1、1第 15讲 等腰三角形命题点 1 等腰三角形的性质与判定1(2018河北 T83分)已知，如图，点 P在线段 AB外，且 PAPB，求证：点 P在线段 AB的垂直平分线上在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(B)A作APB 的平分线 PC交 AB于点 CB过点 P作 PCAB 于点 C且 ACBCC取 AB中点 C，连接 PCD过点 P作 PCAB，垂足为 C2(2017河北 T103分)如图，码头 A在码头 B的正西方向，甲、乙两船分别从 A，B 同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东 35，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是(D)A北偏东 55 B北偏西 55C北
2、偏东 35 D北偏西 353(2013河北 T83分)如图，一艘海轮位于灯塔 P的南偏东 70方向的 M处， 它以每小时 40海里的速度向正北方向航行，2 小时后到达位于灯塔 P的北偏东 40的 N处，则 N处与灯塔 P的距离为(D)A40 海里 B60 海里 C70 海里 D80 海里命题点 2 等边三角形的性质与判定4(2016河北 T162分)如图，AOB120，OP 平分AOB，且 OP2.若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN 有(D)A1 个 B2 个 C3 个 D3 个以上5(2011河北 T173分)如图 1，两个等边ABD，CBD
3、的边长均为 1，将ABD 沿 AC方向向右平移到ABD的位置，得到图 2，则阴影部分的周长为 2.图 1 图 22重难点 1 等腰三角形的性质与判定在ABC 中，ACBC，ACB120，点 D是线段 AB上一动点(D 不与 A，B 重合)(1)如图 1，当点 D为 AB的中点，过点 B作 BFAC 交 CD的延长线于点 F，求证：ACBF；(2)连接 CD.作CDE30，DE 交 AC于点 E.若 DEBC 时，如图 2.CDB120；求证：ADE 为等腰三角形；在点 D的运动过程中，ECD 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出AED 的度数；若不可以，请说明理由【自主解答】 解：(1)证
4、明：CACB，CD 是ABC 的中线，ADBD.BFAC，AFBD.ADCBDF，ACDBFD.ACBF.(2)证明：ACBC，AB.DEBC，EDAB.AEDA，ADE 为等腰三角形ECD 可以是等腰三角形理由如下：.当CDEECD 时，ECDE，ECDCDE30.AEDECDCDE，AED60.当ECDCED 时，CDDE，ECDCEDCDE180，CED 75.AED180CED105.180 CDE2.当CEDCDE 时，ECCD，ACD180CEDCDE1803030120，ACB120，此时，点 D与点 B重合，不合题意综上，ECD 可以是等腰三角形，此时AED 的度数为 60或
5、105.【变式训练 1】(2018湖州)如图，AD，CE 分别是ABC 的中线和角平分线若 ABAC，CAD20，则ACE的度数是(B)A20 B35 C40 D70【变式训练 2】 (2018河北大联考)如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC边上的一点，且 BABD，DADC，则C 的度数为(B)A30 B36 C40 D45方 法 指 导1在同一个三角形中证明边相等或角相等的方法主要是等边对等角或等角对等边，在两个不同三角形中，证明两3条边相等或角相等的方法是利用全等三角形2几何常见图形“8”字图，其基本构成过程是：(1)把三角形的中线加倍，即 CD是ABC 的中线，延长 CD至 F，
6、使 DFCD；(2)D是 AB的中点，BFAC；(3)没有明确腰或底边的等腰三角形或没有明确顶角或底角的等腰三角形问题，解决时常常需要分类讨论, 在ABC 中，AB6，AC4，BC8，BP 平分ABC，CP 平分ACB.(1)如图 1，过点 P作 BC的平行线交 AB于点 E，交 AC于点 F，则AEF 的周长为 10；(2)如图 2，过点 P作 PMAB 交 BC于点 M，PNAC 交 BC于点 N，则PMN 的周长为 8；【变式 1】如图 3，若点 P为ABC 的内心，将BAC 平移使其顶点与 P重合，则图中阴影部分的周长为 8【变式 2】如图 4，若ABC 的内角平分线 BQ与外角平分线
