1、 弧长及扇形的面积 第17讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.弧长公式 2.扇形面积公式 3.利用扇形面积公式求不规则图形的面积 教学目标 1.掌握弧长的求解方法 2.掌握扇形的面积公式及应用 教学重点 能熟练掌握弧长及扇形的面积的求解方法 教学难点 能熟练掌握弧长及扇形的面积的求解方法 【教学建议】【教学建议】 本节课的内容是圆中常见的计算：弧长及扇形的面积，也是中考数学中的常考内容。在教学中要让学 生知道弧长及面积公式如何推导而来的，会处理一些较复杂图形中的一些相关运算问题。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难：
2、 1. 对两个扇形面积公式的理解。 2. 复杂图形中不规则图形面积的计算问题。 【知识导图】【知识导图】 【教学建议】【教学建议】 弧长及扇形的面积 弧长 扇形面积 弧长公式 扇形面积公式 利用扇形面积公式求不规则图形的面积 概述 教学过程 一、导入 弧长及扇形的面积，是中考数学中的常考内容。一般以选择或填空题的形式出现，弧长的计算一般较简单， 而有关面积的计算，一般比较复杂，多在复杂图形中考察非规则图形面积的计算问题。教师在平时的教学 中要注意渗透非规则图形如何转化成规则图形的问题，帮助学生总结一些比较经典的模型。 n的圆心角所对的弧长 L= 180 n R 来 1.扇形的概念：由组成圆心角
3、的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。 2.圆心角为 n的扇形面积是 S扇形= 2 360 n R =lR 2 1 【题干】在半径为 3 的圆中，150的圆心角所对的弧长是（ ） A B C D 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据弧长公式即可求得。 【题干】【题干】如图，ABC 中，D 为 BC 的中点，以 D 为圆心，BD 长为半径画一弧交 AC 于 E 点，若A=60， B=100，BC=4，则扇形 BDE 的面积为何？（ ） 二、知识讲解 知识点 1 弧长 知识点 2 扇形面积 三、例题精析 例题 1 例题 2 A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】A=60，B
4、=100， C=18060100=20， DE=DC， C=DEC=20， BDE=C+DEC=40， S扇形DBE= = 故选：C 【题干】【题干】如图，AB 是O 的直径，点 D 为O 上一点，且ABD=30，BO=4，则的长为（ ） A B C2 D 【答案】【答案】D 【解析】【解析】解：连接 OD， ABD=30， AOD=2ABD=60， BOD=120， 的长=， 故选：D 例题 3 【题干】【题干】如图，已知O 的半径是 2，点 A、B、C 在O 上，若四边形 OABC 为菱形，则图中阴影部分面 积为（ ） A2 B C2 D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】解：连接 OB
5、 和 AC 交于点 D，如图所示： 圆的半径为 2， OB=OA=OC=2， 又四边形 OABC 是菱形， OBAC，OD=OB=1， 在 RtCOD 中利用勾股定理可知：CD=，AC=2CD=2， sinCOD=， COD=60，AOC=2COD=120， 例题 4 S菱形ABCO= OBAC=22=2， S扇形AOC=， 则图中阴影部分面积为 S菱形ABCOS扇形AOC=2， 故选：C 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习。 1.已知圆锥的侧面积是 8cm 2，若圆锥底面半径为 R（cm），母线长为 l（cm），则 R 关
6、于 l 的函数图象大 致是（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由题意得，2Rl=8， 则 R=，故选：A 2.如图，O 的直径 AB=6，若BAC=50，则劣弧 AC 的长为（ ） 四 、课堂运用 基础 A2 B C D 【答案】【答案】D 【解析】【解析】如图，连接 CO， BAC=50，AO=CO=3， ACO=50， AOC=80， 劣弧 AC 的长为=， 故选：D 3.如图，从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90的扇形，则此扇形的面积为（ ） A 2 B Cm 2 D2m2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】解： 连接 AC， 从一块直径为 2
7、m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90的扇形，即ABC=90， AC 为直径，即 AC=2m，AB=BC， AB2+BC2=22， AB=BC=m， 阴影部分的面积是=（m 2）， 故选：A 1.如图，在 ABCD 中，B=60，C 的半径为 3，则图中阴影部分的面积是（ ） A B2 C3 D6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】在 ABCD 中，B=60，C 的半径为 3， C=120， 图中阴影部分的面积是： =3，故选：C 2.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为 25m 2，圆柱高为 3m， 圆锥高为 2m 的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ） A（
8、30+5）m 2 B40m2 C（30+5）m 2 D55m2 巩固 【答案】【答案】A 【解析】【解析】设底面圆的半径为 R， 则R 2=25，解得 R=5， 圆锥的母线长=， 所以圆锥的侧面积=25=5； 圆柱的侧面积=253=30， 所以需要毛毡的面积=（30+5）m 2 故选：A 3.如图，扇形 OAB 中，AOB=100，OA=12，C 是 OB 的中点，CDOB 交于点 D，以 OC 为半径的 交 OA 于点 E，则图中阴影部分的面积是（ ） A12+18 B12+36 C6 D6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】如图，连接 OD，AD， 点 C 为 OA 的中点， OC=OA
9、=OD， CDOA， CDO=30，DOC=60， ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6， CD=，6， S扇形AOD= =24， S阴影=S扇形AOBS 扇形COE（S扇形AODSCOD） =（2466） =18+6 故选：C 1.如图，正方形 ABCD 内接于O，O 的半径为 2，以点 A 为圆心，以 AC 长为半径画弧交 AB 的延长线 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积为（ ） A44 B48 C84 D88 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形 AEF 的面积ABD 的面积=42=4 4，故选：A 2.如图
