2020年山东省泰安市肥城市中考数学四模试卷（含答案解析）

1、2020 年山东省泰安市肥城市中考数学四模试卷年山东省泰安市肥城市中考数学四模试卷 一、选择题一、选择题 1 （3 分）在实数中无理数的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A2x+3y5xy B （m+3）2m2+9 C （xy2）3xy6 Da10a5a5 3 （3 分）下列图形，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）2020 年 1 月 24 日，国家病原微生物资源库发布了由中国疾病预防控制中心病毒病预防控制所成 功分离的我国第一株病毒（新型冠状病毒武汉株 01）毒种信息和电镜照片电镜

2、显示病毒直径约为 100 纳米已知 1 纳米0.000001 毫米，下述关于冠状病毒直径的科学记数法正确的是（ ） A1.010 6 米 B1.010 7 米 C1.010 8 米 D1.010 9 米 5 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图与左视图都是边长为 4 的等边三角形，则这个几何体 的侧面展开图的面积为（ ） A6 B8 C10 D12 6 （3 分）如图，AB，CE 均O 为直径，点 C，D 是圆上两点，且CDB28，则E 的度数是（ ） A62 B56 C66 D76 7 （3 分）某小组 5 名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，

3、以下 说法正确的是（ ） 劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5 人数 1 1 2 1 A众数是 2，平均数是 3.8 B中位数是 4，平均数是 3.8 C众数是 4，平均数是 3.75 D中位数是 3.75，平均数是 3.75 8（3 分） 若函数 yx2的图象经过两次平移得到函数 yx2+4x5 的图象， 则下列平移正确的是 （ ） A先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 B先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 C先向上平移 1 个单位，再向右平移 2 个单位 D先向下平移 1 个单位，再向右平移 2 个单位 9 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB，BC1，以

4、AB 为直径作O，与 CD 交于 E、F 两点，则图 中阴影部分的面积为（ ） A B C D 10 （3 分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作四元玉鉴中有一个“二果问价”问题，原题如下： “九百 九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意为： 用 999 文钱，可以买甜果和苦果共 1000 个，买 9 个甜果需要 11 文钱，买 7 个苦果需要 4 文钱，问买甜 果和苦果的数量各多少个？设买甜果、苦果的数量分别为 x 个、y 个，则可列方程组为（ ） A B C D 11 （3 分）如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先

5、在点 C 处测得树顶 B 的仰 角为 60，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡 CD 的长度为 10m，DE 的长为 5m，则 树 AB 的高度是（ ）m A10 B15 C15 D155 12 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，并且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cm0 有两个不相等的实数根，下列结论：b24ac0；abc0；ab+c0；m2，其中正确的 个数有（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题二、填空题 13 （3 分）已知 x2 是关于 x 的一元二次方程 kx2+（k22）x+2k+40 的一个根，则 k 的值为 14 （

6、3 分）如图，直线 ab，130，240，且 ADAC，则3 的度数是 15 （3 分）若不等式组无解，则 m 的取值范围是 16 （3 分）如图，在直角坐标系中放入矩形纸片 ABCO将纸片翻折后，点 B 恰好落在 x 轴上，记为 B， 折痕为 CE，已知 sinOBC，CE，则点 E 的坐标是 17 （3 分）如图所示，在O 中，AB 为弦，OCAB 交 AB 于点 D，且 ODDC，P 为O 上任意一点， 连接 PA，PB，若O 的半径为 1，则 SPAB的最大值为 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y2x 和 yx 的图象分别为直线 l1、l2，过点（1，0）作 x 轴的垂

7、线交 l2于点 A1，过点 A1作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线交 l1于点 A3，过点 A3 作 y 轴的垂线交 l2于点 A4，依次进行下去，则点 A2020的坐标为 三、解答题三、解答题 19先化简，再求值：，其中 a2+ 20为了响应上级教委的“海航招飞”号召，某校从九年级应届男生中抽取视力等生理指标合格的部分学 生进行了文化课初检，教务处负责同志将测试结果分为四个等级：甲、乙、丙、丁，然后将相关数据整 理为两幅不完整的统计图，请依据相关信息解答下列问题： （1）本次参加文化课初检的男生人数为 ； （2）扇形图中 m 的数值为 ，把条形统计图补充完整； （

