1、1第 16讲 直角三角形命题点 直角三角形1(2017河北 T112分)如图是边长为 10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(A)A BC D2(2012河北 T26(1)3分)如图，在ABC 中，AB13，BC14，cosABC .513探究：如图，AHBC 于点 H，则 AH12，AC15，ABC 的面积 SABC 84重难点 直角三角形的相关计算如图，点 D在 RtABC 的斜边 AB上，且 AC6.(1)若 AB比 BC大 2.求 AB的长；若 CDAB 于点 D，求 CD的长；(2)若 D是 AB的中点，A36，
2、则DCB54；(3)若 AD7，DB11，CDB2B，求 CD的长【思路点拨】(1)由于 AB比 BC大 2，AC6，可采用勾股定理求 AB；利用面积法可求 CD；(2)可利用直角三角形两锐角互余及等边对等角，求DCB；(3)取斜边的中点 E，可得 CDCE.【自主解答】解：(1)设 ABx，BCx2，AB 2BC 2AC 2，x 2(x2) 26 2，解得 x10，即 AB10. ACBC CDAB，CD .12 12 ACBCAB 6810 245(3)取 AB的中点 E，连接 CE.AD7，DB11，ABADDB71118.CEBE AB 189.BBCE.12 12由三角形的外角性质，
3、得CEDBBCE2B.CDB2B，CDBCED，CDCE9.【变式训练 1】(2018黄冈)如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为 AB边上的高，CE 为 AB边上的中线，2AD2，CE5，则 CD(C)A2 B3 C4 D2 3【变式训练 2】(2018长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 5里，12 里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1 里500 米，则该沙田的面积为(A)A7.5 平方千米 B15
4、平方千米C75 平方千米 D750 平方千米【变式训练 3】如图，已知AOB60，点 P在边 OA上，OP10，点 M，N 在边 OB上，PMPN.若 MN2，则 OM的长为 4方 法 指 导1在直角三角形中，勾股定理体现直角三角形三边之间的数量关系；利用勾股定理可以已知两边求第三边；已知一边及其他两边的数量关系求两边；已知三边的数量关系，求三边；在利用勾股定理的逆定理时，注意的是两条较小边的平方和等于最大边的平方时，此三角形是直角三角形2求直角三角形斜边上高可考虑利用面积法3关于直角三角形有两个重要定理：(1)30角的直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，其性质体现直角三角形与等边
5、三角形之间的联系，即等边三角形是由两个相同的 30的直角三角形拼接而成的；(2)直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，还可以得到有公共斜边的多个直角三角形，斜边上中点到直角三角形各顶点的距离相等直角三角形斜边上中线把直角三角形分成两个等腰三角形.1(2018滨州)在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为(A)A5 B6 C7 D82(2018贺州)如图，在ABC 中，BAC90，ADBC，垂足为 D，E 是边 BC的中点，ADED3，则 BC的长为(D)A3 B3 C6 D62 3 23(2018常德)如图，已知 BD是ABC 的角平分线，ED 是 BC的垂直平分线，BAC90，AD3，则
6、CE的长为(D)A6 B5 C4 D3 334(2018淄博)如图，在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB于点 M，过点 M作 MNBC 交 AC于点 N，且 MN平分AMC.若 AN1，则 BC的长为(B)A4 B6 C4 D835(2018泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b.若 ab8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为(D)A9 B6 C4 D36如图，有四个三角形，各有一边长为 6，一边长为 8，若第三边分
7、别为 6，8，10，12，则面积最大的三角形是(C)7(2018泰州)如图，在四边形 ABCD中，AC 平分BAD，ACDABC90，E，F 分别为 AC，CD 的中点，D，则BEF 的度数为 2703(用含 的式子表示)8(2018保定模拟)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪一灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图 1或图 2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图 1所示摆放，其中DAB90，求证：a 2b 2c 2.证明：连接 DB，过点 D作 BC边上的高 DF，则 DFECba.
