1、 解直角三角形 第3讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.已知两边解三角形 2.已知一边及一锐角解三角形 3.已知一边及一锐角三角函数值解三角形 教学目标 1.掌握解直角三角形的定义 2.掌握解直角三角形的方法 教学重点 能熟练掌握解直角三角形的方法 教学难点 能熟练掌握解直角三角形的方法 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是让学生掌握解直角三角形的方法，规范解直角三角形的书写格式等问题。在授课过 程中，教师要注重易错点的点拨，在解题时，要帮助学生积累一些基本的直角三角形模型。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难
2、： 1. 三角函数种类的选择。 2. 三种类型直角三角形的解法。 3.实际问题中的解直角三角形。 【知识导图】【知识导图】 解直角三角形 已知两边解三角形 已知一边及一锐角解三角形 已知一边及一锐角三角函数值解三角形 概述 教学过程 一、导入 【教学建议】【教学建议】 解直角三角形为中考必考内容，至少有一道是解答题，常是利用解直角三角形的相关知识来解决实际问题。 在解直角三角形的综合题中，常与非特殊角结合在一起考，这种题几乎是中考数学的必考题。在教学中， 一要注意强调书写格式问题；二是要给学生储备典型的直角三角形模型（如：背靠背型和母子型等）。 类型 已知 解法 两边 两直角边 a，b 由 t
3、anA a b ，求A；B90A；c 22 ab 一直角边 a，斜边 c 由 sinA a c ，求A；B90A；b 22 ca 一边一锐角 一直角边 a，锐角 A B90A，batanB，c sin a A 斜边 c，锐角 A B90A，acsinA，bccosA 教师和学生一起总结已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形的所有情况 1. 一直角边+其对角的三角函数值 2. 一直角边+其邻角的三角函数值 3. 一斜边+任意一锐角的三角函数值 【题干】如图，已知一商场自动扶梯的长 l 为 10 米，该自动扶梯到达的高度 h 为 6 米，自动扶梯与地面所 二、知识讲解 知识点 1 已知两边解直角三
4、角形 知识点 2 已知一边及一锐角解直角三角 知识点 3 已知一边及一锐角三角函数值解三角 三、例题精析 例题 1 成的角为，则 tan的值为（ ）。 A、 4 5 B、 4 3 C、 3 4 D、 3 5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面 l 和铅直高度 h 的长，可用勾股定理求出坡面的水 平宽度，进而求出的正切值 解：如图； 在 RtABC 中，AC=l=10 米，BC=h=6 米； 根据勾股定理，得：AB= 22 BC-AC =8 米； tan= 4 :3 AB: BC； 故选 C 【题干】【题干】王英同学从 A 地沿北偏西 60方向走 10
5、0m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地，此时 王英同学离 A 地（ ） A、50m B、100m C、150m D、100m 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据三角函数分别求 AD，BD 的长，从而得到 CD 的长再利用勾股定理求 AC 的长即可 100m 200m C A B 南 东 北 西 33 例题 2 解答：解：AD=ABsin60=503； BD=ABcos60=50，CD=150 AC= 22 (50 3)150=1003 故选 D 【题干】【题干】如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为 i=23，顶宽是 3 米，路基高是 4 米，则 路基
6、的下底宽是（ ） A. 7 米 B. 9 米 C. 12 米 D. 15 米 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 腰的坡度为 i=2：3，路基高是 4 米， DE=6 米 又EF=AB=3 CD=6+3+6=15 米 故选 D 【题干】【题干】如图，四边形 ABCD 中，A=135，B=D=90，BC=23，AD=2，则四边形 ABCD 的面积 是（ ） A.42 B.43 C.4 D.6 【答案】【答案】A 例题 3 例题 4 【解析】【解析】作辅作线，构造直角三角形，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三 角形边的关系，可求出各边的长，然后四边形 ABCD 的面积 分
7、别延长 CD，BA 交于点 E DAB=135， EAD=C=E=45， BE=BC=23，AD=ED=2， 四边形 ABCD 的面积=SEBC-SADE= 2 1 BCBE- 2 1 ADDE=6-2=4 故选 D. 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在解直角三角形的三种类型上，先把例题讲解清晰，再 给学生做针对性的练习，注意基本模型的总结和积累。 1. 在 RtABC 中，90C，5BC ，15AC ，则A 的度数为（ ）。 A、90 B、60 C、45 D、30 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 四 、课堂运用 基础 12 sin30cos60,s
