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    【BSD版春季课程初三数学】第13讲:圆及圆的对称性学案(教师版)

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    【BSD版春季课程初三数学】第13讲:圆及圆的对称性学案(教师版)

    1、 圆及圆的对称性 第13讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长(分钟) 120 知识点 1.圆及与圆相关的概念 2.圆的对称性 教学目标 1.掌握圆的定义及圆的性质 2.掌握圆的对称性 教学重点 能熟练掌握圆的相关概念及圆的对称性 教学难点 能熟练掌握圆的相关概念及圆的对称性 【教学建议】【教学建议】 本节的主要内容是圆及圆的对称性,主要是介绍圆的定义等一些相关概念,属于一节基本概念课。在 中考试题中主要涉及到的是圆的对称性以及圆心角、弧、弦之间的关系定理。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难: 1. 圆的对称性的应用; 2. 圆心角、弧、弦之间的

    2、关系定理。 【知识导图】【知识导图】 圆及圆的对称性 圆 圆的对称性 圆的定义 圆的有关概念 点与圆的位置关系 圆的对称性 圆心角 圆心角、弧、弦之间的关系 概述 教学过程 一、导入 【教学建议】【教学建议】 本节是一节概念课,只需要使学生对基本概念理解就行了。在中考试题中会涉及到本节的内容是圆的对称 以及圆心角、弧、弦之间的关系定理性。教师在教学时要把握好考试要求,做必要的练习,由于考试涉及 到本节的内容相对来说较简单,所以教师在教学时,不必深挖,做很多拓展,让学生掌握最根本的知识就 行了。 1.(1)圆的定义:在一个平面内,线段 OA 绕它的一个固定端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形

    3、成的图形 叫做圆。固定端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径。以点 O 为圆心的圆,记作“O”, 读作“圆 O”. 注意:在平面内,圆是指圆周,而不是圆面,圆的两要素 :圆心和半径,圆心确定圆的位置,半径 确定圆的大小,线段 OP 的长也可以叫半径. (2)圆的集合性定义: 圆心为 O,半径为 r 的圆,可以看成所有到定点 O,距离等于定长 r 的点的集合。 注:圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于定长(半径 r); 到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上。 来源: 2.弦与直径、弧与半圆 连接圆上任意两点的线段叫做弦,如下图线段 AC,AB; 经过圆心的弦叫做直径,如下图线段 AB;

    4、圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,“以 A、C 为端点的弧记作AC”,读作“圆弧AC”或“弧 AC”大于半圆的弧(如图所示ABC叫做优弧,小于半圆的弧(如图所示)AC或BC叫做劣弧 B AC O 二、知识讲解 知识点 1 圆及与的相关的概念 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆 3.同心圆和等圆 同心圆:圆心相同,半径不等的圆叫做同心圆。如图 2 所示: 图 2 图 3 等圆:半径相等的圆(能够互相重合的圆)叫做等圆。 注:同圆或等圆的半径相等。如图 3.等圆与位置无关 等弧:在同圆和等圆中,等够完全重合 的弧叫做等弧。 注:长度相等的弧,度数相等的弧都不一定是等弧

    5、。 1.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线 (2)圆是中心对称图形,对称中心是圆心 2.弧、弦、圆心角 (1)顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分成 360 等分,每一份的弧对应 1o的圆心角,我们也称这 样的弧为 1o的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 (2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么 它们所对应的其余各组量分别相等 【题干】如图,一枚直径为 4cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周,圆心移

    6、动的距离是( ) 知识点 2 圆的对称性 三、例题精析 例题 1 A2cm B4cm C8cm D16cm 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据圆的周长公式即可得. 【题干】【题干】“手牵手”艺术团到某地慰问演出,要搭建一个圆形旋转舞台该地一工人发现周围有四根木柱, 且这四根木柱恰好构成菱形,他找到这个菱形四条边的中点,然后他说这四个中点在同一圆形舞台上请 问:他的想法有道理吗?证明你的结论 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明:连接 OE,OF,OG,OH. 四边形 ABCD 是菱形, ABBCCDDA,ACBD. 又E 为 AB 的中点,OE1 2AB. 同理 OF1 2BC,