8、S 四边形 ADCBS ACD S ABC b2 ab，12 12又S 四边形 ADCBS ADB S DCB c2 a(ba)，12 12 b2 ab c2 a(ba)12 12 12 12a 2b 2c 2.请参照上述证法，利用图 2完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图 2所示摆放，其中DAB90.求证：a 2b 2c 2.4证明：连接 BD，过点 B作 DE边上的高 BF，则 BFba.S 五边形 ACBEDS ACB S ABE S ADE ab b2 ab，12 12 12又S 五边形 ACBEDS ACB S ABD S BDE ab c2 a(ba)，12 12 12 ab
9、b2 ab ab c2 a(ba)12 12 12 12 12 12a 2b 2c 2.9(2018扬州)如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于点 D，CE 平分ACD 交 AB于点 E，则下列结论一定成立的是(C)ABCEC BECBECBCBE DAEEC10(2018石家庄模拟)如图，已知 AB10，点 P是线段 AB上的动点，以 AP为边作正六边形 APCDEF，以 PB为底作等腰BPN，连接 PD，DN，则PDN 的面积的最大值是(B)A6 B. C7 D.32534 3 2532提示：连接 AD，作 NMPB 于点 M，六边形 APCDEF是正六边形，EFAD，DPAB
10、，DPED，正六边形的每一个内角为 120，ADE60，ADP30，PD PA，DPAB，NMPB，PDMN，PM 就是3PDN 的 PD边的高，设 PAx.则 PB10x，在等腰BPN 中，MNPB，PM PB (10x)，S 12 12PDN PDPM x (10x) (x5) 2 ， PDN 的面积的最大值为 .12 12 3 12 34 2534 253411(2018黄冈)如图，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm，在杯内壁离杯底 5 cm的点 B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3 cm与蜂蜜相对的点 A处，则蚂蚁从外壁 A处到内壁 B处的最短距离为
11、 20cm(杯壁厚度不计)512(2018天津)如图，在边长为 4的等边ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，EFAC 于点 F，G 为 EF的中点，连接 DG，则 DG的长为 192提示：连接 DE，在边长为 4的等边ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，DE 是ABC 的中位线，DE2，且 DEAC，BDBEEC2.EFAC，C60，FEC30，DEFEFC90.FC EC1，故 EF .G 为 EF的中点， EG .DG .12 22 12 3 32 DE2 EG2 19213(2018冀卓模拟)已知，在等腰ABC 中，ABAC10，BC16.(1)若将ABC 的腰不
12、变，底变为 12，甲同学说，这两个等腰三角形面积相等；乙同学说，腰不变，底变化，这两个三角形面积必不相等请对甲、乙两种说法做出判断，并说明理由；(2)已知ABC 底边上高增加 x，腰长增加(x2)时，底却保持不变，请确定 x的值；解：(1)甲说法对，乙说法不对图 1 图 2理由如下：如图 1，过点 A作 ADBC 于点 D.ABAC10，BC16，BDCD8，AD6.S ABC BCAD48.12如图 2，作等腰ABC，ABAC10，BC12，过点 A作 ADBC于点 D.ABAC10，BC12，BDCD6.AD8.S ABC BCAD48.12两个等腰三角形面积相等(2)依题意，得(10x2
13、) 2(6x) 28 2，解得 x9.14如图 1，已知在锐角ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，M，N 分别是线段 BC，DE 的中点(1)求证：MNDE；(2)连接 DM，ME，猜想A 与DME 之间的关系，并证明猜想；(3)当A 变为钝角时，如图 2，上述(1)(2)中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由6解：(1)证明：连接 DM，ME.CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，M 是 BC的中点，DM BC，ME BC.12 12DMME.又N 为 DE中点，MNDE.(2)在ABC 中，ABCACB180A，DMMEBMMC，B
14、MDCME(1802ABC)(1802ACB)3602(ABCACB)3602(180A)2A，DME1802A.(3)结论(1)成立，结论(2)不成立连接 DM，ME.理由如下：在ABC 中，ABCACB180A，DMMEBMMC，BMECMD2ACB2ABC2(180A)3602A.DME180(3602A)2A180.15(2018湘潭)九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ABC 中，ACB90，ACAB10，BC3，求 AC的长，如果设 ACx，则可列方程为 x23 2(10x) 2
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