1、2020 年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团中考数学一模试卷年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1 （3 分）下列各数中，是无理数的为（ ） A2 B C D 2 （3 分）据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有 1000 万种左右，数字 1000 万用科学记数法表示为（ ） A1103 B1106 C1107 D10106 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A2 B3 C3 D4 4 （3 分）下列几何图形中，不是中心对称图形的为（ ） A等边三角形 B圆 C菱形 D正方形 5 （3
2、 分）在ABC 中，已知 ABAC，且A80，则B（ ） A30 B50 C60 D80 6（3 分） 图为正方体的展开图， 那么在原正方体中与 “你” 字所在面相对的面上的字为 （ ） A前 B程 C似 D锦 7 （3 分）下列说法不正确的是（ ） A平均数受极端值的影响比较大 B极差是一组数据中最大的数与最小的数的差 C一组数据的众数一定只有一个 D方差能反映一组数据的波动程度 8 （3 分）在平面直角坐标系中，将点（4，3）向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位 后，得到的点的坐标为（ ） A （6，1） B （2，1） C （6，5） D （2，5） 9 （3 分）如图，直线 a
3、bc，则下列结论不正确的为（ ） A B C D 10 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABC120，对角线 AC4，则菱形 ABCD 的 周长为（ ） A12 B20 C8 D16 11 （3 分）随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活 动，将进价为 120 元一盒的某品牌粽子按标价的 8 折出售，仍可获利 20%，则该超市该 品牌粽子的标价为_元 （ ） A180 B170 C160 D150 12 （3 分）对于函数 yx22|x|3，下列说法正确的有（ ）个图象关于 y 轴对称； 有最小值4；当方程 x22|x|3m 有两个不相等的实数根时，m3；直
4、线 yx+b 与 yx22|x|3 的图象有三个交点时，b3 A1 B2 C3 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）分解因式：2x28 14 （3 分）一元二次方程 x22xk0 有两个相等的实数根，则 k 15 （3 分）若圆锥的底面直径为 6cm，母线长为 10cm，则圆锥的侧面积为 cm2 16 （3 分）如图，O 为锐角 ABC 的外接圆，若BAO15，则C 的度数为 17 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y（x0）与矩形 OABC 的 AB 边 交于点 E，且 AE：
5、EB1：2，则矩形 OABC 的面积为 18 （3 分）如图，AD、BE 分别是ABC 的中线和角平分线，ADBE，ADBE12，则 AC 的长等于 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，第个小题，第 19、20 题每小题题每小题 6 分，第分，第 21、22 题每小题题每小题 6 分，第分，第 23、24 题每小题题每小题 6 分，第分，第 25、26 题每小题题每小题 6 分，共分，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 19 （6 分）计算： （） 12cos30+ +（3）0 20 （6 分）先化简，再求值：
6、，其中 a 21 （8 分）在 9 年级毕业前，团支部进行“送赠言”活动，某班团支部对该班全体团员在 一个月内所发赠言条数的情况进行了统计，并制成了如图两幅不完整的统计图： （1）该班团员共有名 ；将该条形统计图补充完整； （2）所发赠言条数为 2 条的团员人数所占扇形的圆心角度数为 ； （3） 如果发了 3 条赠言的同学中有两位男同学， 发了 4 条赠言的同学中有三位女同学 现 要从发了 3 条赠言和 4 条赠言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“送赠言”活 动总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位 女同学的概率 22 （8 分）如图，AB 为O 的直
7、径，点 C、D 在O 上，AC3，BC4，且 ACAD，弦 CD 交直径 AB 于点 E （1）求证：ACEABC； （2）求弦 CD 的长 23 （9 分）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块 大型宣传牌，如下图小明同学为测量宣传牌的高度 AB，他站在距离教学楼底部 E 处 6 米远的地面 C 处， 测得宣传牌的底部 B 的仰角为 60， 同时测得教学楼窗户 D 处的仰角 为 30（A、B、D、E 在同一直线上） 然后，小明沿坡度 i1：1.5 的斜坡从 C 走到 F 处，此时 DF 正好与地面 CE 平行 （1）求点 F 到直线 CE 的距离（结果保留根号）