10、，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形， 若 AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） 拔高 A B C2 D2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】过 A 作 ADBC 于 D， ABC 是等边三角形， AB=AC=BC=2，BAC=ABC=ACB=60， ADBC， BD=CD=1，AD=BD=， ABC 的面积为=， S扇形BAC=， 莱洛三角形的面积 S=32=22， 故选：D 3.如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径 AB 长为 2cm，BOC=60，BCO=90，将BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至BOC，点 C在
11、 OA 上，则边 BC 扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm2 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】BOC=60，BOC是BOC 绕圆心 O 逆时针旋转得到的， BOC=60，BCO=BCO， BOC=60，CBO=30， BOB=120， AB=2cm， OB=1cm，OC=， BC=， S扇形BOB= =， S扇形COC=， 阴影部分面积=S扇形BOB+SBCOSBCOS扇形COC=S扇形BOBS 扇形COC=； 故答案为： 1.弧长公式 2.扇形面积公式 3.利用扇形面积公式求不规则图形的面积 1. 若要用一个底面直径为 10，高为 12 的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底
12、面半径和高相同的 圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ） A60 B65 C78 D120 【答案】【答案】B 课堂小结 拓展延伸 基础 【解析】【解析】由题意可得：圆锥的底面半径为 5，母线长为： =13， 该圆锥的侧面积为：513=65 故选：B 2. 如图，正方形 ABCD 内接于 O，AB=2，则的长是（ ） A B C2 D 【答案答案】A 【解析解析】解：连接 OA、OB， 正方形 ABCD 内接于 O， AB=BC=DC=AD， =， AOB=360=90， 在 RtAOB 中，由勾股定理得：2AO2=（2）2， 解得：AO=2， 的长为=， 故选：A 3.已知圆锥的母线长为 6， 将其
13、侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为 120， 则该扇形的面积是 （ ） A4 B8 C12 D16 【答案答案】C 【解析解析】该扇形的面积=12故选：C 1.如图，在平行四边形ABCD中，ABAD，D=30，CD=4，以AB为直径的O交BC于点E，则阴影部分 的面积为 【答案答案】见解析 【解析】连接OE、AE， AB是O的直径， AEB=90， 四边形ABCD是平行四边形， AB=CD=4，B=D=30， AE=AB=2，BE=2， OA=OB=OE， B=OEB=30， BOE=120， S阴影=S扇形OBESBOE， =， =， =， 故答案为： 2.如图，在边长为 4 的正方形
14、 ABCD 中，以点 B 为圆心，以 AB 为半径画弧，交对角线 BD 于点 E，则图中 巩固 阴影部分的面积是 （结果保留） 【答案答案】82 【解析】S阴=SABDS扇形BAE= 44=82， 故答案为 82 3.如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=2，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交 AB 于点 E，图中阴影部 分的面积是 （结果保留） 【答案答案】6 【解析】矩形 ABCD，AD=2， S阴影=S矩形S 四分之一圆=232 2=6， 故答案为：6 1.如图，点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，点 M 为 AF 中点，以点 O 为圆心，以 OM 的长为半径画弧得到
15、扇形 MON，点 N 在 BC 上；以点 E 为圆心，以 DE 的长为半径画弧得到扇形 DEF，把扇形 MON 的两条半 径 OM，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为 r1；将扇形 DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径 记为 r2，则 r1：r2= 拔高 【答案答案】：2 【解析】连 OA 由已知，M 为 AF 中点，则 OMAF 六边形 ABCDEF 为正六边形 AOM=30 设 AM=a AB=AO=2a，OM= 正六边形中心角为 60 MON=120 扇形 MON 的弧长为： a 则 r1= a 同理：扇形 DEF 的弧长为： 则 r2= r1：r2= 故答案为：2 2.如图
16、，点 A1的坐标为（2，0），过点 A1作 x 轴的垂线交直线 l：y= x 于点 B1，以原点 O 为圆心，OB1 的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A2；再过点 A2作 x 轴的垂线交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心，以 OB2 的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A3；按此作法进行下去，则的长是 【答案答案】 【解析解析】直线 y=x，点 A1坐标为（2，0），过点 A1作 x 轴的垂线交 直线于点 B1可知 B1点的坐标为（2， 2）， 以原 O 为圆心，OB1长为半径画弧 x 轴于点 A2，OA2=OB1， OA2=4，点 A2的坐标为（4，0）， 这种方法可求得 B2的坐标为（4，4），故点 A3的坐标为（8，0），B3（8，8 ） 以此类推便可求出点 A2019的坐标为（22019，0）， 则的长是= 故答案为： 3.如图，88 的正方形网格纸上有扇形 OAB 和扇形 OCD，点 O，A，B，C，D 均在格点上若用扇形 OAB 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为 r1；若用扇形 OCD 围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底 面半径为 r2，则的值为 【答案答案】 【解析解析】2r1=、2r2=， r1= 、r2= ， =， 故答案为： 教学反思
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