垃圾共 吨； （3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占，每回收 1 吨塑料类垃圾可获得 0.7 吨二 级原料假设该城市每月产生的生活垃圾为 5000 吨，且全部分类处理，那么每月回收的 塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？ 21（12 分） 为
8、实现区域教育均衡发展， 我市计划对某县 A、 B 两类薄弱学校全部进行改造 根 据预算，共需资金 1575 万元改造一所 A 类学校和两所 B 类学校共需资金 230 万元；改 造两所 A 类学校和一所 B 类学校共需资金 205 万元 （1）改造一所 A 类学校和一所 B 类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）若该县的 A 类学校不超过 5 所，则 B 类学校至少有多少所？ （3）我市计划今年对该县 A、B 两类学校共 6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方 财政共同承担若今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元；地方财政投入的改造 资金不少于 70 万元， 其中地方财政投入到 A
9、、 B 两类学校的改造资金分别为每所 10 万元 和 15 万元请你通过计算求出有几种改造方案？ 22 （10 分）如图，一次函数 yx+4 的图象与反比例函数 y（k 为常数且 k0）的图象 交于 A（1，a） ，B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求 a，k 的值及点 B 的坐标； （2）若点 P 在 x 轴上，且 SACPSBOC，直接写出点 P 的坐标 23 （10 分）如图，在ABC 中，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 M，弦 MNBC 交 AB 于 点 E，且 ME1，AM2，AE （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求的长 24 （12 分） （1）如图 1，正方形
10、ABCD 与正方形 AEFG 有公共的顶点 A，连接 DG，BE， AC，CF 求证：DGBE；求的值； （2）将图 1 中的正方形 AEFG 旋转到图 2 的位置，当 D，G，E 在一条直线上，若 DG GE3，求正方形 ABCD 的边长 25 （14 分）如图，二次函数的图象经过点 A（4，0） ，B（4，4） ，且 与 y 轴交于点 C （1）试求此二次函数的解析式； （2）试证明：BAOCAO（其中 O 是原点） ； （3）若 P 是线段 AB 上的一个动点（不与 A、B 重合） ，过 P 作 y 轴的平行线，分别交此 二次函数图象及 x 轴于 Q、 H 两点， 试问： 是否存在这样的
11、点 P， 使 PH2QH？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2020 年山东省德州市德城区中考数学二练试卷年山东省德州市德城区中考数学二练试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 48 分）分） 1 （3 分）如果 a 与 1 互为相反数，则|a+2|等于（ ） A2 B2 C1 D1 【分析】 根据相反数的性质， 互为相反数的两个数和为 0， 采用逐一检验法代入求解即可 如果 a 与 1 互为相反数，则 a1，则|a+2|等于|1+2|1 【解答】解：如果 a 与 1 互为相反数，则 a1，则|a+2|等
12、于|1+2|1 故选：C 2 （3 分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】 根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形， 以及轴对称图形的定义即可判断出 【解答】解：A、该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：C 3 （3 分）下列式子中，计算正确的是（ ） Am2+m2m4 B （m+2）2m2+4 C （2m
13、n2）36m3n6 D （m4）2m8 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式2m2，不符合题意； B、原式m2+4m+4，不符合题意； C、原式8m3n6，不符合题意； D、原式m8，符合题意 故选：D 4 （3 分） “山东半岛蓝色经济区”规划主体区包括的海域面积共 159500 平方公里159500 用科学记数法表示为（ ） A1595102 B159.5103 C15.95104 D1.595105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的