7、 CQ相交于点 Q，过点 Q作 QHBC 交 AB于点 H，交 AC于点 R.若 BH5，HR2，求 CR的长【思路点拨】 (1)由角平分线及两直线平行，内错角相等，可得到BEP，CFP 均是等腰三角形，从而有EFEBFC，所以AEF 的周长为 ABAC；对于(2)同理可得，PMBM，PNCN，所以PMN 的周长BMMNCNBC8，对于变式 2连接 PB，PC，根据(2)中结论可得阴影部分的周长；对于变式 2可证得BHQ，CRQ是等腰三角形【自主解答】 解：HQBC，HQBQBC.又BQ 平分ABC，HBQCBQ.HQBHBQ.HBHQ.同理可得 CRRQ.CRRQHQHRBHHR523.【变
8、式训练 3】 已知：如图，点 D在ABC 外，BD，CD 分别平分ABC 的外角GBC 和HCB，过点 D作DEBC，分别交 BG，CH 于 E，F 两点，则 EF与 BE，CF 之间存在怎样的关系？写出你的结论，并加以证明解：结论：BECFEF.证明：BD 平分EBC，CD 平分FCB，EBDCBD，FCDBCD.EFBC，EDBCBD，FDCBCD.EBDEDB，FDCFCD.BEDE，CFDF.BECFDEDFEF.BECFEF.方 法 指 导1角平分线平行线可以得出等腰三角形模型如下：如图，OABC，OC 平分AOB，则BOC 为等腰三角形2利用等腰三角形的腰相等，可以实现化曲为直，实
9、现线段求解或周长求解变式点：1内心可以看作三角形三条角平分线的交点2平移可以看作平行线3等腰三角形可以作一条线段绕其中一个端点旋转一个角度，交于另一个端点连接得到的图形44外心可以看作三角形三边垂直平分线的交点重难点 2 等边三角形的性质与判定(2018廊坊安次区模拟)如图，ABC 是等边三角形，点 P是三角形内的任意一点，PDAB，PEBC，PFAC.若ABC 的周长为 12，则 PDPEPF(C)A12 B8C4 D3【思路点拨】延长 DP交 AC于点 M，由等边三角形的性质及两直线平行，同位角相等，易得MDCC60，从而MDC 是等边三角形，MPE 也是等边三角形，有 MDCMMPPDP
10、EPD，又可得四边形 AMPF是平行四边形，所以 PFAM.所以 ACPDPEPF4.【变式训练 4】(2017河池)已知等边ABC 的边长为 12，点 D是 AB上的动点，过点 D作 DEAC 于点 E，过点 E作 EFBC 于点 F，过点 F作 FGAB 于点 G.当点 G与点 D重合时，AD 的长是(C)A3 B4 C 8 D9【变式训练 5】如图，六边形 ABCDEF中，每一个内角都是 120，AB12，BC30，CD8，DE28.则这个六边形的周长为(C)A125B126C116D108这里依据两个角为 60的三角形是等边三角形，利用等边三角形的性质以及平行四边形的性质，化曲为方 法
11、 指 导直，平移线段，将三条线段的和转化成一条线段体现了整体求值的数学思想注：本题的结论与“过等边三角形内一点向三边作垂线段，三条垂线段”之和等于等边三角形的高类似1(2018宿迁)若实数 m，n 满足等式|m2| 0，且 m，n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABCn 4的周长是(B)A12 B10 C8 D62(2018德州改编)如图，OC 为AOB 的平分线，CMOB，OC5，OM4，则点 C到射线 OA的距离为(A)A3 B4 C5 D63(2018黄冈)如图，在ABC 中，DE 是 AC的垂直平分线，且分别交 BC，AC 于点 D和 E，B60，C25，则BAD 为(B)A50
12、 B70 C75 D8054(2018福建)如图，等边ABC 中，ADBC，垂足为 D，点 E在线段 AD上，EBC45，则ACE 等于(A)A15 B30 C45 D605(2018昆明)在AOC 中，OB 交 AC于点 D，量角器的摆放如图所示，则CDO 的度数为(B)A90 B95 C100 D1206如图是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是(B)A BC D7(2017枣庄)如图，在 RtABC 中，C90，以顶点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径