8、in45cos45, 22 33 sin60cos30,tan30,tan451,tan603, 23 ； 如图所示: 53 tan30 315 BC AA AC ，选 D； 2.如图是固定电线杆的示意图。已知：CDAB，CD33m，CAD=CBD=60，则拉线 AC 的长是 _m。 【答案】【答案】6 【解析】【解析】根据CAD 的正弦函数即可求得结果. 由图可得 sinCAD AC CD ， AC 33 2 3 ，解得.6mAC 3.某水坝的坡度 i1: 3，坡长 AB20 米，则坝的高度为 A10 米 B20 米 C40 米 D203米 【答案】【答案】A 【解析】【解析】坡度 i=1：
9、3， 设 AC=x，BC=3x， 根据勾股定理得， AC 2+BC2=AB2， 则 x 2+（ 3x） 2=202， 解得 x=10 故选 A 1.在 RtABC 中，C=90，AC=2，BC=6，解这个直角三角形 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】tanA= 6 2 BC AC =3， A=60 B=90-A=90-60=30 AB=2AC=22 2.如图，在 RtABC 中，C=90，CDAB 于 D，已知 sinA= 2 1 ，BD=2，求 BC 的长。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】本题考查相似三角形的判定，性质及三角函数的应用 因为90C，所以90BA； 又CDAB于
10、点D，则90BBCD 所以ABCD 因为 1 sin 2 A ，所以 1 sin 2 BCD 因为CDAB 所以sin BD BCD BC ，又2BD 所以 21 2BC ，故4BC 即4BC C D B A 巩固 拔高 1.如图，在 RtABC 中，C=90，AC=8，A 的平分线 AD= 3 316 ，求B 的度数及边 BC、AB 的长. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】在 RtACD 中，根据CAD 的余弦函数即可求得CAD=30，BAD=CAD=30，从而得到 CAB=60，B=90CAB=30，再根据B 的正弦函数即可求得 AB 的长，从而求得 BC 的长. 在 RtACD
11、中，cosCAD= AD AC = 3 316 8 = 2 3 ，CAD 为锐角. CAD=30，BAD=CAD=30，即CAB=60. B=90CAB=30. sinB= AB AC ，AB= B AC sin = 30sin 8 =16. 又cosB= AB BC ， BC=ABcosB=16 2 3 =83. 2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30，看这栋高楼底部的俯角为 60，热气球 与高楼的水平距离为 120m，问这栋高栋有多高？（结果精确到 0.1m） 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解：=30，=60，AD=120 tan= ,tan BDCD AD
12、AD BD=ADtan=120tan30=120 3 3 =43， CD=ADtan=120tan60=1203=1203， BC=BD+CD=403+1203=1603277.1 答：这栋楼房约为 277.1m 3.如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanB=cosDAC （1）求证：AC=BD;（2）若 sinC=12 13 ，BC=12，求 AD 的长 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】在ABC 中，AD 是 BC 边上的高， tanB=,cos; ADAD DAC BDAC 又tanB=cosDACBD=AC （2）sinC=12 13 ，设 AD=12x，AC=13
13、x，CD=5x，BD=13x，则 BC=18x， 又BC=12，18x=12，即 x= 2 3 ， AD=8 1已知两边解直角三角形的方法； 2.已知一边及一锐角解三角形的方法 3.已知一边及一锐角三角函数值解三角形的方法 DCB A 课堂小结 拓展延伸 1. 如图，某飞机在空中 A 处探测到它的正下方地平面上目标 C，此时飞行高度 AC1200m，从飞机上看到 地平面指挥台 B 的俯角30，则飞机 A 与指挥台 B 的距离为（ ） A.1200 m B.12002 m C.1200 m3 D.2400 m 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用B 的正弦函数即可得到 2. 如图，水坝的横断