8、3）据统计，全省生理指标过关的九年级男生有 2400 名左右，若规定文化课等级为“甲” “乙”的可进 行文化课二检，请估计进入二检的男生有 ； （4）本次抽检进入“甲”等的 4 名男生中九（1） 、九（2）班各占 2 名，若从“甲”等学生中随机抽取 两名男生进行调研，请用树形图表示抽到的两名男生恰为九（1）班的概率 21如图， 一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于 A、 B 两点，其中点 A 的坐标为（ 1，4） ，点 B 的坐标为（4，n） （1）根据图象，直接写出满足 k1x+b的 x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点 P 在线段 AB 上，且 S

9、AOP：SBOP1：2，求点 P 的坐标 22某商场计划销售 A，B 两种型号的商品，经调查，用 1500 元采购 A 型商品的件数是用 600 元采购 B 型 商品的件数的 2 倍，一件 A 型商品的进价比一件 B 型商品的进价多 30 元 （1）求一件 A，B 型商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进 A，B 型商品共 100 件进行试销，其中 A 型商品的件数不大于 B 型的件数，已知 A 型商品的售价为 200 元/件，B 型商品的售价为 180 元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是 多少？ 23在ABC 中，BAC90，ABAC，ADBC 于点 D （1）如图 1，

10、点 M，N 分别在 AD，AB 上，且BMN90，当AMN30，AB2 时，求线段 AM 的长； （2）如图 2，点 E，F 分别在 AB，AC 上，且EDF90，求证：BEAF； （3）如图 3，点 M 在 AD 的延长线上，点 N 在 AC 上，且BMN90，求证：AB+ANAM 24如图，在四边形 ADBC 中，BA 平分DBC，且BDABAC90，点 E 是 BC 的中点，连接 DE 交 AB 于点 F （1）求证：AB2BDBC； （2）当DBA30时，求； （3）是否存在点 F，使 F 是 AB 的三等分点？若存在，请求出DBA 的度数；若不存在，请说明理由； （4）求BDE 的最

11、大值 25如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx+6（a0）交 x 轴 A（4，0） ，B（2，0） ，在 y 轴上有一点 E（0，2） ，连接 AE，D 是第二象限内的抛物线上一动点 （1）求二次函数的解析式； （2）求ADE 面积的最大值并写出此时点 D 的坐标； （3）若 tanAED，求此时点 D 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）在实数中无理数的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据无理数的定义求解即可 【解答】解：在实数中，无理数有，共 2 个， 故选：B 2 （3 分）下列计算正确的是（

12、） A2x+3y5xy B （m+3）2m2+9 C （xy2）3xy6 Da10a5a5 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式m2+6m+9，不符合题意； C、原式x3y6，不符合题意； D、原式a5，符合题意， 故选：D 3 （3 分）下列图形，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对

13、称图形，是中心对称图形，不符合题意 故选：B 4 （3 分）2020 年 1 月 24 日，国家病原微生物资源库发布了由中国疾病预防控制中心病毒病预防控制所成 功分离的我国第一株病毒（新型冠状病毒武汉株 01）毒种信息和电镜照片电镜显示病毒直径约为 100 纳米已知 1 纳米0.000001 毫米，下述关于冠状病毒直径的科学记数法正确的是（ ） A1.010 6 米 B1.010 7 米 C1.010 8 米 D1.010 9 米 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数

14、字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：1 纳米0.000001 毫米0.000000001 米， 100 纳米1.010 7 米 故选：B 5 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图与左视图都是边长为 4 的等边三角形，则这个几何体 的侧面展开图的面积为（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】根据三视图得到这个几何体为圆锥，且圆锥的母线长为 4，底面圆的直径为 4，然后根据圆锥的 侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面 积公式求解 【解答】解：这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为 4，底面圆的直径为 4， 所以这个几何体的侧面展开

15、图的面积448 故选：B 6 （3 分）如图，AB，CE 均O 为直径，点 C，D 是圆上两点，且CDB28，则E 的度数是（ ） A62 B56 C66 D76 【分析】利用圆周角定理求出BOC 即可解决问题 【解答】解：AB，CE 是直径， OAOE， EA， BOC2CDB56， AOEBOC56， E（18056）62， 故选：A 7 （3 分）某小组 5 名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下 说法正确的是（ ） 劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5 人数 1 1 2 1 A众数是 2，平均数是 3.8 B中位数是 4，平均数是 3.8 C众