    7、OG 1 2CD,OH 1 2AD, OEOFOGOH, 点 E,F,G,H 四点在以 O 为圆心,OE 长为半径的圆上 【题干】【题干】如图,AB 是O 的直径,CD 是O 的弦,AB、CD 的延长线相交于点 E.已知 AB2DE,E 18.试求AOC 的度数 例题 2 例题 3 【答案】【答案】54 【解析】【解析】连接 OD, AB2DE,AB2OD, ODDE,DOEE, ODC2E36, OCOD,CODC36, AOCCE54 【题干】【题干】在 RtABC 中,C90,BC3 cm,AC4 cm,以点 B 为圆心,BC 长为半径作B,点 A, C 及 AB,AC 的中点 D,E

    8、与B 有怎样的位置关系? 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】如图,在 RtABC 中,C90,BC3 cm,AC4 cm, AB AC 2BC25 cm. B 的半径为 3 cm, 而 AB5 cm3 cm,点 A 在B 外 又BC3 cmr,点 C 在B 上 D 是 AB 的中点, BD1 2AB2.5 cm, BDBC3 cm,点 E 在B 外 【题干】【题干】由于过度砍伐森林和破坏植被,我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭近来 A 市气象局测得沙尘 暴中心在 A 市正东方向 400 km 的 B 处,正在向西北方向移动,若距沙尘暴中心 300 km 的范围内将受到影 响,则 A 市是否

    9、会受到这次沙尘暴的影响? 例题 4 例题 5 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】如下图,过点 A 作 ACBD 于点 C. 由题意,得 AB400 km,DBA45. 在 RtACB 中,sinDBAAC AB,ACABsinDBA400 2 2 200 2282.8(km) 282.8300, A 市将会受到这次沙尘暴的影响 【题干】【题干】如图所示,在O 中,A,C,D,B 是O 上四点,OC,OD 交 AB 于点 E,F,且 AEFB,下列 结论:OEOF;ACCDDB;CDAB;AC BD.其中正确的有( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】【答案】B 【解析】【

    10、解析】正确 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中,教师可以以中考真题入手,重点放在二次函数的平移上,先把例题讲解清晰,再给学生做 针对性的练习,注意各个二次函数的图象的平移情况,它们之间是怎么样平移的,总结平移的规律,抓住 抛物线性质的变与不变。 1.若点 P 到O 的最小距离为 6 cm,最大距离为 8 cm,则O 的半径是 。 例题 6 四 、课堂运用 基础 【答案】【答案】1cm 或 7cm 【解析】【解析】考虑两种情况 2.设O 的半径为 2,点 P 到圆心的距离为 m,且关于 x 的方程 2x 22 2xm10 有实数根,试确定点 P 与O 的位置关系 【答案】【答案】点 P 在O

    11、 内或O 上 【解析】【解析】由题意知 b 24ac(2 2)242(m1)0,即 m2. 而O 的半径 r2,mr. 点 P 在O 内或O 上 3.下列说法中,正确的是( ) A等弦所对的弧相等 B等弧所对的弦相等 C圆心角相等,所对的弦相等 D弦相等,所对的圆心角相等 【答案】【答案】B 【解析】【解析】紧扣定义即可 4.如图,在ABC 中,A70,O 截ABC 三边所得的弦长相等,则BOC 的度数是多少? 【答案】【答案】125 【解析】【解析】如图,过点 O 分别作 ODAB,OEBC,OFAC,垂足分别为 D,E,F. 由O 截ABC 三边所得的弦长相等, 可以证明 ODOEOF,

    12、即11 2ABC,2 1 2ACB, 所以BOC180(12) 180180A 2 901 2A125. 1.如图所示,在O 上有一点 C(C 不与 A、B 重合),在直径 AB 上有一个动点 P(P 不与 A、B 重合)试判 断 PA、PC、PB 的大小关系,并说明理由 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】当点 P 与点 O 重合时,PAPBPC, 当点 P 在 OA 上时,PAPCPB. 理由:连接 OC, 在POC 中,OCOPPCOPOC, OAOBOC, OAOPPCOPOB,PAPCPB, 同理,当 P 点在 OB 上时,PBPCPA. 2.在 RtABC 中,C90,AC2,