14、位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：159 5001.595105 故选：D 5 （3 分）下列说法正确的是（ ） A “任意画一个三角形，其内角和为 360”是随机事件 B检测某城市的空气质量，采用抽样调查法 C已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投 10 次可投中 6 次 D抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取 【分析】 利用三角形内角和与随机事件的定义对 A 进行判断； 利用抽样调查的定义对 B、 D 进行判断；根据概率的意义对 C 进行判断 【解答】解：A、 “任意画一个三角形，其内角和为 360”是不可能事件，所
15、以 A 选项 的说法错误； B、检测某城市的空气质量，采用抽样调查法，所以 B 选项的说法正确； C、已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投 10 次可能投中 6 次，所以 C 选项 的说法错误； D、抽样调查选取样本时，所选样本要有代表性，所以 D 选项的说法错误 故选：B 6 （3 分）在平面直角坐标系中，若点 M（m，n）与点 Q（2，3）关于原点对称，则点 P （mn，n）所在象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 m，n 的值，进而得出 mn 的值，即可判 断所在象限 【解答】解：点 M（m，n）与点 Q（2，
16、3）关于原点对称， m2，n3， mn2（3）5， 则点 P（mn，n）为（5，3） ，故 P 点所在象限是：第四象限 故选：D 7 （3 分）圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥侧面积为（ ） A3 B6 C3 D6 【分析】根据扇形面积公式求出圆锥侧面积 【解答】解：圆锥的底面周长212，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为 2， 则圆锥侧面积233， 故选：C 8 （3 分）若一个三角形的两边长分别是 2 和 6，第三边的边长是方程 x210 x+210 的一 个根，则这个三角形的周长为（ ） A7 B3 或 7 C15 D11 或 15 【分析】根据一元二次方程的解法可求出第三边，然
17、后根据三角形三边关系即可求出答 案 【解答】解：x210 x+210， （x3） （x7）0， x3 或 x7， 当 x3 时， 2+36， 2、3、6 不能组成三角形， 当 x7 时， 2+67， 2、6、7 能够组成三角形， 这个三角形的周长为 2+6+715， 故选：C 9 （3 分）已知 a，b 为两个连续整数，且 a1b，则这两个整数是（ ） A1 和 2 B2 和 3 C3 和 4 D4 和 5 【分析】先利用夹逼法求得的范围，然后再利用不等式的性质求解即可 【解答】解：161925， 45 41151，即 314 故选：C 10 （3 分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增
18、加了人力进行大型树木移植，现 在平均每天比原计划多植树 30 棵， 现在植树 400 棵所需时间与原计划植树 300 棵所需时 间相同，设现在平均每天植树 x 棵，则列出的方程为（ ） A B C D 【分析】设现在平均每天植树 x 棵，则原计划每天植树（x30）棵，根据：现在植树 400 棵所需时间原计划植树 300 棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可 【解答】解：设现在平均每天植树 x 棵，则原计划每天植树（x30）棵， 根据题意，可列方程：， 故选：A 11 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象如图，则下列结论中正确的是 （ ） Aabc0 Bb24ac0
19、C9a+3b+c0 Dc+8a0 【分析】根据二次函数的图象求出 a0，c0，根据抛物线的对称轴求出 b2a0， 即可得出 abc0；根据图象与 x 轴有两个交点，推出 b24ac0；对称轴是直线 x1， 与 x 轴一个交点是（1，0） ，求出与 x 轴另一个交点的坐标是（3，0） ，把 x3 代入二 次函数得出 y9a+3b+c0； 把 x4 代入得出 y16a8a+c8a+c， 根据图象得出 8a+c 0 【解答】解：A二次函数的图象开口向下，图象与 y 轴交于 y 轴的正半轴上， a0，c0， 抛物线的对称轴是直线 x1， 1， b2a0， abc0，故本选项错误； B图象与 x 轴有两
20、个交点， b24ac0，故本选项错误； C对称轴是直线 x1，与 x 轴一个交点是（1，0） ， 与 x 轴另一个交点的坐标是（3，0） ， 把 x3 代入二次函数 yax2+bx+c（a0）得：y9a+3b+c0，故本选项错误； D当 x3 时，y0， b2a， yax22ax+c， 把 x4 代入得：y16a8a+c8a+c0， 故选：D 12 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB3，点 E 在边 CD 上，且 CD3DE将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG，CF下列结论：点 G 是 BC 中点；FGFC；SFGC其中正确的是（ ） A B
