1、 二次的函数的应用 第9讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.利用二次函数求图形的最大面积 2.销售中的最大利润 3.二次函数中的实际应用综合 教学目标 1.掌握二次函数的实际应用 2.掌握建立二次函数模型的方法 教学重点 能熟练掌握二次函数的实际应用 教学难点 能熟练掌握二次函数的实际应用 【教学建议】【教学建议】 本节是中考数学的必考内容，教师要选取典型例题，帮助学生分析如何从实际问题中寻找等量关系， 建立函数模型，如何确定实际问题背景中自变量的取值范围，如何取最值等等。可以先分项训练，最后再 合练。 学生学习本节时可能会
2、在以下三个方面感到困难： 1. 找不到等量关系，从而列不出函数关系式； 2. 部分学生不会把二次函数的一般式配成顶点式； 3.容易忘掉实际问题中自变量是有取值范围的； 【知识导图】【知识导图】 二次的函数的应用 利用二次函数求图形的最大面积 销售中的最大利润 二次函数中的实际应用综合 概述 教学过程 【教学建议】【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一，属于中考数学的必考内容，也是难点内容，我们可以利用二次 函数的模型解决很多实际问题（比如：长度、面积和周长等的最值问题、商品利润问题等等）。实际生活 中的很多问题都可以借助建立二次函数的模型来解决，这属于中考必考题。 1.矩形的一边长
3、为 l m，则另一边长为?矩形的面积 S 怎样表示? 2. 本题中有几个变量?分别是?S 是 l 的函数吗?l 的取值范围是什么? 3. 利用什么知识来确定 l 是多少时 S 的值最大？ 4.不规则图形的面积如何求:割补法、铅垂线法、等积法等。 复习回顾一下商品销售中的各个相关量以及它们之间的数量关系 利润售价进价进价利润率 利润率 -售价进价 进价 100% 利润 进价 100% 打折销售中的售价标价（定价）打折数0.1 售价成本利润成本（1利润率） 利息本金利率 复习回顾： 1. 二次函数如何配成顶点式？ 2. 如何根据实际问题情境确定自变量的取值范围？ 一、导入 二、知识讲解 知识点 1
4、 利用二次函数求图形的最大面积 知识点 2 销售中的最大利润 知识点 3 二次函数中的实际应用综合 三、例题精析 【题干】如图，利用一面长为 34 米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地 ABCD，在 AB 和 BC 边各有 一个 2 米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形 ABCD 的边 AD 长为 x 米，AB 长为 y 米，矩形的面积为 S 平方 米，且 xy （1）若所用铁栅栏的长为 40 米，求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求 S 与 x 的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为 192 平方米？ 【题干】【题干】如图,在矩形
5、 ABCD 中,AB=2AD,线段 EF=10.在 EF 上取一点 M,分别以 EM、MF 为一边作矩形 EMNH、 矩形 MFGN,使矩形 MFGN矩形 ABCD.令 MN=x， 当 x 为何值时， 矩形 EMNH 的面积 S 有最大值， 最大值是多少? 【题干】【题干】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 400 千克经市场调查发现， 在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克 （1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？ （2）若商场只要求保证每天的盈利为 4420 元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
6、例题 1 例题 2 例题 3 【题干】【题干】如图 1，地面 BD 上两根等长立柱 AB，CD 之间悬挂一根近似成抛物线 y=x 2x+3 的绳子 （1）求绳子最低点离地面的距离； （2）因实际需要，在离 AB 为 3 米的位置处用一根立柱 MN 撑起绳子（如图 2），使左边抛物线 F1的最低 点距 MN 为 1 米，离地面 1.8 米，求 MN 的长； （3）将立柱 MN 的长度提升为 3 米，通过调整 MN 的位置，使抛物线 F2对应函数的二次项系数始终为，设 MN 离 AB 的距离为 m，抛物线 F2的顶点离地面距离为 k，当 2k2.5 时，求 m 的取值范围。 【题干】【题干】东坡商
7、贸公司购进某种水果的成本为 20 元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来 48 天的销售 单价 p(元/kg)与时间 t（天）之间的函数关系式为 )4825(48 2 1 - )241 (30 4 1 为整数， 为整数， ttt ttt p ，且其日销售量 y(kg)与时间 t（天）的关系如下表： 时间 t（天） 1 3 6 10 20 30 日销售量 y(kg) 118 114 108 100 80 40 （1）已知 y 与 t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第 30 天的日销售量是多少？ （2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）在实际销售的前 24 天中，公
8、司决定每销售 1kg 水果就捐赠 n 元利润（n9）给“精准扶贫”对象。 现发现：在前 24 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 n 的取值范围。 例题 4 例题 5 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在二次函数在实际问题中的应用上，配以典型的例题， 把例题讲透，再给学生做针对性的练习。 1.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用 28m 长的篱笆围成一个矩 形花园 ABCD(篱笆只围 AB,BC 两边)，设 AB=xm. (1)若花园的面积为 192m2，求 x 的值； (2)若在 P 处有一棵树
9、与墙 CD,AD 的距离分别是 15m 和 6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗 细)，求花园面积 S 的最大值。 2.某商店购进一批单价为 20 元的日用商品，如果以单价 30 元销售那么半月内可售出 400 件，根据销售经 验，推广销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件。 (1)销售单价提高多少元，可获利 4480 元。 (2)如何提高售价，才能在半月内获得最大利润? 3.如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m，水面 宽 4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是什么？ 四
10、 、课堂运用 基础 1.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台，空调的采购单价 y1(元/台)与采购数量 x1(台)满足 y1=20 x1+1500(0x1 20,x1为整数)；冰箱的采购单价 y2(元/台)与采购数量 x2(台)满足 y2= 10 x2+1300(0x2 20,x2为整数). (1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 119，且空调采购单价不低于 1200 元，问该商家 共有几种进货方案? (2)该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完。在(1)的条件下，问 采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润。 2
11、.某人定制了一批地砖,每块地砖(如图(1)所示)是边长为 0.4 米的正方形 ABCD,点 E. F 分别在边 BC 和 CD 上,CFE、ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成,制成CFE、ABE 和四边形 AEFD 的三种材料 的每平方米价格依次为 30 元、20 元、10 元,若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部 分组成四边形 EFGH. (1)判断图(2)中四边形 EFGH 是何形状，并说明理由； (2)E、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省? 巩固 3.某公园要建造一个如图 1 的圆形喷水池， 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA， O