8、 ； （2）若小明在 F 处又测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45，求宣传牌的高度 AB（结果精确 到 0.1 米，1.41，1.73） 24 （9 分）如图，矩形 ABCD 中，已知 AB6BC8，点 E 是射线 BC 上的一个动点，连 接 AE 并延长，交射线 DC 于点 F将ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 的对应点为点 B （1）如图 1，若点 E 为线段 BC 的中点，延长 AB交 CD 于点 M，求证：AMFM； （2）如图 2，若点 B恰好落在对角线 AC 上，求的值； （3）若，求DAB的正弦值 25 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（a，b）和正实数 k，
9、给出如下定义：当 ka2+b0 时，以点 P 为圆心，ka2+b 为半径的圆，称为点 P 的“k 倍雅圆” 例如，在图 1 中，点 P（1，1）的“1 倍雅圆”是以点 P 为圆心，2 为半径的圆 （1）在点 P1（3，1） ，P2（1，2）中，存在“1 倍雅圆”的点是 该点的“1 倍雅圆”的半径为 （2）如图 2，点 M 是 y 轴正半轴上的一个动点，点 N 在第一象限内，且满足MON 30，试判断直线 ON 与点 M 的“2 倍雅圆”的位置关系，并证明； （3）如图 3，已知点 A（0，3） ，B（1，0） ，将直线 AB 绕点 A 顺时针旋转 45得到 直线 l 当点 C 在直线 l 上运
10、动时，若始终存在点 C 的“k 倍雅圆” ，求 k 的取值范围； 点 D 是直线 AB 上一点，点 D 的“倍雅圆”的半径为 R，是否存在以点 D 为圆心， 为半径的圆与直线 l 有且只有 1 个交点，若存在，求出点 D 的坐标；若不存在， 请说明理由 26 （10 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 yax2+2ax+a+2 与 x 轴相交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于点 C，顶点为点 D点 P 为 x 轴上的一个动点 （1）求点 D 的坐标； （2）如图 1，当点 P 在线段 AB 上运动时，过点 P 作 x 轴的垂线，分别交直线 AD、BD 于点 E、F，试判断 PE+PF
11、 是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由 （3）如图 2，若点 P 位于点 A 的左侧，满足ADP2APD 且 APAB 时，求 抛物线的解析式 2020 年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团中考数学一模试卷年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1 （3 分）下列各数中，是无理数的为（ ） A2 B C D 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循
12、环 小数是无理数由此即可判定选择项 【解答】解：A2 是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C 是无理数，故本选项符合题意； D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意 故选：C 2 （3 分）据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有 1000 万种左右，数字 1000 万用科学记数法表示为（ ） A1103 B1106 C1107 D10106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10
13、时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 1000 万用科学记数法表示为：1107 故选：C 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A2 B3 C3 D4 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案 【解答】解：A、2，故此选项错误； B、3，故此选项错误； C、3，正确； D、442，故此选项错误； 故选：C 4 （3 分）下列几何图形中，不是中心对称图形的为（ ） A等边三角形 B圆 C菱形 D正方形 【分析】根据中心对称图形的概念判断即可 【解答】解：A、等边三角形，不是中心对称图形； B、圆，是中心对称图形； C、菱形，是中心对称图形； D、正方形，
14、是中心对称图形； 故选：A 5 （3 分）在ABC 中，已知 ABAC，且A80，则B（ ） A30 B50 C60 D80 【分析】根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解 【解答】解：ABAC，A80， B（180A）（18080）50 故选：B 6（3 分） 图为正方体的展开图， 那么在原正方体中与 “你” 字所在面相对的面上的字为 （ ） A前 B程 C似 D锦 【分析】 正方体的表面展开图， 相对的面之间一定相隔一个正方形， 根据这一特点作答 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “你”与“程”是相对面， “祝”与“似”是相对面， “前”与“锦”是相对面；