21、C D 【分析】先求出 DE、CE 的长，再根据翻折的性质可得 ADAF，EFDE，AFE D90，再利用“HL”证明 RtABG 和 RtAFG 全等，根据全等三角形对应边相等 可得 BGFG，再设 BGFGx，然后表示出 EG、CG，在 RtCEG 中，利用勾股定理 列出方程求出 x，从而可以判断正确；根据AGB 的正切值判断AGB60， 从而求出CGF60， CGF 不是等边三角形， FGFC， 判断错误； 先求出CGE 的面积，再求出 EF：FG，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可 得到FGC 的面积，判断正确 【解答】解：正方形 ABCD 中，AB3，CD3DE，
22、DE31，CE312， ADE 沿 AE 对折至AFE， ADAF，EFDE1，AFED90， ABAFAD， 在 RtABG 和 RtAFG 中， RtABGRtAFG（HL） ， BGFG， 设 BGFGx，则 EGEF+FG1+x，CG3x， 在 RtCEG 中，EG2CG2+CE2， 即（1+x）2（3x）2+22， 解得，x， CG3， BGCG， 即点 G 是 BC 中点，故正确； tanAGB2， AGB60， CGF18060260， 又BGCGFG， CGF 不是等边三角形， FGFC，故错误； CGE 的面积CGCE2， EF：FG1：2：3， SFGC，故正确； 综上所述
23、，正确的结论有 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 24 分）分） 13 （3 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x3 【分析】根据分母不等于 0 列式进行计算即可求解 【解答】解：根据题意得，x30， 解得 x3 故答案为：x3 14 （3 分）一个正 n 边形的内角和等于 900，则 n 7 【分析】根据 n 边形的内角和为（n2）180列出关于 n 的方程，解方程即可求出边数 n 的值 【解答】解：这个多边形的边数是 n， 则： （n2）180900， 解得 n7， 故答案为：7 15 （3 分）如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋
24、高楼顶部 B 的仰角为 30，看 这栋高楼底部 C 的俯角为 60，热气球 A 与高楼的水平距离为 120m，这栋高楼 BC 的 高度为 160 米 【分析】过 A 作 ADBC，垂足为 D，在直角ABD 与直角ACD 中，根据三角函数的 定义求得 BD 和 CD，再根据 BCBD+CD 即可求解 【解答】解：过 A 作 ADBC，垂足为 D 在 RtABD 中，BAD30，AD120m， BDADtan3012040m， 在 RtACD 中，CAD60，AD120m， CDADtan60120120m， BCBD+CD40+120160m 故答案为：160 16 （3 分）某居民小区一处圆柱
25、形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆 形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面若这个输水管道有水部分 的水面宽 AB16cm，水面最深地方的高度为 4cm，则这个圆形截面的半径为 10 cm 【分析】首先设此圆形截面所在圆的圆心为 O，连接 OA，过点 O 作 ODAB 于点 D， 交弧于点 C，然后设这个圆形截面的半径为 rcm，在 RtAOD 中，由勾股定理：OA2 OD2+AD2，可得 r2（r4）2+82，解此方程即可求得答案 【解答】解：设此圆形截面所在圆的圆心为 O，连接 OA，过点 O 作 ODAB 于点 D， 交弧于点 C， 则 CD4cm，ADAB1
26、68（cm） ， 设这个圆形截面的半径为 rcm， 则 ODOCCDr4（cm） 在 RtAOD 中，OA2OD2+AD2， r2（r4）2+82， 解得：r10， 故这个圆形截面的半径为 10cm 故答案为：10 17 （3 分）对于三个数 a，b，c，用 Ma，b，c表示这三个数的中位数，用 maxa，b，c 表示这三个数中最大的数例如：M2，1，01；max2，1，00，max 2，1，a根据以上材料，解决下列问题： 若 max3，53x，2x6M1，5，3，则 x 的取值范围为 x 【分析】由 max3，53x，2x6M1，5，3得，解之可得 【解答】解：max3，53x，2x6M1，
27、5，33， ， x， 故答案为x 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OAA1的直角边 OA 在 x 轴上，点 A1在第一象限， 且OA1， 以点A1为直角顶点， OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2， 再以点 A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形 OA2A3依此规律，则点 A2020 的坐标是 （21009，0） 【分析】本题点 A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点 A 所在象限或坐标轴、点 A 到原 点的距离与旋转次数的对应关系 【解答】解：由已知，点 A 每次旋转转动 45，则转动一周需转动 8 次，每次转动点 A 到原点的距离变为转动前的倍 202
