1、1第 18讲 相似三角形命题点 相似三角形的性质与判定1(2017河北 T73分)若ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，则B的度数与其对应角B 的度数相比(D)A增加了 10% B减少了 10%C增加了(110%) D没有改变2(2011河北 T93分)如图，在ABC 中，C90，BC6，D，E 分别在 AB，AC 上，将ABC 沿 DE折叠，使点 A落在点 A处若 A为 CE的中点，则折痕 DE的长为(B)A.12B2C3D43(2014河北 T133分)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为 3，4，5 的三角形按图 1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距
2、为 1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为 3和 5的矩形按图 2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形与原矩形不相似图 1 图 2对于两人的观点，下列说法正确的是(A)A两人都对 B两人都不对 C甲对，乙不对 D甲不对，乙对4(2016河北 T152分)如图，在ABC 中，A78，AB4，AC6.将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)重难点 相似三角形的性质与判定在ABC 中，ABAC，D 为 BC的中点，以 D为顶点作MDNB.2(1)如图 1，当射线 DN经过点 A时，DM 交边 AC于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与AD
3、E 相似的三角形；(2)如图 2，将MDN 绕点 D沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交线段 AC，AB 于点 E，F(点 E与点 A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；(3)在图 2中，若 ABAC10，BC12，当 SDEF SABC 时，求线段 EF的长14【思路点拨】(1)由题意得 ADBD，DEAC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得BFDCDE，又由BC，可得BDFCED；由相似三角形的性质得 ，进而有 ，从而CEDDEF；(3)首先利用DEF 的面积等于ABC 的面积的 ，求出点 D到
4、BDCE DFED CDCE DFED 14AB的距离，进而利用 SDEF 的值求出 EF即可【自主解答】解：(1)图 1中与ADE 相似的有ABD，ACD，DCE.(2)BDFCEDDEF.证明：BBDFBFD180，EDFBDFCDE180，又EDFB，BFDCDE.由 ABAC，得BC，BDFCED. .BDCE DFEDBDCD， .CDCE DFED又CEDF，BDFCEDDEF.(3)连接 AD，过点 D作 DGEF，DHBF，垂足分别为 G，H.ABAC，D 是 BC的中点，ADBC，BD BC6.12在 RtABD 中，AD 2AB 2BD 2，AD8.S ABC BCAD48
5、.S DEF SABC 12.12 14又 ADBD ABDH，DH4.8.12 12BDFDEF，DFBEFD.DGEF，DHBF，DHDG4.8.S DEF EFDG12，EF5.12【变式训练 1】(2018杭州)如图，在ABC 中，ABAC，AD 为 BC边上的中线，DEAB 于点 E.(1)求证：BDECAD；(2)若 AB13，BC10，求线段 DE的长 3解：(1)证明：ABAC，BDCD，ADBC，BC.DEAB，DEBADC.BDECAD.(2)ABAC，BDCD，ADBC.在 RtADB 中，AD 12，AB2 BD2 ADBD ABDE，DE .12 12 6013基本图
6、形方 法 指 导(1)斜边高图形有以下基本结论：BADC，BDAC；ADBCDACAB.(2)一线三等角有以下基本结论：BC，BDEDFC；BDECFD.特殊地：若点 D为 BC中点，则有BDECFDDFE.“一线三等角”问题一般以等腰三角形、等边三角形、四边形、矩形、正方形为背景：模 型 拓 展图中相同标识符号的角相等，熟悉这些模型对解决三角形全等和相似的问题有很大帮助【变式训练 2】 【分类讨论思想】在正方形 ABCD中，AB4，点 P，Q 分别在直线 CB与射线 DC上(点 P不与点 C，点 B重合)，且保持APQ90，CQ1，求线段 BP的长解：分三种情况：设 BPx.当 P在线段 B
7、C上时，如图 1，四边形 ABCD是正方形，BC90.BAPAPB90.APQ90，APBCPQ90.BAPCPQ，4ABPPCQ. ， ，ABBP PCCQ 4x 4 x1x 1x 22.BP2；当 P在 CB的延长线上时，如图 2，同理，得 BP2 2；2当 P在 BC的延长线上时，如图 3，同理，得 BP22 .2综上所述：线段 BP的长为 2或 2 2 或 22 .2 21(2018白银)已知 (a0，b0)，下列变形错误的是(B)a2 b3A. B2a3b C. D3a2bab 23 ba 322(2018重庆)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5 cm，
8、6 cm和 9 cm，另一个三角形的最短边长为 2.5 cm，则它的最长边为(C)A3 cm B4 cm C4.5 cm D5 cm3(2018河北模拟)如图，在平面直角坐标系中，与ABC 是位似图形的是(C)A B C D4(2018哈尔滨)如图，在ABC 中，点 D在 BC边上，连接 AD，点 G在线段 AD上，GEBD，且交 AB于点E，GFAC，且交 CD于点 F，则下列结论一定正确的是(D)A. B. C. D. ABAE AGAD DFCF DGAD FGAC EGBD AEBE CFDF5(2018邯郸一模)如图，在ABC 中，BCDA，DEBC，与ABC 相似的三角形(ABC