15、 故选：B 7 （3 分）下列说法不正确的是（ ） A平均数受极端值的影响比较大 B极差是一组数据中最大的数与最小的数的差 C一组数据的众数一定只有一个 D方差能反映一组数据的波动程度 【分析】根据平均数、极差、众数和方差的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案 【解答】解：A、平均数受极端值的影响比较大，正确，不符合题意； B、极差是一组数据中最大的数与最小的数的差，正确，不符合题意； C、一组数据的众数不一定只有一个，错误，符合题意； D、方差能反映一组数据的波动程度，正确，不符合题意； 故选：C 8 （3 分）在平面直角坐标系中，将点（4，3）向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位
16、 后，得到的点的坐标为（ ） A （6，1） B （2，1） C （6，5） D （2，5） 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案 【解答】解：将点 A（4，3）先向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位， 得到 B 点的坐标是（4+2，32） ， 即（2，1） ， 故选：B 9 （3 分）如图，直线 abc，则下列结论不正确的为（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，判断即可 【解答】解：A、abc， ，本选项结论正确，不符合题意； B、abc， ，本选项结论正确，不符合题意； C、abc， ，本选项结论正确，不符合题意；
17、D、连接 AF，交 BE 于 H， bc， ABHACF， ，本选项结论不正确，符合题意； 故选：D 10 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABC120，对角线 AC4，则菱形 ABCD 的 周长为（ ） A12 B20 C8 D16 【分析】连接 BD 交 AC 于点 O，由菱形的性质得出 ABBCCDAD，ACBD，OA OCAC2，ABDCBDABC60，求出BAO30，由直角三 角形的性质得 OBOA2，AB2OB4，即可得出答案 【解答】解：连接 BD 交 AC 于点 O，如图： 四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD，ACBD，OAOCAC2，ABDCBDABC 60，
18、 BAO30， OBOA2，AB2OB4， 菱形 ABCD 的周长4AB16； 故选：D 11 （3 分）随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活 动，将进价为 120 元一盒的某品牌粽子按标价的 8 折出售，仍可获利 20%，则该超市该 品牌粽子的标价为_元 （ ） A180 B170 C160 D150 【分析】设该超市该品牌粽子的标价为 x 元，则售价为 80%x 元，根据等量关系：利润 售价进价列出方程，解出即可 【解答】解：设该超市该品牌粽子的标价为 x 元，则售价为 80%x 元， 由题意得：80%x12020%120， 解得：x180 即该超市该品牌粽
19、子的标价为 180 元 故选：A 12 （3 分）对于函数 yx22|x|3，下列说法正确的有（ ）个图象关于 y 轴对称； 有最小值4；当方程 x22|x|3m 有两个不相等的实数根时，m3；直线 yx+b 与 yx22|x|3 的图象有三个交点时，b3 A1 B2 C3 D4 【分析】根据 a22|a|3（a）22|a|3 进行判断； 化为顶点式 yx22|x|3（|x|1）24，进而判断； 用反例法，如当 m4 时，解方程得出解的情况，再进行判断； 由方程 x22|x|3x+b，即 x22|x|x3b0 有 3 个解，求出 b 的取值 【解答】解：a22|a|3（a）22|a|3， yx
20、22|x|3 的图象关于 y 轴对称， 故正确； yx22|x|3（|x|1）24， 当|x|1 即 x1 时，y 有最小值为4， 故正确； 当 m4 时，方程 x22|x|3m 为 x22|x|34，可化为（|x|1）20，解得 x1，有两个不相等的实数根，此时 m43， 故错误； 直线 yx+b 与 yx22|x|3 的图象有三个交点， 方程 x22|x|3x+b，即 x22|x|x3b0 有 3 个解， 方程 x23x3b0（x0）与方程 x2+x3b0（x0）一共有 3 个解， 当方程 x23x3b0（x0）有两个不相等的非负数根，则方程 x2+x3b0（x 0）有两个相等的负数根；或
21、当方程 x23x3b0（x0）有两个不相等的非负数 根，则方程 x2+x3b0（x0）有一个负数根；或方程 x23x3b0（x0）有 一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程 x2+x3b0（x0）有两个不相等的负 数根 即或或， 解得，b，或 b3， 当 b或 b3 时，直线 yx+b 与 yx22|x|3 的图象有三个交点， 故错误； 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）分解因式：2x28 2（x2） （x+2） 【分析】直接提取公因式 2，再利用公式法分解因式得出答案 【解答】解：2x28
