1、 二次函数与一元二次方程 第10讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1. 二次函数与一元二次方程 2. 二次函数与不等式 3. 二次函数与方程和不等式综合 教学目标 1.掌握二次函数与一元二次方程的联系 2.掌握二次函数与不等式的联系 3.掌握利用函数图像解决实际问题 教学重点 能熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系 教学难点 能熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系 【教学建议】【教学建议】 本节课的内容在二次函数中占有着重要的地位，也是中考中的必考内容。函数是方程和不等式的高级 形式，借助图象，可以用函数的观点去统领一元二次方
2、程和一元二次不等式，在实际问题中有着重要的应 用。在教学中要让学生充分体会到处理函数问题的方法：“胸中有图，见数想图”。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1. 二次函数与 x 轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根； 2. 由图象判别函数值的情况。 3.对 hcbxax 2 的不同理解方式。 【知识导图】【知识导图】 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 二次函数与不等式 二次函数与方程和不等式综合 概述 【教学建议】【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函 数是方程和不等式的高级形式，本节课主要是用函
3、数的观点去统领对应的一元二次方程和一元二次不等式， 可以全面考察学生的读图识图能力，在中考数学试卷中，也是必考题，一般不单独设题，常与其它知识融 合在一起考。 二次函数 y=ax 2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的关系. （1）一般地，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根；当二次 函数 y=ax 2+bx+c 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根； （2）若抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点坐标分别为( 1,0 x )， 2 (,0)x ，那么
4、对应方程 ax 2+bx+c=0 的两个根 即为 12 ,x x，结合一元二次方程根与系数关系可知 12 , b xx a 12 c xx a （3）二次函数与 x 轴的交点情况和一元二次方程根的情况的关系具体见下表： 二次函数 y=ax 2+bx+c 与 x 轴交点情况 a0 两个交点 一个交点 没有交点 a0 两个交点 一个交点 没有交点 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 二次函数与一元二次方程 2 4bac的值 2 40bac 2 40bac 2 40bac 一元二次方程 ax 2+ bx+c=0 根的情 况 有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实根 二次函数与一元二次
5、不等式解集的关系二次函数与一元二次不等式解集的关系 （1）从“形”的方面看二次函数 y=ax 2+bx+c 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标，即为 ax2+bx+c0 的解集， 在 x 轴下方的图象上的点的横坐标，即为 ax 2+bx+c0 的解集；从“数”的方面看，当二次函数 y=ax2+bx+c 的函数值大于 0 时，相应的自变量的值即为不等式 ax 2+bx+c0 的解集，当二次函数 y=ax2+bx+c 的函数值小 于 0 时，相应的自变量的值即为不等式 ax 2+bx+c0 b 2-4ac=0 b 2-4acy2，求实数 n 的取值范围。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(
6、1)y=x 2+2x+m=(x+1)2+m1，对称轴为直线 x=1， 与 x 轴有且只有一个公共点，顶点的纵坐标为 0，C1的顶点坐标为(1,0)； (2)设 C2的函数关系式为 y=(x+1)2+k， 把 A(3,0)代入上式得(3+1)2+k=0，得 k=4，C2的函数关系式为 y=(x+1) 24. 抛物线的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点为 A(3,0)，由对称性可知，它与 x 轴的另一个 交点坐标为(1,0)； (3)当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大，当 n 1 时， y1y2，n2. 知识点 3 二次函数与方程和不等式综合 三、例题精析 例题 1 例题 2 当 n
