湖南省五市十校教研教改共同体2021届高三10月大联考数学试题（含答案）

1、 湖南省五市十校教研教改共同体湖南省五市十校教研教改共同体 20212021 届高三届高三 1010 月大联考数学月大联考数学试卷试卷 本试卷共 4 页，22 题全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填入相应位置内 2客观题请用 2B 铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的签字笔书写在答题卡上 3考试结束时，只交答题卡，试卷请妥善保管 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

2、目要 求的求的 1已知集合3, 02Ax xBxx ，则 R AB（ ） A 23xx B3x x C2x x D0 x x 2已知 12 ai i i （i为虚数单位，aR） ，则a （ ） A2 B1 C1 D2 3已知 1 tan 3 ，则 2cos sincos 的值为（ ） A3 B 3 4 C 4 3 D 3 4 4已知 3 1 2 1 2 1 3 ,log 3, 2 abc ，则（ ） Aabc Bcab Ccba Dacb 5已知 n a是公差为 1 的等差数列，且 4 a是 1 a与 10 a的等比中项，则 1 a （ ） A0 B1 C3 D2 6曲线 2 yxx在点(1,

3、0)处的切线方程是（ ） A210 xy B210 xy C10 xy D10 xy 7已知a，b为单位向量，且(2)abb，则|2 |ab（ ） A1 B3 C2 D5 8已知曲线 12 :sin 2,:cos 3 CyxCyx ，则下面结论正确的是（ ） A先将曲线 2 C向左平移 3 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标保持不 变，便得到曲线 1 C B先将曲线 2 C向右平移 3 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标保持不 变，便得到曲线 1 C C先将曲线 2 C向左平移 5 6 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸

4、长为原来的 2 倍，纵坐标保持 不变，便得到曲线 1 C D先将曲线 2 C向右平移 5 6 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标保持 不变，便得到曲线 1 C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对得选对得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9下列各式的值计算正确的是（ ） Asin30 cos00 B 227 sincos1 66 C3 tan55tan2

5、5tan55tan251 D 1cos601 22 10若函数( )f x对任意xR都有( )()0f xfx成立，mR，则下列的点一定在函数( )yf x图 象上的是（ ） A(0,0) B(,( )mf m C( ,()mfm D( ,()m fm 11关于递增等比数列 n a，下列说法不正确的是（ ） A 1 0a B1q C 1 1 n n a a D当 1 0a 时，1q 12 已知函数 |ln|,0 ( ) 1,0 x x f x xx ， 若方程( ( )0ff xa有6个不等实根， 则实数a的可能取值是 （ ） A 1 2 B0 C1 D 1 3 三、填空题：本题共三、填空题：

6、本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知向量(1,2),(4,)abm，若/ /ab，则a b_ 14已知函数( )f x的图象关于 y 对称，当0 x 时，( )f x单调递增，则不等式(2 )(1)fxfx的解集 为_ 15函数( ) x x f x e 的极小值点为_ 16记等差数列 n a的前 n 项和为 n S，已知点, ,A B C在直线 l 上，O 为 l 外一点，若 2 2OCa OA 52 5aaOB，且 9 36S ，则 n S _ 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步

7、骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在 6 A ， 3 4 ABD S， 1 cos 2 ABD 三个条件中任选一个，补充在下列横线 中在平面四边形ABCD中，已知1,3ABBCCDAD，_，则求sinBDC的值 注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分 18 （12 分）已知数列 n a的前 n 项和为 n S，且 (31) 2 n nn S （1）求数列 n a的通项公式； （2）记( 1)n nn ba ，求数列 n b的前 n 项和 n T 19（12 分） 如图， 在四棱锥SABCD中,ABCSAB，90SABABC，2SAABAD2， 5SDCD，t