22、2（x24） 2（x2） （x+2） 故答案为：2（x2） （x+2） 14 （3 分）一元二次方程 x22xk0 有两个相等的实数根，则 k 1 【分析】根据判别式的意义得到（2）241（k）0，然后解一次方程即 可 【解答】解：根据题意得（2）241（k）0， 解得 k1 故答案为：1 15 （3 分）若圆锥的底面直径为 6cm，母线长为 10cm，则圆锥的侧面积为 30 cm2 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形 的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算 【解答】解：圆锥的侧面积61030（cm2） 故答案为 30 16 （3 分）如图，O 为
23、锐角 ABC 的外接圆，若BAO15，则C 的度数为 75 【分析】 连接 OB， 如图， 利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出AOB150， 然后根据圆周角定理计算C 的度数 【解答】解：连接 OB，如图， OAOB， OBAOAB15， AOB1801515150， CAOB75 故答案为 75 17 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y（x0）与矩形 OABC 的 AB 边 交于点 E，且 AE：EB1：2，则矩形 OABC 的面积为 12 【分析】设 E 点的坐标是（a，b） ，根据已知得出 ab4，AEa，BE2a，求出 OAb， AB3a，再根据矩形的面积公
24、式求出即可 【解答】解：四边形 OABC 是矩形， OAB90， 设 E 点的坐标是（a，b） ， 双曲线 y（x0）与矩形 OABC 的 AB 边交于点 E，且 AE：EB1：2， ab4，AEa，BE2a， OAb，AB3a， 矩形 OABC 的面积是 AOABb3a3ab3412， 故答案为：12 18 （3 分）如图，AD、BE 分别是ABC 的中线和角平分线，ADBE，ADBE12，则 AC 的长等于 9 【分析】过 D 点作 DFBE，则 DFBE，F 为 EC 中点，在 RtADF 中求出 AF 的长 度，根据已知条件易知 G 为 AD 中点，因此 E 为 AF 中点，则 ACA
25、F 【解答】解：过 D 点作 DFBE， AD 是ABC 的中线，ADBE， F 为 EC 中点，ADDF， ADBE12，则 DF6，AF6， BE 是ABC 的角平分线，ADBE， ABGDBG，AGBDGB90， BGBG， ABGDBG（ASA） ， AGDG， G 为 AD 中点， E 为 AF 中点， ACAF69 故答案为：9 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，第个小题，第 19、20 题每小题题每小题 6 分，第分，第 21、22 题每小题题每小题 6 分，第分，第 23、24 题每小题题每小题 6 分，第分，第 25、26 题每小题题每小题 6 分，共分，
26、共 66 分，解答应写出文字说明、证明过分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 19 （6 分）计算： （） 12cos30+ +（3）0 【分析】 本题涉及零指数幂、 负指数幂、 二次根式化简和特殊角的三角函数值 4 个考点 在 计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式22+1， 2+1， 3 20 （6 分）先化简，再求值：，其中 a 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式 ， 当 a时，原式2（+1）2+2
27、21 （8 分）在 9 年级毕业前，团支部进行“送赠言”活动，某班团支部对该班全体团员在 一个月内所发赠言条数的情况进行了统计，并制成了如图两幅不完整的统计图： （1）该班团员共有名 12 ；将该条形统计图补充完整； （2）所发赠言条数为 2 条的团员人数所占扇形的圆心角度数为 60 ； （3） 如果发了 3 条赠言的同学中有两位男同学， 发了 4 条赠言的同学中有三位女同学 现 要从发了 3 条赠言和 4 条赠言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“送赠言”活 动总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位 女同学的概率 【分析】 （1）用赠言条数为 3 的人
28、数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算 出赠言条数为 4 的人数，再补全条形统计图； （2）用赠言条数为 2 所占的百分比乘以 360即可； （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，找出所选两位同学恰好一位男同学和一位 女同学的结果数，然后根据概率公式计算 【解答】解： （1）325%12（名） ， 所以该班团员共有 12 名； 赠言条数为 4 条的人数为 1222314（名） ， 条形统计图补充为： （2）所发赠言条数为 2 条的团员人数所占扇形的圆心角度数36060； 故答案为 12；60； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果， 其中所选两位同学恰好一位男同学和一