    13、BC4.如果以点 A 为圆心,AC 长为半径作A,那么斜边中点 D 与A 的位置关系是( ) A点 D 在A 外 B点 D 在A 上 C点 D 在A 内 D无法确定 【答案】【答案】A 【解析】【解析】提示:直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。 巩固 3.如图所示,在O 中,如果AB CD,那么 AB_,AOB_;若 OEAB 于点 E,OF CD 于点 F,则 OE_OF. 【答案】【答案】CD COD 【解析】【解析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 4.4.如图所示,AB 是O 的直径,BC CDDE,COD34,则AEO 的度数是_ 【答案】【答案】51 【解析】【解析】

    14、根据弧相等则边相等,等边对等角,平角是 180等可求。 1.设O 的半径为 2,点 P 到圆心的距离为 OP,且 OP 的长是关于 x 的方程 x 23x20 的实数根,试确 定点 P 与O 的位置关系 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解方程 x 23x20,得 x 11,x22,当 OP1 时,点 P 在O 内;当 OP2 时,点 P 在 O 上故点 P 在O 内或O 上 2.如图,AOB90,C,D 是AB 的三等分点,连接 AB 分别交 OC,OD 于点 E,F. 求证:AEBFCD. 拔高 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明:如图所示,连接 AC, C,D 是的三等分

    15、点ACCD, AOCDOB30. 又OAOB,OABOBA,AOEBOF, AEBF. OAOC,AOC30,ACOOAC75. 又OAOB,AOB90,OAE45. AECAOCOAE304575, ACEAEC,AEAC,AEBFCD. 3.如图,已知 A,B,C 是半径为 2 的O 上的三个点,其中 A 是BC 的中点,连接 AB,AC,点 D,E 分别在弦 AB,AC 上,且满足 ADCE. (1)求证:ODOE; (2)连接 BC,当 BC2 2时,求DOE 的度数 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)证明:连接 OA,OB,OC, A 是的中点, AOBAOC. OAOB

    16、OC,ABOBAOACO. ADCE, AODCOE,ODOE. (2)连接 BC 交 OA 于点 F,由条件可知 AO 是 BC 的垂直平分线, OABC,BFCF 2. 在 RtBFO 中,OF OB 2BF2 2, BFOF,AOB45. AODCOE, AODCOE, BODAOE, DOEAOB45. 1.掌握圆的定义及圆的性质. 2.掌握圆的对称性 1. 已知O 的半径是 5,点 A 到圆心 O 的距离是 7,则点 A 与O 的位置关系是( ) A点 A 在O 上 B点 A 在O 内 C点 A 在O 外 D点 A 与圆心 O 重合 【答案】【答案】 C 【解析】【解析】根据定义判断

    17、 课堂小结 拓展延伸 基础 2. 如图, 已知 AB, CD 是O 的两条直径, CEAB, EC 所对的圆心角的度数为 75, 则BOC_ 【答案答案】127.5 【解析解析】提示:连接 OE,平行线转移角,圆中半径处处相等,等边对等角,三角形内角和 180 度。 3.如图,在O 中,CD 是直径,AB 是弦,CDAB,垂足为 M则有 AM=_, _= , _= 【答案答案】BM AC AD 【解析解析】根据圆的对称性 1.如下图所示,在ABC 中,AB 为的O 直径,B=60,C=70,则BOD 的度数是( ) A80 B90 C100 D120 【答案答案】100 【解析】根据三角形内角