8、an2BCD （1）求证：平面SAB 平面SBC； （2）求证：/ /AD平面SBC； （3）求二面角ASDC的余弦值 20 （12 分）某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病 毒预防知识竞答竞答分为必答题（共 5 题）和选答题（共 2 题）两部分每位同学答题相互独立，且每 道题答对与否互不影响已知甲同学答对每道必答题的概率为 4 5 ，答对每道选答题的概率为 2 5 （1）求甲恰好答对 4 道必答题的概率； （2）在选答阶段，若选择回答且答对奖励 5 分，答错扣 2 分，选择放弃回答得 0 分已知甲同学对于选答 的两道题，选择回答和放弃回答的概率均

9、为 1 2 ，试求甲同学在选答题阶段，得分 X 的分布列 21 （12 分）已知椭圆 E 的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，且经过点 3 1, 2 和(0,1) （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设经过定点(0,2)的直线 l 与 E 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB，求直线 l 的方程 22 （12 分）已知函数( ) xx f xxeem （1）求函数( )f x的极小值； （2）关于 x 的不等式 3 ( )0f xx在 1 ,1 3 x 上存在解，求实数 m 的取值范围 2021 届高三届高三 10 月大联考数学参考答案与评分标准月大联考数学

10、参考答案与评分标准 一一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的 1 【答案】B 【解析】因为 02Bxx ，所以0 RB x x或2x 所以3 R ABx x故选 B 2 【答案】D 【解析】由题得(12 )2aiiii ，所以2a 3 【答案】A 【解析】 2cos22 3 2 sincos1tan 3 4 【答案】D 【解析】因为 3 1 2 12 2 1 331,log 3log 30,01 2 abc ，所以acb，故选 D 5 【答

11、案】C 【解析】 n a为等差数列且公差为 1，且 4 a是 1 a与 10 a的等比中项，所以 2 41 10 aa a，即 2 1 3a 11 9a a ，可得 1 3a ，故选 C 6 【答案】D 【解析】曲线为 2 yxx，所以12yx ；当1x 时，121y ，曲线 2 yxx在点(1,0)处 的切线方程为1 (1)yx ，即10 xy ，故选 D 7 【答案】B 【解析】因为a，b为单位向量，(2)abb，所以(2)0abb，所以 2 21a bb，所以 2 22 |2 |2 |443ababaa bb故选 B 8 【答案】D 【解析】因为 2: cossin 2 Cyxx ，所以

12、先将曲线 2 C向右平移 5 6 个单位长度，得到 sin 3 yx ，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标保持不变可得到曲线 1 C，故 选 D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对得选对得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 【答案】CD 【解析】因为 1 sin30 cos0sin30 2 ，所以 A 错误； 因为 2222 71 sincoscossincos

13、 666622 ， 所以 B 错误； 因为 tan55tan253 tan30 1tan55tan253 ，所以3 tan55tan251tan55tan25 ， 所以3 tan55tan25tan55tan251 ，所以 C 正确； 因为 1cos601 sin30 22 ，所以 D 正确 10 【答案】ABC 【解析】因为任意xR满足( )()0f xfx，所以( )f x是奇函数，又xR，所以令0 x ，则 ( 0)(0)ff ，得(0)0f，所以点(0,0)，且点(,( )mf m与( ,()mfm也一定在( )yf x的 图像上，故选 ABC 11 【答案】ABC 【解析】 由题意，

14、 设数列 n a的公比为 q， 因为 1 1 n n aa q ， 可得 1 11 (1)0 n nn aaa qq ， 当 1 0a 时， 1q ，此时 1 01 n n a a ，当 1 0a 时， 1 01,1 n n a q a ，故不正确的是 ABC 12 【答案】AD 【解析】直接验算法：当 1 2 a 时， 1 ( ( ) 2 ff x，所以 11 ( ),( ),( ) 2 f xf xe f x e ，所以方程 ( ( )0ff xa有 6 个不等实根；当0a 时，( ( )0ff x，所以( )1,( )1f xf x ，所以 1 2,xxxe e ，所以方程( ( )0f