7、1， y1y2，2n2，n2 或 n0 的解集是 ； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围是 。 (4)若方程 ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）由图象可得 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴两交点坐标分别为(1,0)和(3,0)， 抛物线的对称轴为直线 x=2， 方程 ax 2+bx+c=0 的两个根是：x 1=1,x2=3； （2）由图象可得：不等式 ax 2+bx+c0 的解集为 1x2 时,y 随 x 的增大而减小； （4）方程 ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根可以看做
8、y=ax2+bx+c 与 y=k 的交点有两个 如图所示： 例题 3 根据图象可得：当 k2 时,方程 ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根。 【题干】【题干】在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx 22(k1)xk25 2 k（k 为常数） （1）若抛物线经过点(1，k 2)，求 k 的值 （2）若抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，且 y1y2，求 k 的取值范围 （3）若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线，当 1x2 时，新抛物线对应的函数有最小值 3 2 ，求 k 的值 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）抛物线 yx 22(k1)xk25
9、2 k（k 为常数）经过点(1，k 2)， 12(k1)k 25 2 kk 2解得 k2 3 （2）抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)， y1(2k) 24k (k1)k25 2 kk 23 2 k，y244(k1)k 25 2 kk 213 2 k8； 又y1y2，k 23 2 kk 213 2 k8，k1 （3）抛物线 yx 22(k1)xk25 2 k(xk1) 21 2 k1， 平移后的解析式为 y(xk) 21 2 k1该抛物线的对称轴为直线 xk 若 k1，则当 x1 时，y 有最小值 3 2 (1k) 21 2 k1 3 2 ，解得11，2 3 2 k1，11，2 3 2
10、 都不符合题意，舍去 若 1k2，则当 xk 时，y 有最小值 3 2 1 2 k1 3 2 ，解得1 若 k2，则当 x2 时，y 有最小值 3 2 (2k) 21 2 k1 3 2 ，解得13，2 3 2 例题 4 k1，3 综上，k 的值为 1 或 3 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在用二次函数的观点去看对应的一元二次方程和一元二 次不等式，教师在教学中，先把例题讲解清晰，帮助学生形成相应的知识结构图；再给学生做针对性的练 习，抓住它们三者之间的内在逻辑联系。 1.一元二次方程 ax 2+bx+c=h 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 的图像
11、与直线 交点的 坐标。 【答案】【答案】y=h，横 【解析】【解析】根据二次函数与一元二次方程之间的关系易得。 2.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y（m）与飞行时间 x（s）的关系满足 y= 1 5 x 2+1Ox. (1)经过多长时间，炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少? (2)经过多长时间，炮弹落在地上爆炸? 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)y= 1 5 x 2+1Ox. y= 1 5 (x 250 x)， y= 1 5 (x25) 2+125. a=150，x=50 四 、课堂运用 基础 3. “如果二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴有两
12、个公共点,那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实 数根。”请根据你对这句话的理解,解决下面问题：若 m、n(mn)是关于 x 的方程 1(xa)(xb)=0 的两根, 且 ab,则 a、b、m、n 的大小关系是（ ） A. mabn B.amnb C.ambn D.manb 【答案】【答案】A 【解析】【解析】依题意,画出函数 y=(xa)(xb)的图象，如图所示。 函数图象为抛物线,开口向上,与 x 轴两个交点的横坐标分别为 a,b(ab). 方程 1(xa)(xb)=0 转化为(xa)(xb)=1， 方程的两根是抛物线 y=(xa)(xb)与直线 y=1 的两个交点。 由