29、位女同学的结果数为 7， 所以所选两位同学恰好一位男同学和一位女同学的概率 22 （8 分）如图，AB 为O 的直径，点 C、D 在O 上，AC3，BC4，且 ACAD，弦 CD 交直径 AB 于点 E （1）求证：ACEABC； （2）求弦 CD 的长 【分析】 （1） 由垂径定理可知AEC90， 然后根据相似三角形的判定即可求出答案 （2）根据相似三角形的性质可知 AC2AEAB，从而可求出 AE，再由勾股定理以及 垂径定理即可求出 CD 的长度 【解答】解： （1）ACAD，AB 是O 的直径， CDAB， AEC90， AB 是O 的直径， ACB90， ACE+BACBAC+B90，
30、 ACEB， ACEABC （2）由（1）可知：， AC2AEAB， AC3，BC4， 由勾股定理可知：AB5， AE， 由勾股定理可知：CE， 由垂径定理可知：CD2CE 23 （9 分）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块 大型宣传牌，如下图小明同学为测量宣传牌的高度 AB，他站在距离教学楼底部 E 处 6 米远的地面 C 处， 测得宣传牌的底部 B 的仰角为 60， 同时测得教学楼窗户 D 处的仰角 为 30（A、B、D、E 在同一直线上） 然后，小明沿坡度 i1：1.5 的斜坡从 C 走到 F 处，此时 DF 正好与地面 CE 平行 （1）求点 F 到直
31、线 CE 的距离（结果保留根号） ； （2）若小明在 F 处又测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45，求宣传牌的高度 AB（结果精确 到 0.1 米，1.41，1.73） 【分析】 （1）过点 F 作 FGEC 于 G，依题意知 FGDE，DFGE，FGE90 ； 得到四边形 DEGF 是矩形； 根据矩形的性质得到 FGDE； 解直角三角形即可得到结论； （2）解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）过点 F 作 FGEC 于 G， 依题意知 FGDE，DFGE，FGE90 ； 四边形 DEGF 是矩形； FGDE； 在 RtCDE 中， DECEtanDCE； 6tan30 o 2 （米）
32、 ； 点 F 到地面的距离为 2 米； （2）斜坡 CF 的坡度为 i1：1.5 RtCFG 中，CG1.5FG21.53， FDEG3+6 在 RtBCE 中， BECEtanBCE6tan60 o 6 ABAD+DEBE 3+6+2664.3 （米） 答：宣传牌的高度约为 4.3 米 24 （9 分）如图，矩形 ABCD 中，已知 AB6BC8，点 E 是射线 BC 上的一个动点，连 接 AE 并延长，交射线 DC 于点 F将ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 的对应点为点 B （1）如图 1，若点 E 为线段 BC 的中点，延长 AB交 CD 于点 M，求证：AMFM； （2）如图 2，
33、若点 B恰好落在对角线 AC 上，求的值； （3）若，求DAB的正弦值 【分析】 （1）由折叠的性质及等腰三角形的判定可得出答案； （2）由勾股定理求出 AC10，证明ABEFCE，由比例线段可得出答案； （3）分两种情况讨论：点 E 在线段 BC 上，点 E 在 BC 的延长线上，分别设 DM x，根据 RtADM 中，AM2AD2+DM2，得到关于 x 的方程，求得 x 的值，最后根据 sin DAB进行计算即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为矩形， ABCD， FBAF， 由折叠可知：BAFMAF， FMAF， AMFM （2）解：由（1）可知ACF 是等腰三角形，ACCF，
34、 在 RtABC 中，AB6，BC8， AC10， CFAC10， ABCF， ABEFCE， ； （3）当点 E 在线段 BC 上时，如图 3，AB的延长线交 CD 于点 M， 由 ABCF 可得：ABEFCE， ，即， CF4， 由（1）可知 AMFM 设 DMx，则 MC6x，则 AMFM10 x， 在 RtADM 中，AM2AD2+DM2，即（10 x）282+x2， 解得：x， 则 AM10 x10， sinDAB 当点 E 在 BC 的延长线上时，如图 4， 由 ABCF 可得：ABEFCE， ，即， CF4， 则 DF642， 设 DMx，则 AMFM2+x， 在 RtADM 中
35、，AM2AD2+DM2，即（2+x）282+x2， 解得：x15， 则 AM2+x17， sinDAB 综上所述：当时，DAB的正弦值为或 25 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（a，b）和正实数 k，给出如下定义：当 ka2+b0 时，以点 P 为圆心，ka2+b 为半径的圆，称为点 P 的“k 倍雅圆” 例如，在图 1 中，点 P（1，1）的“1 倍雅圆”是以点 P 为圆心，2 为半径的圆 （1）在点 P1（3，1） ，P2（1，2）中，存在“1 倍雅圆”的点是 P1 该点的“1 倍雅圆”的半径为 10 （2）如图 2，点 M 是 y 轴正半轴上的一个动点，点 N 在第