15、f xa有 3 个不等实根；当1a 时，( ( )1ff x，所以 1 ( )0,( ),( )f xf xe f x e ，所以 1 1,1, e e xxxe x e ，且 1 ( )f x e 方程有 3 根，所以方程 ( ( )0ff xa有 7 个不等实根；当 1 3 a 时， 1 ( ( ) 3 ff x，所以 2 ( ) 3 f x ， 3 ( )f xe， 3 1 ( )f x e ，所以方程( ( )0ff xa有 6 个不等实根；故答案为 AD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 【答案】20 【解析】因为

16、/ /ab，所以12 4m ，解得8,(4,8)mb，所以20a b 14 【答案】 1 (, 1), 3 【解析】结合题意，( )f x为偶函数，当0 x 时，( )f x单调递增，要满足(2 )(1)fxfx，则要求 212xxx ，解得 1 (, 1), 3 x 15 【答案】1x 【解析】由( ) x x f x e 可得 1 ( ),1 x x fxx e 时，( )0fx ，当(,1)x 时，( )0fx ，( )f x单 调递减，当(1,)x时，( )0, ( )fxf x 单调递增，所以函数( ) x x f x e 的极小值点为1x 16 【答案】 (1) 2 n n 【解析

17、】为, ,A B C共线， 15 31aa，所以 3 24a ，所以 3 2a ，又 95 936Sa，所以 5 4a ， 53 22aad，所以1,1 n dan，所以 (01)(1) 22 n nnn n S 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写解答应写出出文字说眀、证明过程或演算步骤文字说眀、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 【答案】 3 2 【解析】 （1）选可知，在ABD中，3,1, 6 ADABA ， 2 3 132 3cos42 31 62 BD ， 5 分 得1BD ，所以1BDBCCD， 7 分 3 BDC ，所以 3 sin

18、2 BDC 10 分 若选可知，在ABD中， 3 3,1, 4 ABD ADABS，所以 6 A ， 5 分 2 3 132 3cos42 31 62 BD ，得1BD ， 7 分 所以1, 3 BDBCCDBDC ，所以 3 sin 2 BDC 10 分 如选，在ABD中， 1 3,1,cos 2 ADABABD ， 5 分 由正弦定理可得， 6 BADADB ， 7 分 所以 3 sin 2 BDC 10 分 18 （12 分） 【解析】 （1）因为 2 3 22 n n Sn， 所以当2n时， 2 1 31 (1) 22 n n Sn ， 2 分 两式相减并化简得32 n an 4 分

19、当1n 时， 11 1aS1 符合上式，故32 n an 5 分 （2） 【解法一】由（1）知32 n an，所以( 1) (32) n n bn ， 当 n 为偶数时， 3 147103(1)232 2 n Tnnn ； 8 分 当 n 为奇数时， 313 147103(1)2321(1) 22 n n Tnnn ； 11 分 所以 13 , 2 3 , 2 n n n T n n 为奇数 为偶数 12 分 【解法二】( 1)n nn ba ，即( 1) (32) n n bn ， 231 1 1( 1)4( 1)7( 1)3(1)2( 1) (32) nn n Tnn ， 2341 ( 1

20、)1( 1)4( 1)7( 1) 3(1)2( 1)(32) nn n Tnn 23 21 1( 1)3( 1)3( 1)3( 1) (32) nn n Tn 11( 1) 32( 1) (32) 1( 1) n n n ， 131 ( 1) 424 n n n T （酌情给分） 19 （12 分） 【解析】证明： （1）因为90SAB ，所以SAAB，又22,5SAADSD，所以SAAD， ABADA，所以SA面ABCD， 2 分 所以SABC，又90ABC ， 即ABBC，所以BC 平面SAB， 所以平面SAB 平面SBC 4 分 （2）取BC中点 E，连接DE，因为tan2BCD， 因为