13、 mn，可知对称轴左侧交点横坐标为 m，右侧为 n. 由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随 x 增大而减少，则有 ma；在对称轴右侧，y 随 x 增大而 增大，则有 bn. 综上所述，可知 mabn. 1.当 m 取何值时，抛物线 y=x 2与直线 y=xm （1）有公共点； （2）没有公共点 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）抛物线 y=x 2与直线 y=xm 有公共点，反映在图象上就是它们两个的图象有交点，反映在数 巩固 量上就是由它们两个联立得方程有实数根，即 x 2=xm 有实数根，所以0，即 1+4m0，解得：m- 4 1 . （2）同理可得，x 2=xm 没有实数根
14、，即 1+4m0,解得：m 4 1 . 2.已知关于 x 的方程 x 2(2k3)x+k2+1=0 有两个不相等的实数根 x 1、x2. (1)求 k 的取值范围； (2)试说明 x10，x20， 即12k+50k 5 12 (2)x1+x2=2k30，x 10，x20. (3)依题意，不妨设 A(x1,0)，B(x2,0). OA+OB=|x1|+|x2|=(x1+x2)=(2k3) OA OB=|x1|x2|=x1x2=k 2+1， OA+OB=2OA OB3，(2k3)=2(k 2+1)3，解得 k 1=1，k2=2. k0. 解：设 y=x 22x3，则 y 是 x 的二次函数.a=1
15、0，抛物线开口向上。 又当 y=0 时,x 22x3=0,解得 x 1=1,x2=3. 由此得抛物线 y=x 22x3 的大致图象如图所示。 观察函数图象可知：当 x3 时，y0. x 22x30 的解集是：x3. (1)观察图象,直接写出一元二次不等式：x 22x30.(大致图象画在答题卡上) 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)1x0，抛物线开口向上。 又当 y=0 时,x 21=0，解得 x 1=1,x2=1. 由此得抛物线 y=x 21 的大致图象如图所示。观察函数图象可知：当 x1 时，y0. x 210 的解集是：x1. 回忆以下三个方面的知识： 1.二次函数与一元二次方
16、程 2.二次函数与不等式 3.二次函数与方程和不等式综合 1. 已知二次函数 y=ax 2+bx+c(a0)的顶点坐标(1,3.2)及部分图象(如图)， 由图象可知关于 x 的一元二次 方程 ax 2+bx+c=0 的两个根分别是 x 1=1.3 和 x2=( ) 课堂小结 拓展延伸 基础 A. 1.3 B. 2.3 C. 0.3 D. 3.3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据对称轴为;x=1,关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的两个根分别是 x 1=1.3， 则 12 1 2 xx ,即， 2 1.3 1 2 x , 解得：x2=3.3，故选 D 2. 如图， 以 （
17、1， -4） 为顶点的二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点， 则一元二次方程 ax2+bx+c=0 的正数解的范围是（ ） A2x3 B3x4 C4x5 D5x6 【答案答案】C 【解析解析】二次函数 y=ax 2+bx+c 的顶点为（1，-4），对称轴为 x=1，而对称轴左侧图象与 x 轴交点横坐 标的取值范围是-3x-2，右侧交点横坐标的取值范围是 4x52 3.已知二次函数 y2(x1)(xm3)(m 为常数) （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有公共点； （2）当 m 取什么值时，该函数的图像与 y 轴的交点在 x 轴的上方？ 【答案
18、答案】见解析 【解析解析】（1）证明：当 y0，根据方程 2(x1)(xm3)0 解得 x11，x2m3 所以，不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有公共点 （2）解：当 x0 时，y2m6，即该函数的图像与y轴交点的纵坐标是 2m6 当 2m60，即 m3 时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方 1. 已知二次函数 yx 2 2xm 的图象 C1与 x 轴有且只有一个公共点。 （1）求 C1 的顶点坐标； （2）将 C1向下平移若干个单位后，得抛物线 C2，如果 C2与 x 轴的一个交点为 A（3，0），求 C2 函数关 系式，并求 C 2与 x 轴的另一个交点的坐标 【答案答案】见
19、解析 【解析】（1）C1的顶点坐标为（-1，0）； （2）C2的函数关系式为 y=（x+1 2-4它与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0） 2.已知二次函数 yax 2bxc 的图象如图所示，对称轴为直线 x1，则下列结论正确的是（ ） A. ac0 B.方程 ax 2+bx+c=0 的两根是 x 1=-1，x2=3 C. 2a-b=0 D.当 y0 时，y 随 x 的增大而减小. 【答案答案】B 【解析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与 x 轴、y 轴的交点，逐一判断：A、抛物线开口向下，与 y 轴 交于正半轴，所以 a0,ac1 时，y 随 x 的增大而减小，故本选项错误。 巩固 3.阅读