16、数是 4，平均数是 3.75 D中位数是 3.75，平均数是 3.75 【分析】根据众数、平均数和中位数的概念求解 【解答】解：这 5 个数据中 4 出现 2 次，所以众数为 4， 这 5 个数据的中位数是第 3 个数据，所以中位数为 4， 这 5 个数据的平均数为3.8， 故选：B 8（3 分） 若函数 yx2的图象经过两次平移得到函数 yx2+4x5 的图象， 则下列平移正确的是 （ ） A先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 B先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 C先向上平移 1 个单位，再向右平移 2 个单位 D先向下平移 1 个单位，再向右平移 2 个单位 【分

17、析】把二次函数 yx2+4x5 化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数 yx2的图象平移而 得到 【解答】解：根据题意 yx2+4x5（x2）21，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以 由二次函数 yx2先向下平移 1 个单位，再向右平移 2 个单位得到 故选：D 9 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB，BC1，以 AB 为直径作O，与 CD 交于 E、F 两点，则图 中阴影部分的面积为（ ） A B C D 【分析】如图，连接 OE、OF过点 F 作 FGOA 于 G，通过解直角FOG 求得GOF 的度数，同理 得到EOB 的度数，由补角的定义求得EOF 的度数，结合图中阴影部

18、分的面积扇形的面积EOF 的面积进行解答 【解答】解：如图，连接 OE、OF过点 F 作 FGOA 于 G， 依题意知，OFOE，BCFG1，则 sinGOF， GOF45 同理EOB45 EOF90， S阴影S扇形OFESEOF1 故选：D 10 （3 分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作四元玉鉴中有一个“二果问价”问题，原题如下： “九百 九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意为： 用 999 文钱，可以买甜果和苦果共 1000 个，买 9 个甜果需要 11 文钱，买 7 个苦果需要 4 文钱，问买甜 果和苦果的数量各多少个？设买甜果、苦果的数

19、量分别为 x 个、y 个，则可列方程组为（ ） A B C D 【分析】根据用 999 文钱可以买甜果和苦果共 1000 个，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得 解 【解答】解：依题意，得： 故选：C 11 （3 分）如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰 角为 60，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡 CD 的长度为 10m，DE 的长为 5m，则 树 AB 的高度是（ ）m A10 B15 C15 D155 【分析】先根据 CD10m，DE5m 得出DCE30，故可得出DCB90，再由BDF30可

20、知DBE60，由 DFAE 可得出BGFBCA60，故GBF30，所以DBC30，再 由锐角三角函数的定义即可得出结论 【解答】解：在 RtCDE 中， CD10m，DE5m， sinDCE， DCE30 ACB60，DFAE， BGF60 ABC30，DCB90 BDF30， DBF60， DBC30， BC10（m） ， ABBCsin601015（m） 故选：B 12 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，并且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cm0 有两个不相等的实数根，下列结论：b24ac0；abc0；ab+c0；m2，其中正确的 个数有（ ） A1 B

21、2 C3 D4 【分析】直接利用抛物线与 x 轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分 析得出答案 【解答】解：如图所示： 图象与 x 轴有两个交点，则 b24ac0，故正确； 图象开口向上， a0， 对称轴在 y 轴右侧， a，b 异号， b0， 图象与 y 轴交于 x 轴下方， c0， abc0，故正确； 当 x1 时，ab+c0，故错误； 二次函数 yax2+bx+c 的顶点坐标纵坐标为：2， 故二次函数 yax2+bx+c 向上平移小于 2 个单位，则平移后解析式 yax2+bx+cm 与 x 轴有两个交点， 此时关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cm0

22、有两个不相等的实数根， 故m2， 解得：m2， 故正确 因此，正确的结论是：，共 3 个 故选：C 二、填空题二、填空题 13 （3 分）已知 x2 是关于 x 的一元二次方程 kx2+（k22）x+2k+40 的一个根，则 k 的值为 3 【分析】把 x2 代入 kx2+（k22）x+2k+40 得 4k+2k24+2k+40，再解关于 k 的方程，然后根据一 元二次方程的定义确定 k 的值 【解答】解：把 x2 代入 kx2+（k22）x+2k+40 得 4k+2k24+2k+40， 整理得 k2+3k0，解得 k10，k23， 因为 k0， 所以 k 的值为3 故答案为3 14 （3 分

23、）如图，直线 ab，130，240，且 ADAC，则3 的度数是 40 【分析】 根据三角形的外角的性质得到41+270， 根据等腰三角形的性质得到51802 440，根据平行线的性质即可得到结论 【解答】解：如图， 41+270， ADAC， 51802440， 直线 ab， 3540， 故答案为：40 15 （3 分）若不等式组无解，则 m 的取值范围是 m2 【分析】解第一个不等式得出 x8，结合 x4m 且不等式组无解，利用“大大小小无解了”得出关于 m 的不等式，解之可得答案 【解答】解：解不等式1，得：x8， 又 x4m 且不等式组无解， 4m8， 解得 m2， 故答案为：m2 1