21、22ABAD，所以1BE ，又5CD ， 所以2DE ，且DEBC，所以ABED为平行四边形， 6 分 所以/ /ADBC， 又AD平面,SBC BC 平面SBC，所以/ /AD平面SBC 8 分 （3）由题意可知二面角ASDCD为钝角，设为 由（1） ， （2）可知，,SA AD AB两两垂直， 所以分别以,AD AB AS为, ,x y z轴建立空间坐标系， 所以设平面SAD的法向量为(0,1,0)m ， 平面SCD 的法向量( , , )nx y z， 又(0,0,2),(1,0,0),(2,2,0),( 1,0,2),(1,2,0)SDCDSDC ， 所以 20, 20, DS nxz

22、 DC nxy 所以(2, 1,1)n ， 10 分 所以 16 cos 6|6 m n m n 所以二面角ASDC的余弦值为 6 6 12 分 20 （12 分） 【解析】 （1）甲恰好答对 4 道必答题的概率为 4 4 5 41256 55625 PC 5 分 （2）依题意，每道题选择回答并答对的概率为 121 255 ，选择回答且答错的概率为 133 2510 ，选择放 弃回答的概率为 1 2 7 分 甲得分的可能性为4分，2分，0 分，3 分，5 分和 10 分 8 分 所以 9 (4) 100 P X ， 1 2 1133 (2) 22510 P XC ， 111 (0) 224 P

23、 X ， 1 2 11233 (3) 225525 P XC ， 1 2 1121 (5) 2255 P XC ， 2 1121 (10) 22525 P X 10 分 所以 X 的分布列为 X 4 2 0 3 5 10 P 9 100 3 10 1 4 3 25 1 5 1 25 12 分 21 （12 分） 【解析】 （1）题意得 22 1 13 1 4 b ab ， 2 分 解得2,1ab， 4 分 所以椭圆 E 的标准方程为 2 2 1 4 x y 5 分 （2）设,A B的坐标为 1122 ,x yx y，依题意可设直线方程为2ykx， 联立方程组 2 2 1 4 2 x y ykx

24、 消去 y，得 22 1416120kxkx 7 分 222 3 (16 )48 140, 4 kkk ， 1212 22 1612 , 1414 k xxx x kk ， 9 分 1212 OA OBx xy y 1212 22x xkxkx 2 1212 124kx xk xx 2 22 1216 124 1414 k kk kk 2 2 1220 40 14 k k ， 11 分 22 2 2 1220416 0,4 14 kk k k ，解得2k ， 所以所求直线 l 的方程为22yx或22yx ，即220 xy或220 xy 12 分 22 （12 分） 【解析】 （1）因为( )(

25、1) xxx fxexexe， 2 分 所以(0)0 f ， 当0 x 时，( )0fx，当0 x时，( )0fx， 故( )f x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增； 4 分 所以函数( )f x的极小值为(0)1fm 5 分 （2）由 3 ( )0f xx得 3xx mxexe，令 3 ( ) xx g xxexe 由 3 ( )0f xx在 1 ,1 3 有解知， 3xx mxexe在 1 ,1 3 有解， 则 m 小于或等于函数( )g x在 1 ,1 3 上的最大值 7 分 2 ( )33 xx g xxxexxe ， 令( )3 x h xxe，则( )3 x h xe ，( )h x在(,ln3递增，在ln3,)递减， 即( )h x在 1 ,1 3 递增 1 3 1 10, (1)30 3 hehe ， 10 分 0 1 ,1 3 x ， 使得 0 0h x， 即 0 0gx ， 且 0 1 3 xx时， 0 0, ( )g xg x 递减， 1 ( )1 3 g xg ； 当 0 1xx时， 0 0, ( )gxg x 递增 所以，当 1 ,1 3 x 时， max 1 ( )max, (1)(1)1 3 g xggg 综上所述，实数 m 的取值范围是(,1 12 分