13、画弧，两弧交于点 P，作射线 AP交边 BC于点 D.若12CD4，AB15，则ABD 的面积是(B)A15 B30 C45 D608(2018玉林)如图，AOB60，OAOB，动点 C从点 O出发，沿射线 OB方向移动，以 AC为边在右侧作等边ACD，连接 BD，则 BD所在直线与 OA所在直线的位置关系是(A)A平行 B相交 C垂直 D平行、相交或垂直69(2018南充)如图，在ABC 中，AF 平分BAC，AC 的垂直平分线交 BC于点 E，B70，FAE19，则C2410(2018吉林)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值” ，记作 k.若k ，则该等
14、腰三角形的顶角为 36度1211(2018嘉兴)如图，在ABC 中，ABAC，D 为 AC的中点，DEAB，DFBC，垂足分别为 E，F，且 DEDF.求证：ABC 是等边三角形证明：DEAB，DFBC，AEDCFD90.D 为 AC的中点，ADDC.在 RtADE 和 RtCDF 中，AD DC，DE DF， )RtADERtCDF(HL)AC.BABC.ABAC，ABBCAC.ABC 是等边三角形12(2018绍兴)数学课上，张老师举了下面的例题：例 1 等腰三角形 ABC中，A110，求B 的度数(答案：35)例 2 等腰三角形 ABC中，A40，求B 的度数(答案：40或 70或 10
15、0)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形 ABC中，A80，求B 的度数(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，A 的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 ABC中，设Ax，当B 有三个不同的度数时，请你探索 x的取值范围解：(1)若A 为顶角，则B(180A)250；若A 为底角，B 为顶角，则B18028020；若A 为底角，B 为底角，则B80；故B50或 20或 80；(2)分两种情况：当 90x180 时，A 只能为顶角，B 的度数只有一个；当 0x90 时，若A 为顶角，则B( )；180 x2若A 为底角，B 为顶角，
16、则B(1802x)；若A 为底角，B 为底角，则Bx.当 1802x 且 1802xx 且 x，即 x60 时，B180 x2 180 x2有三个不同的度数综上所述，可知当 0x90 且 x60 时，B 有三个不同的度数13(2017武汉)如图，在 RtABC 中，C90，以ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(D) 7A4 B5 C6 D714如图，在等边ABC 中，AC8，点 O在 AC上，且 AO3，点 P是 AB上一动点，连接 OP，将线段 OP绕点 O逆时针旋转 60得到线段 OD.要使点 D恰好落在 BC上
17、，则 AP的长是 515(2018河北模拟)如图 1，在等边ABC 和等边ADP 中，AB2，点 P在ABC 的高 CE上(点 P与点 C不重合)，点 D在点 P的左侧，连接 BD，ED.(1)求证：BDCP；(2)当点 P与点 E重合时，延长 CE交 BD于点 F，请你在图 2中作出图形，并求出 BF的长；(3)直接写出线段 DE长度的最小值解：(1)证明：ABC 是等边三角形，ABAC，BAC60.ADP 是等边三角形，ADAP，DAP60.DABBAPBAPCAP.DABCAP.DABPAC(SAS)BDCP.(2)如图 2，ADP 是等边三角形，当点 P与点 E重合时，有 AEDE，AED60.CEAB，AEBEDE，BCE ACB30.12EBD30.DBC90.在 RtBCF 中，BC2，tanBCE ，BFBCBF2tan30 .2338(3)DE长度的最小值是 ，理由：如图 3，由(1)知：DABPAC，取 AC的中点 F，连接 PF，则 PFDE，PF12长度的最小值就是 DE长度的最小值，过点 F作 FGCE 于点 G，垂足 G就是 PF最小时点 P的位置，此时 PF ，12故 DE长度的最小值是 .12
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