24、6 （3 分）如图，在直角坐标系中放入矩形纸片 ABCO将纸片翻折后，点 B 恰好落在 x 轴上，记为 B， 折痕为 CE，已知 sinOBC，CE，则点 E 的坐标是 （15，4） 【分析】根据 sinOBC，设 OC3x，则 BC5x，由勾股定理得 OB4x，根据矩形的性质 可知 BCBCOA5x，可知 ABx，由折叠的性质可证BOCEAB，由相似三角形对应边 的比相等求 AE，BE，在 RtBCE 中，利用勾股定理求 x 即可确定 E 点的坐标 【解答】解：在 RtBOC 中，根据 sinOBC， 设 OC3x，则 BC5x， 由勾股定理 OB4x， 根据矩形的性质可知 BCBCOA5x

25、， ABx， 由折叠的性质可证BOCEAB， ，即， AEx，BEx， 在 RtBCE中，由勾股定理得 BC2+BE2CE2，即（5x）2+（x）2（5）2， 解得 x3， OA5x15，AEx4， E（15，4） 故本题答案为： （15，4） 17 （3 分）如图所示，在O 中，AB 为弦，OCAB 交 AB 于点 D，且 ODDC，P 为O 上任意一点， 连接 PA，PB，若O 的半径为 1，则 SPAB的最大值为 【分析】连接 OA，如图，利用垂径定理得到 ADBD，再根据 ODDC 可得到 ODOA ，所以 AD，由勾股定理，则 ABPAB 底 AB 不变，当高越大时面积越大，即 P

26、点到 AB 距离最大时， APB 的面积最大 则当点 P 为 AB 所在优弧的中点时， 此时 PD， APB 的面积最大， 然后根据三角形的面积公式计算即可 【解答】解：连接 OA，如图， OCAB， ADBD， ODDC， ODOA， AD，AB2AD 当点 P 为 AB 所对的优弧的中点时，APB 的面积最大，此时 PDPO+OD1+ APB 的面积的最大值为 故答案为： 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y2x 和 yx 的图象分别为直线 l1、l2，过点（1，0）作 x 轴的垂线交 l2于点 A1，过点 A1作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线交

27、 l1于点 A3，过点 A3 作 y 轴的垂线交 l2于点 A4，依次进行下去，则点 A2020的坐标为 （21010，21010） 【分析】写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点 A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根 据坐标的变化即可找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1） ，A4n+2（22n+1，22n+1） ，A4n+3（22n+1，22n+2） ， A4n+4（22n+2，22n+2） （n 为自然数） ” ，依此规律结合 20205054 即可找出点 A2020的坐标 【解答】解：当 x1 时，y2， 点 A1的坐标为（1，2） ； 当 yx2 时，x

28、2， 点 A2的坐标为（2，2） ； 同理可得：A3（2，4） ，A4（4，4） ，A5（4，8） ，A6（8，8） ，A7（8，16） ，A8（16，16） ， A9（16，32） ， A4n+1（22n，22n+1） ，A4n+2（22n+1，22n+1） ， A4n+3（22n+1，22n+2） ，A4n+4（22n+2，22n+2） （n 为自然数） 20205054， 点 A2020的坐标为（21010，21010） ， 故答案为： （21010，21010） 三、解答题三、解答题 19先化简，再求值：，其中 a2+ 【分析】先化简分式，然后将 a 的值代入即可 【解答】解：原式 ，

29、 当 a2+时， 原式 20为了响应上级教委的“海航招飞”号召，某校从九年级应届男生中抽取视力等生理指标合格的部分学 生进行了文化课初检，教务处负责同志将测试结果分为四个等级：甲、乙、丙、丁，然后将相关数据整 理为两幅不完整的统计图，请依据相关信息解答下列问题： （1）本次参加文化课初检的男生人数为 40 人 ； （2）扇形图中 m 的数值为 36 ，把条形统计图补充完整； （3）据统计，全省生理指标过关的九年级男生有 2400 名左右，若规定文化课等级为“甲” “乙”的可进 行文化课二检，请估计进入二检的男生有 1080 人 ； （4）本次抽检进入“甲”等的 4 名男生中九（1） 、九（2）