14、面是梯形，背水坡 AB 的坡度为3：1，坡长 AB=203m，为加强水坝强度，将坝底 从 A 处向后延伸到 F 处，使新的背水坡 BF 的坡度为 1:1，求 AF 的长度（结果精确到 1 米，参考数据： 1.414，1.732）. 【答案答案】13 【解析解析】过 B 作 BEAD 于 E，在 RtABE 中，tanBAE BE AE 3， 则BAE60 ，AE 3 3 BE103，BE30，tanBFE BE EF 1，BEEF30，AFEFAE30 10313 m 1.如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处，测得CAO45.轮 船甲自西向东匀速
15、行驶， 同时轮船乙沿正北方向匀速行驶， 它们的速度分别为 45km/h 和 36km/h.经过 0.1h， 轮船甲行驶至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得DBO58,此时 B 处距离码头 O 有多远？ （参考数据：sin580.85 ，cos580.53 ，tan581.60 ） 【答案答案】13.5 1200m BC A B D F A C 基础 巩固 【解析】设 B 处距离码头 O 有 xkm，在 RtCAO 中，CAO45.tan CO CAO AO . tan450.1tan454.5COAOCAOxx ，在 RtDBO 中，DBO58， tan DO DBO BO ，tantan5
16、8DOBODBOx ，DCDOCO， 360.1tan584.5xx ， 360.14.5360.14.5 13.5 1.601tan581 x ， 因此，B 处距离码头 O 大约 13.5km. 2.如图，某建筑物 BC 顶部有一旗杆 AB，且点 A，B，C 在同一直线上，小红在 D 处观测旗杆顶部 A 的仰 角为 47，观测旗杆底部 B 的仰角为 42.已知点 D 到地面的距离 DE 为 1.56m，EC21m，求旗杆 AB 的高度和建筑物 BC 的高度（结果保留小数点后一位）.参考数据：tan471.07，tan420.90. 【答案答案】20.5 【解析】如图，根据题意，DE1.56，
17、EC21，ACE90，DEC90，过点 D 作 DFAC，垂足 为 F，则DFC90，ADF47，BDF42，可得四边形 DECF 为矩形，DFEC21，FC DE1.56，在 RtDFA 中，tanADF AF DF ，AFDFtan47211.0722.47，在 RtDFB 中， tanBDF BF DF ，BFDFtan42210.9018.90，于是，ABAFBF22.4718.903.57 3.6，BCBFFC18.901.5620.4620.5. 答：旗杆 AB 的高度约为 3.6m，建筑物 BC 的高度约为 20.5m. 1.1.如图，在ABC 中，C90，A15， （1）求 A
18、C BC 的值； （2）求 sinA 的值. 47 42 F A B C E D 拔高 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）在 AC 上取点 E，使 AEBE，则CEB30，设 BC1，则 BE2，CE3， AC23，AB 2（2 3）21843，AB2（31）62， AC BC 23. （2）sinA BC AB 1 62 62 4 . 2.如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角=30，=45小明乘缆车上山，从 A 到 B，再从 B 到 D 都走了 200 米（即 AB=BD=200 米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离（计算结果保留整 数，以下数据供选用：sin470.7314，
19、cos470.6820，tan471.0724） 【答案答案】见解析 【解析解析】在 RtABC 中，AB=200 米，BAC=30， BC=ABsin=200sin30=100（米） 在 RtBDF 中，BD=200 米，DBF=47， DF=BDsin=200sin472000.7314=146.28（米） BC+DF=100+146.28=246.28（米） 答：缆车垂直上升了 246.28 米 3.施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行，现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离 AB4 米，斜面距离 BC4.25 米，斜坡总长 DE85 米. (1)求坡角D 的度数.(结果精确到 1) （2）若这段斜坡用厚度为 17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？ AC B (参考数据：cos200.94 ，sin200.34 ，sin180.31 ，cos180.95 ) 【答案答案】 见解析 【解析解析】（1） 4 coscos0.94 4.25 AB DABC BC ，0.94D. (2) sin85sin20850.3428.9EFDED 米，共需台阶28.910017170级. 教学反思
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