9、自身除外)的个数是(B)A1 B2 C3 D46(2018石家庄裕华区模拟)李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是(B)5已知：如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DEBC，DFAC.求证：ADEDBF.证明：又DFAC，DEBC，ABDF.ADEB.ADEDBF.A BC D7(2018随州)如图，平行于 BC的直线 DE把ABC 分成面积相等的两部分，则 的值为(C)BDADA1 B. C. 1 D. 122 2 28(2018岳阳)九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，
10、股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为 5步，股(长直角边)长为 12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步60179(2018抚顺)如图，AOB 三个顶点的坐标分别为 A(8，0)，O(0，0)，B(8，6)，点 M为 OB的中点以点 O为位似中心，把AOB 缩小为原来的 ，得到AOB，点 M为 OB的中点，则 MM的长为 或 12 52 15210(2018江西)如图，在ABC 中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC于点 E，求AE的长解：BD 为ABC 的平分线，ABDCBD.AB
11、CD，DABD.DCBD.BCCD.BC4，CD4.ABCD，ABECDE. .ABCD AECE6 .AE2CE.84 AECEACAECE6，AE4.11(2018包头)如图，在四边形 ABCD中，BD 平分ABC，BADBDC90，E 为 BC的中点，AE 与 BD相交于点 F.若 BC4，CBD30，则 DF的长为(D)A. B. C. D.253 233 343 453提示：连接 DE，可证DEFBAF.12(2018达州)如图，E，F 是ABCD 对角线 AC上两点，AECF AC.连接 DE，DF 并延长，分别交 AB，BC 于点14G，H，连接 GH，则 的值为(C)S ADG
12、S BGHA. B. C. D112 23 34提示：可证 AGABCHBC13.13 【分类讨论思想】(2018常州)如图，在ABC 纸板中，AC4，BC2，AB5，P 是 AC上一点，过点 P沿直线剪下一个与ABC 相似的小三角形纸板，如果有 4种不同的剪法，那么 AP长的取值范围是 3AP414(2018福建)如图，在 RtABC 中，C90，AB10，AC8.线段 AD由线段 AB绕点 A按逆时针方向旋转90得到，EFG 由ABC 沿 CB方向平移得到，且直线 EF过点 D.(1)求BDF 的大小；(2)求 CG的长解：(1)线段 AD是由线段 AB绕点 A按逆时针方向旋转 90得到，
13、DAB90，ADAB10.ABD45.EFG 是ABC 沿 CB方向平移得到，ABEF.BDFABD45.(2)由平移的性质，得 AECG，ABEF，DEADFCABC，ADEDAB180.7DAB90，ADE90.ACB90，ADEACB.ADEACB. .ADAC AEABAC8，ABAD10，AE12.5，由平移的性质，得 CGAE12.5.15(2017河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从 E，D 两点开挖一个涵洞工程师从地面选取三个点 A，B，C，且 A，B，D 三点在一条直线上，A，C，E 也在同一条直线上，若已知 AB27 米，AD500 米，AC15 米，AE
14、900 米，且测得 BC22.5 米(1)求 DE的长；(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用 25天；信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的 1.5倍；信息三：甲工程队每天需要收费 3 500元，乙工程队每天需要收费 4 000元若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算解：(1)连接 DE.AB27 米，AD500 米，AC15 米，AE900 米， .ABAE ACAD 3100又AA，ABCAED. ，即 DE750 米BC
15、DE 22.5DE 3100(2)设甲工程队每天开挖涵洞 x米，则乙工程队每天开挖涵洞 1.5x米，依据题意，得 25，解得 x10.750x 7501.5x经检验，x10 是原方程的解则 1.5x15.甲工程队打通这个涵洞的时间为 75(天)，75010甲工程队打通这个涵洞所需的费用为753 500262 500(元)；乙工程队打通这个涵洞的时间为 50(天)，7501.5x 750158乙工程队打通这个涵洞所需的费用为504 000200 000.200 000262 500，选用乙工程队较合算16(2018泰安)九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为 200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门 H位于 GD的中点，南门 K位于 ED的中点，出东门 15步 A的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 A处的树木(即点 D在直线 AC上)？请你计算 KC的长为 步2 0003
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