30、班各占 2 名，若从“甲”等学生中随机抽取 两名男生进行调研，请用树形图表示抽到的两名男生恰为九（1）班的概率 【分析】 （1）用乙等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用 360乘以甲等级人数的百分比得到 m 的值，然后计算出丙等级的人数后补全条形统计图； （3）用 2400 乘以样本中“甲” “乙”等级所占的百分比即可； （4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出抽到的两名男生恰为九（1）班的结果数，然后根据 概率公式求解 【解答】解： （1）1435%40， 所以本次参加文化课初检的男生人数为 40 人； （2）甲等级的百分比100%10%， 所以 m36010%

31、36， 即 m 的值为 36； 丙等级的人数为 4025%10（人） ， 补全条形统计图： （3）24001080， 所以估计进入二检的男生有 1080 人； 故答案为 40 人；36；1080 人； （4）画树状图为： （用 A、B 表示九（1）的两名学生；用 a、b 表示九（2）的两名学生） 共有 12 种等可能的结果数，其中抽到的两名男生恰为九（1）班的结果数为 2， 所以抽到的两名男生恰为九（1）班的概率 21如图， 一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于 A、 B 两点，其中点 A 的坐标为（ 1，4） ，点 B 的坐标为（4，n） （1）根据图象，直接写出满足

32、k1x+b的 x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点 P 在线段 AB 上，且 SAOP：SBOP1：2，求点 P 的坐标 【分析】 （1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求 x 的取值范围； （2）将点 A，点 B 坐标代入两个解析式可求 k2，n，k1，b 的值，从而求得解析式； （3）根据 SAOP：SBOP1：2，可得答案 【解答】解： （1）点 A 的坐标为（1，4） ，点 B 的坐标为（4，n） 由图象可得：k1x+b的 x 的取值范围是 x1 或 0 x4； （2）反比例函数 y的图象过点 A（1，4） ，B（4，n） k2144，k24n n1 B（4，

33、1） 一次函数 yk1x+b 的图象过点 A，点 B ， 解得：k11，b3 直线解析式 yx+3，反比例函数的解析式为 y； （3）设直线 AB 与 y 轴的交点为 C， C（0，3） ， SAOC31， SAOBSAOC+SBOC31+4， SAOP：SBOP1：2， SAOP， SCOP1， 3xP1， xP， 点 P 在线段 AB 上， y+3， P（，） 22某商场计划销售 A，B 两种型号的商品，经调查，用 1500 元采购 A 型商品的件数是用 600 元采购 B 型 商品的件数的 2 倍，一件 A 型商品的进价比一件 B 型商品的进价多 30 元 （1）求一件 A，B 型商品的

34、进价分别为多少元？ （2）若该商场购进 A，B 型商品共 100 件进行试销，其中 A 型商品的件数不大于 B 型的件数，已知 A 型商品的售价为 200 元/件，B 型商品的售价为 180 元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是 多少？ 【分析】 （1）设一件 B 型商品的进价为 x 元，则一件 A 型商品的进价为（x+10）元根据 16000 元采购 A 型商品的件数是用 7500 元采购 B 型商品的件数的 2 倍，列出方程即可解决问题； （2）因为客商购进 A 型商品 m 件，销售利润为 w 元根据一次函数即可解决问题； 【解答】解： （1）设一件 B 型商品的进价为 x 元

35、，则一件 A 型商品的进价为（x+30）元 由题意：2， 解得 x120， 经检验 x120 是分式方程的解， 答：一件 B 型商品的进价为 120 元，则一件 A 型商品的进价为 150 元 （2）因为客商购进 A 型商品 m 件，销售利润为 w 元 m100m，m50， 由题意：wm（200150）+（100m） （180120）10m+6000， 100， m50 时，w 有最小值5500（元） 23在ABC 中，BAC90，ABAC，ADBC 于点 D （1）如图 1，点 M，N 分别在 AD，AB 上，且BMN90，当AMN30，AB2 时，求线段 AM 的长； （2）如图 2，点

36、E，F 分别在 AB，AC 上，且EDF90，求证：BEAF； （3）如图 3，点 M 在 AD 的延长线上，点 N 在 AC 上，且BMN90，求证：AB+ANAM 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 ADBDDC，求出MBD30， 根据勾股定理计算即可； （2）证明BDEADF，根据全等三角形的性质证明； （3）过点 M 作 MEBC 交 AB 的延长线于 E，证明BMEAMN，根据全等三角形的性质得到 BE AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论 【解答】 （1）解：BAC90，ABAC，ADBC， ADBDDC，ABCACB45，BADCAD45， A