20、材料，解答问题 利用图象法解一元二次不等式：x 2+2x-30 解：设y=x 2+2x-3，则y是x的二次函数a=10，抛物线开口向上 又当y=0时，x 2+2x-3=0，解得x 1=1，x2=-3 由此得抛物线y=x 2+2x-3的大致图象如图所示 观察函数图象可知：当-3x1时，y0 x 2+2x-30的解集是：-3x1时 （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2+2x-30的解集 （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：-2x 2-4x+60 （3）不等式 2x 2-4x+60 有解吗？若有，求出其解集；若没有请结合图象说明理由 【答案答案】见解析 【解析】（1）x 2+2x-3
21、0 的解集是 x1 或 x-3； （2）设 y=-2x 2-4x+6，则 y 是 x 的二次函数， a=-20， 抛物线开口向下， 又当 y=0 时，-2x 2-4x+6=0，解得 x 1=1，x2=-3 由此得抛物线 y=x 2+2x-3 的大致图象如图所示， 观察函数图象可知：当-3x1 时，y0 -2x 2-4x+60 的解集是：-3x1 时 （3）抛物线 y=2x 2-4x+6 的图象如图所示，由图象可知，无论 x 取何值，y0， 即不可能 y0，所以，不等式 2x 2-4x+60 无解 1.已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的 纵坐标为，若，是方程的两根，且 （1）求，两点坐
22、标； （2）求抛物线表达式及点坐标； （3）在抛物线上是否存在着点，使面积等于四边形面积的 2 倍，若存在，求出点坐 标；若不存在，请说明理由 2 yaxbxcyCx 1 (0)A x， 212 (0)()B xxx，M 4 1 x 2 x 22 2(1)70 xmxm 22 12 10 xx AB C PPABACMBP 拔高 【答案答案】见解析 【解析】（1）由， ，得， （2）抛物线过，两点，其对称轴为，顶点纵坐标为，抛物线为把 ，代入得，抛物线函数式为，其中 （3）存在着点， 即，把代入抛物线方程得， 所以 P 的坐标为）或（9 ,1319 ,13-1。 2.如图，若二次函数 2 ya
23、xbxc（a0）图象的对称轴为 x1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点 B（1，0）则二次函数的最大值为 abc；abc0；b4ac0；当 y0 时，1x 3其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 12 2(1)xxm 2 12 7x xm 22222 121212 ()24(1)2(7)10 xxxxx xmm2m 1 1x 2 3x ( 10)A ， (3 0)B ， AB1x 4 2 (1)4ya x 1x0y 1a 2 23yxx(03)C， P( 10)A ，(03)C，(14)M，(3 0)B ，9 ACMB S 四形 18 ABP S 1 18 2 P yA
24、B 4AB 9 P y9y 1 113x 2 113x x y -1 B O C A x=1 【答案答案】B 【解析解析】由图像可知，当 x1 时，函数值取到最大值，最大值为：abc，故正确；因为抛物线经过点 B（1，0），所以当 x1 时，yabc0，故错误；因为该函数图象与 x 轴有两个交点 A、B，所 以 b4ac0，故错误；因为点 A 与点 B 关于直线 x1 对称，所以 A(3，0)，根据图像可知，当 y0 时，1x3，故正确；故选 B 3.如图，抛物线 2 45 7 2 1 2 xxy与 x 轴的交于点 A、B，把抛物线在 x 轴即其下方的部分记作 C1，将 C1向左平移得 C2，
25、C2与 x 轴的交于点 B、D若直线mxy 2 1 与 C1、C2共有三个不同的交点，则 m 的取值范围是 A 2 5 -m 8 45 B 2 1 -m 8 29 C 2 5 -m 8 29 D 2 1 -m 8 45 【答案答案】C 【解析解析】 在 y 2 45 7 2 1 2 xx中， 令 y0， 解得 x19,x25， 点 A， B 的坐标分别为 （9， 0） ， （5， 0） C2是由 C1向左平移得到的，点 D 的坐标为（1，0），C2对应的函数解析式为 y23 2 1 2 ）（x 2 5 3 2 1 2 xx（1x5）当直线 ymx 2 1 与 C2相切时，可知关于 x 的一元二次方程 2 5 3 2 1 2 xx mx 2 1 有两个相等的实数根，即方程 x 27x52m0 有两个相等的实数根，（7）241（5 2m）0，解得 m 8 29 当直线 ymx 2 1 过点 B 时，可得 0m5 2 1 ，解得 m 2 5 如图，故 当 8 29 m 2 5 ，直线 ymx 2 1 与 C1，C2共有 3 个不同的交点 教学反思
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