28、02528+4， 点 A2020的在 x 轴负半轴上，OA2020（）202021010， 故答案为： （21009，0） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 78 分）分） 19 （10 分） （1）计算： （2）化简求值：，其中 m1 【分析】 （1）利用立方根的性质、零次幂的性质、绝对值的性质进行计算，再算加减即 可； （2）首先计算括号里面的分式的加减，然后再计算括号外的分式的乘法，化简后，再代 入求值即可 【解答】解： （1）原式21（1） 21+1 ； （2）原式（） 2（m+3） 2m6； 当 m1 时，原式8 20 （10 分）垃圾的分类处理与回收利
29、用，可以减少污染，节省资源，生活垃圾一般按如图 所示 A、B、C、D 四种分类方法回收处理，某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调 查、统计了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类处理情况，并将调查统计结果绘制 成如下两幅不完整的统计图表： 根据图表解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）在抽样数据中，产生的有害垃圾共 3 吨； （3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占，每回收 1 吨塑料类垃圾可获得 0.7 吨二 级原料假设该城市每月产生的生活垃圾为 5000 吨，且全部分类处理，那么每月回收的 塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？ 【分析】 （1）根据 D 类垃圾量和所占的百分比
30、即可求得垃圾总数，然后乘以其所占的百 分比即可求得每个小组的频数从而补全统计图； （2）求得 C 组所占的百分比，即可求得 C 组的垃圾总量； （3）首先求得可回收垃圾量，然后求得塑料颗粒料即可 【解答】解： （1）观察统计图知：D 类垃圾有 5 吨，占 10%， 垃圾总量为 510%50（吨） ， 故 B 类垃圾共有 5030%15（吨） ， 如图所示： （2）C 组所占的百分比为：110%30%54%6%， 有害垃圾为：506%3（吨） ， 故答案为：3； （3）500054%0.7378（吨） ， 答：每月回收的塑料类垃圾可以获得 378 吨二级原料 21（12 分） 为实现区域教育均衡
31、发展， 我市计划对某县 A、 B 两类薄弱学校全部进行改造 根 据预算，共需资金 1575 万元改造一所 A 类学校和两所 B 类学校共需资金 230 万元；改 造两所 A 类学校和一所 B 类学校共需资金 205 万元 （1）改造一所 A 类学校和一所 B 类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）若该县的 A 类学校不超过 5 所，则 B 类学校至少有多少所？ （3）我市计划今年对该县 A、B 两类学校共 6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方 财政共同承担若今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元；地方财政投入的改造 资金不少于 70 万元， 其中地方财政投入到 A、 B 两类学校
32、的改造资金分别为每所 10 万元 和 15 万元请你通过计算求出有几种改造方案？ 【分析】 （1）可根据“改造一所 A 类学校和两所 B 类学校共需资金 230 万元；改造两所 A 类学校和一所 B 类学校共需资金 205 万元” ，列出方程组求出答案； （2）根据“共需资金 1575 万元” “A 类学校不超过 5 所” ，进行判断即可； （3）要根据“若今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元；地方财政投入的改造资 金不少于 70 万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案； 【解答】解： （1）设改造一所 A 类学校和一所 B 类学校所需的改造资金分别为 a 万元和 b 万元 依题
33、意得：， 解得：， 答：改造一所 A 类学校和一所 B 类学校所需的改造资金分别为 60 万元和 85 万元； （2）设该县有 A、B 两类学校分别为 m 所和 n 所 则 60m+85n1575， ， A 类学校不超过 5 所， 0n+5， 15n18， n 为整数， n15，16，17 当 n15，m5 符合题意， 即：B 类学校至少有 15 所； （3）设今年改造 A 类学校 x 所，则改造 B 类学校为（6x）所， 依题意得： 解得：1x4 x 取整数 x1，2，3，4 答：共有 4 种方案 22 （10 分）如图，一次函数 yx+4 的图象与反比例函数 y（k 为常数且 k0）的图象