37、B2， ADBDDC， AMN30， BMD180903060， MBD30， BM2DM， 由勾股定理得，BM2DM2BD2，即（2DM）2DM2（）2， 解得，DM， AMADDM； （2）证明：ADBC，EDF90， BDEADF， 在BDE 和ADF 中， ， BDEADF（ASA） BEAF； （3）证明：过点 M 作 MEBC 交 AB 的延长线于 E， AME90， 则 AEAM，E45， MEMA， AME90，BMN90， BMEAMN， 在BME 和NMA 中， ， BMENMA（ASA） ， BEAN， AB+ANAB+BEAEAM 24如图，在四边形 ADBC 中，BA

38、 平分DBC，且BDABAC90，点 E 是 BC 的中点，连接 DE 交 AB 于点 F （1）求证：AB2BDBC； （2）当DBA30时，求； （3）是否存在点 F，使 F 是 AB 的三等分点？若存在，请求出DBA 的度数；若不存在，请说明理由； （4）求BDE 的最大值 【分析】 （1）根据角平分线的定义得到DBAABC，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）如图 1，连接 AE，根据直角三角形的性质得到 AEBC，得到 AEBE，推出 BDAE，设 BC 2x，则 AEECACx，由勾股定理得，ABx，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）当时求得2，即 BD2AEBC，推

39、出不可能； 当时； 如图 1 所示，根据相似三角形的性质得到，设 BDx，则 AE2x，BC 4x，根据BDA90，AB2BD，得到DBA60； （4）如图 2，连接 AE，过点 A 作 AMBC，根据角平分线的性质得到 ADAM，当 AM 与 AE 重合时， AM 最大，也就是 AD 最大，即 AD 的最大值为 AE 的长度根据平行线的性质健康得到结论 【解答】 （1）证明：BA 平分DBC， DBAABC， 又BDABAC90， ABDCBA， ， AB2BDBC； （2）如图 1，连接 AE， BAC90，E 为 BC 的中点， AEBC， 点 E 是 BC 的中点， AEBE， 23，

40、 BA 平分DBC， 12， 13， BDAE， BDFAEF， 设 BC2x，则 AEECACx， 由勾股定理得，ABx， 130， ADABx，BDx， ， ； （3）当时， 则2，即 BD2AEBC， BDBC， 不可能； 当时； 如图 1 所示， 由（2）得 BDAE， BDFAEF， ， 设 BDx，则 AE2x，BC4x， AB2BDBC， AB2x4x4x2， AB2x， BDA90，AB2BD， DBA60； （4）如图 2，连接 AE，过点 A 作 AMBC， BA 平分DBA，ADBD，AMBC， ADAM， 当 AM 与 AE 重合时，AM 最大，也就是 AD 最大， 即

41、 AD 的最大值为 AE 的长度 DEA45， 又BDAE， BDEDEA45， BDE 的最大值为 45 25如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx+6（a0）交 x 轴 A（4，0） ，B（2，0） ，在 y 轴上有一点 E（0，2） ，连接 AE，D 是第二象限内的抛物线上一动点 （1）求二次函数的解析式； （2）求ADE 面积的最大值并写出此时点 D 的坐标； （3）若 tanAED，求此时点 D 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法，把问题转化为方程组解决即可 （2）设 D（m，m2m+6） ，过点 D 作 DKy 轴交于点 K，则 K（0，m2m+6） ，根据二次

42、 函数，利用二次函数的性质求解即可 （3）过点 A 作 ANDE，DE 与 x 轴交于点 F，证明AFNEFO，推出，由此构建方程求 解即可 【解答】解： （1）将 A（4，0） ，B（2，0）代入 yax2+bx+6（a0） ， 得 解得， yx2x+6； （2）A（4，0） ，E（0，2） ， 设 D（m，m2m+6） ， 过点 D 作 DKy 轴交于点 K，则 K（0，m2m+6） ， SADES梯形DKOA+SAOESKED （KD+AO）OK+AOOEKDKE （m+4）（m2m+6）+42（m）（2m2m+6） （m+）2+， 0， 当 m时，SADE的面积最大，最大值为，此时 D 点坐标为（，） （3）过点 A 作 ANDE，DE 与 x 轴交于点 F， tanAED， AN，NE3， ANFEOF90，AFNEFO， AFNEFO， ， EF2OF2+4， NF3EF， ， OF2， F（2，0） ， EF 直线解析式为 yx2， 由，解得或， 点 D 在第二象限， D（，）