36、一象限内，且满足MON 30，试判断直线 ON 与点 M 的“2 倍雅圆”的位置关系，并证明； （3）如图 3，已知点 A（0，3） ，B（1，0） ，将直线 AB 绕点 A 顺时针旋转 45得到 直线 l 当点 C 在直线 l 上运动时，若始终存在点 C 的“k 倍雅圆” ，求 k 的取值范围； 点 D 是直线 AB 上一点，点 D 的“倍雅圆”的半径为 R，是否存在以点 D 为圆心， 为半径的圆与直线 l 有且只有 1 个交点，若存在，求出点 D 的坐标；若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）根据题意即可求解； （2）求出圆的半径 r10+mm，而 MQOMmm，即可求解； （3）利用全
37、等求出点 E（2，2） ，得到直线 l 的表达式为 yx+3，设点 C（x， x+3） ，当始终存在点 C 的“k 倍雅圆”时，则则 k0 且0 成立，即可求解； Rka2+bx2+3x+3（x+2）2，假设存在以点 D 为圆心，为半径的圆与直 线 l 有且只有 1 个交点，则 DH|x+2|x|，即可求解 【解答】解： （1）对于 P1（3，1） ，圆的半径为 ka2+b132+1100，故符合题意； 对于 P2（1，2） ，圆的半径为 ka2+b112210，故不符合题意； 故答案为 P1，10； （2）如图 1，过点 M 作 MQON 于点 Q， 则点 M（0，m） （m0） ，则圆的半
38、径 r10+mm， 则 RtMQO 中，MOQMON30， MQOMmm， 直线 ON 与点 M 的“2 倍雅圆”的位置关系为相交； （3）过点 B 作 BE直线 l 于点 E，过点 E 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 G，交过点 A 与 x 轴的平行线于点 F， 设点 E（x，y） ， 将直线 AB 绕点 A 顺时针旋转 45得到直线 l，则EAB45，故 EAEB， FEA+FAE90，GEB+FEA90， FAEGEB， AFEEGB90，EAEB， AFEEGB（AAS） ， EFBG，EGFA，即 3y1x，yx， 解得：x2，y2，故点 E（2，2） ； 设直线 l 的表达式为 y
39、kx+b，则，解得， 故直线 l 的表达式为 yx+3， 设点 C（x，x+3） ， 始终存在点 C 的“k 倍雅圆”时，则圆的半径 rkx2+x+30 恒成立， k0 且0 成立，即 k0 且（）243k0， 解得：k； 存在，理由： 如图 2，过点 D 作 DHl 于点 H， 由点 A、B 的坐标同理可得，直线 AB 的表达式为 y3x+3， 设点 D（x，3x+3） ， 由点 A、D 的坐标得，AD|x|，则 HDAD|x|， 则 Rka2+bx2+3x+3（x+2）2，则|x+2|， 假设存在以点 D 为圆心，为半径的圆与直线 l 有且只有 1 个交点， 则 DH|x+2|x|， 解得
40、：x42， 故点 D 的坐标为： （42，96）或（4+2，9+6） 26 （10 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 yax2+2ax+a+2 与 x 轴相交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于点 C，顶点为点 D点 P 为 x 轴上的一个动点 （1）求点 D 的坐标； （2）如图 1，当点 P 在线段 AB 上运动时，过点 P 作 x 轴的垂线，分别交直线 AD、BD 于点 E、F，试判断 PE+PF 是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由 （3）如图 2，若点 P 位于点 A 的左侧，满足ADP2APD 且 APAB 时，求 抛物线的解析式 【分析】 （1）利用配方
41、法可求顶点 D 坐标； （2） 过点 D 作 DHAB 于 H， 由三角函数可得 EPAPtanEAP， PFBPtanFBP， 由等比的性质可得，即可求解； （3）作 AP 的垂直平分线，交 AP 于 Q，交 PD 于 M，过点 D 作 DHAB，通过证明 PMQPDH，可得，可求 MQ1，由勾股定理可求点 A 坐标，代入解 析式可求 a 的值，即可求解 【解答】解： （1）yax2+2ax+a+2a（x+1）2+2， 点 D（1，2） ； （2）是定值，理由如下： 如图 1，过点 D 作 DHAB 于 H， AHBHAB，DH2， DABDBA， tanEAP，tanFBP， EPAPta
42、nEAP，PFBPtanFBP， EAPFBP， tanDBHtanEAPtanFBP， ， ， PF+PF4； （3）如图 2，作 AP 的垂直平分线，交 AP 于 Q，交 PD 于 M，过点 D 作 DHAB， PMMA，PQAQ， MPAMAP， DMAMPQ+MAP2MPA， ADP2APD， ADPAMD， AMADPM， DPHMPQ，DHPMQP90， PMQPDH， ， APAB，AHBH，PQQA， PQQAAH， PH（2+）AH， ， MQ1， MQ2+AQ2AM2AD2AH2+DH2， （1）2+（AH）2AH2+4， AH2， 点 A（3，0） ， 抛物线 yax2+2ax+a+2 过点 A， 09a6a+a+2， a， 抛物线解析式为 yx2x+
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