12、恰在水面中心， OA=0.81 米，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且 在过 OA 的任一平面上抛物线路径如图 2 所示。为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与 OA 距离为 1 米处 达到距水面最大高度 2.25 米，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致 落到池外? 1.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农” 优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为 20 元/千克。 市场调查发现，该产品每天的销售量 w(千克)与销售价
13、 x(元/千克)有如下关系：w=2x+80.设这种产品每天 的销售利润为 y(元). (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元/千克，该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销 售价应定为多少元? 2.草莓是云南多地盛产的一种水果， 今年某水果销售店在草莓销售旺季， 试销售成本为每千克 20 元的草莓， 规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克 40 元，经试销发现，销售量 y（千克）与销售单 价 x（元）符合一次函数关系，如图是 y 与 x 的函数关系图象
14、（1）求 y 与 x 的函数解析式（也称关系式） 拔高 （2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为 W 元，求 W 的最大值 3.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力， 小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关系 y5x20 x，请根据要 求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行的时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 1.利用二次函数求图形的最大面积 2.销售中的最大利润 3.二次函数中的实际应
15、用综合 课堂小结 拓展延伸 基础 1. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)满足函数表达式 ht 224t1则 下列说法中正确的是（ ） A点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同 B点火后 24s 火箭落于地面 C点火后 10s 的升空高度为 139m D大箭升空的最大高度为 145m 2.如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开已知篱笆的总长为 900m(篱笆的厚度忽略不计)，当 AB_m 时，矩形 ABCD 的面积最大 3.某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某产品种蜜柚到了收获季节，已知该蜜柚的
16、成本价 为 8 元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量 y(千克)与销售单 价 x(元/千克)之间的函数关系如图所示 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某农户今年共采摘蜜柚 4800 千克，该品种蜜柚的保持期为 40 天，根据（2）中获得最大利润的 方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由 1.如图，一个矩形菜园 ABCD，一边 AD 靠墙（墙 MN 长为 a 米，MNAD），另外三边用总长 100 米的不 锈钢栅栏围成 E A C D B F 巩
17、固 （1）当前 a20 米时，矩形 ABCD 的面积为 450 平方米，求 AD 长； （2）求矩形 ABCD 面积的最大值 2.如图 1，在矩形 ABCD 中， E 是 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线 BE- ED- DC 运动到点 C 时停止；点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止， 速度均为每秒 1 个单位长度如果点 P，Q 同时开始运动，设运动时 间为 t，BPQ 的面积为 y，已知 y 与 t 的函数图象如图 2 所示，以下结论：BC =10； cosABE=3 5； 当 0t10 时，y=2 5t 2；当 t=12 时，BPQ 是等腰三角形；当 14t20 时，y
18、=1105t 中正确的有 ( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 3.为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在 15 天内完成，约定这 批纪念品的出厂价为每件 20 元，设第 x 天（1x15，且 x 为整数）每件产品的成本是 p 元，p 与 x 之间符合一次函数关系，部分数据如下表： 天数（x） 1 3 6 10 每件成本 p（元） 7.5 8.5 10 12 任务完成后，统计发现工人李师傅第 x 天生产的产品件数 y（件）与 x（天）满足如下关系： y 220 110 401015 xxx xx ，且 为整数 ， ，且 为整数 设李师傅第 x 天创造
19、的产品利润为 W 元 （1）直接写出 p 与 x，W 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围； （2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ （3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为 299 元工厂制定如下奖励制度：如果一 个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得 20 元奖金，请计算李师傅共可获得 多少元奖金？ 1.某公司投入研发费用 80 万元(80 万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品公司 按订单生产(产量 销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为 6 元/件此产品年销售量 y(万件)与售价 x (元/件) 之间满足函数关系式
20、 yx26 （1）求这种产品第一年的利润 W1(万元)与售价 x(元/件)满足的函数关系式； （2）该产品第一年的利润为 20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？ （3）第二年，该公司将第一年的利润 20 万元(20 万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成 本降为 5 元/件为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销 售量无法超过 12 万件请计算该公司第二年的利润 2 W至少为多少万元 2.为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园， 其中一边靠墙，可利用的墙长不超过 l8m，另外三边由 36m
21、 长的栅栏围成.设矩形 ABCD 空地中，垂直 于墙的边 ABxm，面积为 ym 2（如图）. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若矩形空地的面积为 160m 2，求 x 的值； （3）若该单位用 8600 元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共 400 棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用 地面积如下表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请 说明理由. 甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 拔高 合理用地（m 2/棵） 0.4 1 0.4 3.传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只 4 元，按要求在 20 天内完成为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 x 天生产的粽子数量为 y 只， y 与 x 满足如下关系： 34 (06) 2080(620) xx y xx （1）李明第几天生产的粽子数量为 280 只？ （2）如图，设第 x 天生产的每只粽子的成本是 p 元，p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画若 李明第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利 润是多少元？（利润出厂价成本） 18m A D
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