34、 交于 A（1，a） ，B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求 a，k 的值及点 B 的坐标； （2）若点 P 在 x 轴上，且 SACPSBOC，直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1）利用点 A 在 yx+4 上求 a，进而代入反比例函数 y求 k，然后联立方 程求出交点， （2）设出点 P 坐标表示三角形面积，求出 P 点坐标 【解答】解： （1）把点 A（1，a）代入 yx+4，得 a3， A（1，3） 把 A（1，3）代入反比例函数 y k3； 反比例函数的表达式为 y 联立两个函数的表达式得 解得或 点 B 的坐标为 B（3，1） ； （2）当 yx+40 时，得 x4 点 C（
35、4，0） 设点 P 的坐标为（x，0） SACPSBOC， 3|x+4|41 解得 x16，x22 点 P（6，0）或（2，0） 23 （10 分）如图，在ABC 中，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 M，弦 MNBC 交 AB 于 点 E，且 ME1，AM2，AE （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求的长 【分析】 （1）欲证明 BC 是O 的切线，只需证明 OBBC 即可； （2）首先，在 RtAEM 中，根据特殊角的三角函数值求得A30； 其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得BON2A60，由三角形 函数的定义求得 ON； 最后，由弧长公式 l计算的长 【解答】 （
36、1）证明：如图， ME1，AM2，AE， ME2+AE2AM24， AME 是直角三角形，且AEM90 又MNBC， ABCAEM90，即 OBBC 又OB 是O 的半径， BC 是O 的切线； （2）解：如图，连接 ON 在 RtAEM 中，sinA， A30 ABMN， ，ENEM1， BON2A60 在 RtOEN 中，sinEON， ON， 的长度是： 24 （12 分） （1）如图 1，正方形 ABCD 与正方形 AEFG 有公共的顶点 A，连接 DG，BE， AC，CF 求证：DGBE；求的值； （2）将图 1 中的正方形 AEFG 旋转到图 2 的位置，当 D，G，E 在一条直线
37、上，若 DG GE3，求正方形 ABCD 的边长 【分析】 （1）可通过证明ADGABE，得到 DGBE 可通过证明DAGCAF，得到 CF 和 DG 的比值 （2）可以根据相似和题目当中的特殊角度，利用勾股定理或者三角函数求相关的线段长 度 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形 ADAB，AGAE，DABGAE90 DAGBAE，且 ADAB，AGAE ADGABE（SAS） DGBE 如图 1 所示，连接 AF， 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形 CADFAG45，CDAEGA90，CDAD，AGGF ACAD，AFAG，DAGFAC ，且DA
38、GFAC DAGCAF （2）如图 2 所示， 连接 BE，由可知ADGABE， DGBE3， 由得，CFADGA18045135， CF6，CFG90， 而GFE90，C、F、E 共线， EFAE3， 在 RtCEA 中， AC3， AD3， 正方形的边长为 3 25 （14 分）如图，二次函数的图象经过点 A（4，0） ，B（4，4） ，且 与 y 轴交于点 C （1）试求此二次函数的解析式； （2）试证明：BAOCAO（其中 O 是原点） ； （3）若 P 是线段 AB 上的一个动点（不与 A、B 重合） ，过 P 作 y 轴的平行线，分别交此 二次函数图象及 x 轴于 Q、 H 两点，
39、 试问： 是否存在这样的点 P， 使 PH2QH？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将 A、B 两点的坐标代 入抛物线中即可求出二次函数的解析式 （2）本题可先根据抛物线的解析式求出 C 点的坐标，然后根据这三点的坐标，求出 CAO 和BAO 的正切值，以此来证明这两角相等 （3）可先根据直线 AB 的解析式设出 P 点的坐标，由于 PHx 轴，因此 P、Q 两点的横 坐标相等，可根据抛物线的解析式求出 Q 点的纵坐标，根据 PH2QH，即 P 的纵坐标 的绝对值是 Q 的纵坐标绝对值的 2 倍，由此可求出 P、
40、Q 的横坐标，进而可求出 P 点的 坐标 【解答】解： （1）点 A（4，0）与 B（4，4）在二次函数图象上， 解得 二次函数解析式为 yx2+x+2 （2）过 B 作 BDx 轴于点 D，由（1）得 C（0，2） ， 则在 RtAOC 中，tanCAO， 又在 RtABD 中，tanBAD； tanCAOtanBAD， CAOBAO （3）由点 A（4，0）与 B（4，4） ，可得直线 AB 的解析式为 yx2， 设 P（x，x2） ， （4x4） ； 则 Q（x，x2+x+2） ， PH|x2|2x，QH|x2+x+2| 2x2|x2+x+2| 当 2xx2+x+4， 解得 x11，x24（舍去） ， P（1，） 当 2xx2x4， 解得 x13，x24（舍去） ， P（3，） 综上所述，存在满足条件的点，它们是 P1（1，）与 P2（3，）
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