    18、和,等边对等角,平角是 180可求得。 2.如图,点 P 是以 O 为圆心,AB 为直径的半圆上的动点,AB2.设弦 AP 的长为 x,APO 的面积为 y, 则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( ) B M O A C D 巩固 【答案答案】A 【解析】做高,根据三角函数求高,然后根据三角形面积公式可得。 3.在 RtABC 中,ACB90,BC8 cm,AB10 cm,CD 是斜边 AB 的中线,以 AC 为直径作O, P 为 CD 的中点,点 C,P,D 与O 有怎样的位置关系? 【答案答案】见解析 【解析】如下图,在 RtABC 中,ACB90,BC8 cm,AB

    19、10 cm, AC AB 2BC26 cm. OC1 2AC 1 263(cm) 连接 OP.P 为 CD 的中点, OP1 2AD 1 4AB2.5(cm) O 的半径 rOC1 2AC3 cm, 点 C 在O 上,点 P 在O 内 连接 OD.D 为 AB 的中点,OD1 2BC 1 284(cm)3 cm,点 D 在O 外 拔高 1.如图,AB 是半圆 O 的直径,四边形 CDEF 是内接正方形。 (1)求证:OC=OF; (2)在正方形 CDEF 的右侧有一正方形 FGHK,点 G 在 AB 上,H 在半圆上,K 在 EF 上。若正方形 CDEF 的边为 2,求正方形 FGHK 的面积

    20、。 【答案答案】见解析 【解析】解答: (1)证明:连接 OD,OE,则 OD=OE, 四边形 CDEF 为正方形 CD=FE,DCO=EFO=90 , 在 RtDOC 和 RtEOF 中: OD=OE,CD=FE RtDOCRtEOF,OC=OF. (2)连接 OH,设正方形 FGHK 的边长为 x. 由已知及(1)可得 EF=2,OF=1. 在 RtOEF 中,OE2=OF2+EF2=12+22=5. 在 RtOHG 中,OH2=OG2+GH2,OE=OH, 5=(1+x)2+x2. 整理得 x 2+x2=0. 解得 x1=2(不合题意,舍去), x2=1.x2=1 正方形 FGHK 的面

    21、积为 1. 2.如图,MN 是O 的直径,弦 AB,CD 相交于直线 MN 上的一点 P,APMCPM. (1)如图,根据以上条件,若交点 P 在O 的内部,试判断 AB 和 CD 的大小关系,并说明理由 (2)如图,若交点 P 在O 的外部,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请加以证明;若不成立, 请说明理由 【答案答案】见解析 【解析解析】解:(1)ABCD. 理由:过点 O 分别作 OEAB 于点 E,作 OFCD 于点 F. APMCPM,APMBPN,CPMDPN,OPEOPF. OEAB,OFCD,OEPOFP90. 又OPOP,OPEOPF,OEOF, ABCD. (2)ABC

    22、D 仍然成立 证明:过点 O 分别作 OEAB 于点 E,OFCD 于点 F. OEAB,OFCD,OEPOFP90. APMCPM,OPOP, OPEOPF,OEOF,ABCD. 3.小贾和同学一起到游乐场玩大型摩天轮摩天轮的半径为 20 m,匀速转动一周需要 12 min,小贾乘坐最 底部的车厢(离地面 0.5 m) (1)经过 2 min 后小贾到达点 Q(如下图),此时他离地面的高度是多少? (2)在摩天轮转动的过程中,小贾将有多长时间连续保持在离地面不低于 30.5 m 的空中? 【答案答案】见解析 【解析解析】解:(1)作 QCOA,垂足为 C,连接 OQ,如图 3234. 旋转一

    23、周需要 12 min, AOQ 2 1236060. 在 RtOQC 中,OQ20 m, OCOQcos60201 210(m), CAOAOC200.51010.5(m) 即小贾从底部开始旋转 2 min 后离地面 10.5 m. (2)延长 AO 交O 于点 H.设小贾在 D 处离地面 30.5 m,作 DPAH,垂足为 G,连接 OD,OP,则 GA 30.5 m, HG10 m,OG10 m. 由 sinDOG OD 10 20 1 2,得D30, DOG60,由点 D 转到点 H 所用时间为 60 360122(min) 由于摩天轮匀速转动,根据圆的对称性,则小贾将有 4 min 的时间连续保持在离地面不低于 30.5 m 的空中 教学反思


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