2020年河南省洛阳市中考数学模拟试卷（三）含答案解析

1、2020 年河南省洛阳市中考数学模拟试卷（三）年河南省洛阳市中考数学模拟试卷（三） 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各数中是负数的是（ ） A|3| B3 C（3） D 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （a3）2a6 Ba2+a3a5 C （ab）2a2b2 D （2a3）24a6 3 （3 分）智能手机的芯片都是采用光刻技术制作出来的半导体集成电路，随着科技的迅猛发展，纳米芯片 的特征尺寸已达到 10 纳米（1 米109纳米） ，那么 10 纳米用科学记数法表示为（ ）米 A1.010 7 B1.010 8 C1.010 9 D

2、1.010 10 4 （3 分）如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是 （ ） A主视图 B左视图 C俯视图 D主视图和左视图 5 （3 分）下列等式是四位同学解方程1过程中去分母的一步，其中正确的是（ ） Ax12x Bx12x Cxx12x Dxx+12x 6 （3 分） 如图， 已知直线 ABCD， BE 平分ABC， 交 CD 于 D， CDE150， 则C 的度数是 （ ） A100 B120 C130 D150 7 （3 分）九年级一班数学老师对全班学生在模拟考试中 A 卷成绩进行统计后，制成如下的统计表： 成绩（分） 80 82

3、84 86 87 90 人数 8 12 9 3 5 8 则该班学生 A 卷成绩的众数和中位数分别是（ ） A82 分，82 分 B82 分，83 分 C80 分，82 分 D82 分，84 分 8 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+（k+3）x+20 的一个根是2，则另一个根是（ ） A2 B1 C1 D0 9 （3 分）如图 1，一个扇形纸片的圆心角为 90，半径为 6如图 2，将这张扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好重合，折痕为 CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ） A6 B69 C12 D 10 （3 分）如图所示，把多块大小不同的 30角三角板，摆放在平面直

4、角坐标系中，第一块三角板 AOB 的一条直角边与 x 轴重合且点 A 的坐标为（2，0） ，ABO30，第二块三角板的斜边 BB1与第一块三 角板的斜边 AB 垂直且交 x 轴于点 B1，第三块三角板的斜边 B1B2与第二块三角板的斜边 BB1垂直且交 y 轴于点 B2，第四块三角板斜边 B2B3与第三块三角板的斜边 B1B2垂直且交 x 轴于点 B3按此规律继续下 去，则线段 OB2020的长为（ ） A2（）2020 B2（）2021 C （）2020 D （）2021 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）计算：|2| 12 （3 分）如图，

5、已知ABC 的周长为 13，根据图中尺规作图的痕迹，直线分别与 BC、AC 交于 D、E 两 点，若 AE2，则ABD 的周长为 13 （3 分）为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车” 的情况进行抽查各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的 概率是 14 （3 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，B30，直线 lAB当直线 l 沿射线 BC 方向，从 点 B 开始向右平移时，直线 l 与四边形 ABCD 的边分别相交于点 E、F设直线 l 向右平移的距离为 x， 线段 EF 的长为 y，且 y 与 x 的

6、函数关系如图 2 所示，则四边形 ABCD 的周长是 15 （3 分）菱形 ABCD 的边长是 4，ABC120，点 M、N 分别在边 AD、AB 上，且 MNAC，垂足为 P，把AMN 沿 MN 折叠得到AMN，若ADC 恰为等腰三角形，则 AP 的长为 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （），其中 x 的值从不等式组的整数解中 选取 17 （9 分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛从中抽取了部分学生成绩（得 分数取正整数，满分为 100 分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答 下列问题： （1）

7、A 组的频数 a 比 B 组的频数 b 小 24，样本容量 ，a 为 ： （2）n 为 ，E 组所占比例为 %： （3）补全频数分布直方图； （4）若成绩在 80 分以上优秀，全校共有 2000 名学生，估计成绩优秀学生有 名 18 （9 分）如图，已知 AB 是O 的直径，PC 切O 于点 P，过 A 作直线 ACPC 交O 于另一点 D，连 接 PA、PB （1）求证：AP 平分CAB； （2）若 P 是直径 AB 上方半圆弧上一动点，O 的半径为 2，则 当弦 AP 的长是 时，以 A，O，P，C 为顶点的四边形是正方形； 当的长度是 时，以 A，D，O，P 为顶点的四边形是菱形 19

8、（9 分）如图，已知斜坡 AB 长 60 米，坡角（即BAC）为 30，BCAC，现计划在斜坡中点 D 处挖 去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE （请将下面 2 小题 的结果都精确到 0.1 米，参考数据：1.732） （1）若修建的斜坡 BE 的坡角（即BEF）不大于 45，则平台 DE 的长最多为 米； （2）一座建筑物 GH 距离坡角 A 点 27 米远（即 AG27 米） ，小明在 D 点测得建筑物顶部 H 的仰角（即 HDM）为 30点 B、C、A、G、H 在同一个平面内，点 C、A、G 在同一条直线上，且 HGCG， 问建筑物 G

9、H 高为多少米？ 20 （9 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A（1，0） ，B（3，1） ，C（3，3） 反比例函数 y（x 0）的函数图象经过点 D，点 P 是一次函数 ykx+33k（k0）的图象与该反比例函数图象的一个公 共点 （1）求反比例函数的解析式； （2）通过计算，说明一次函数 ykx+33k（k0）的图象一定过点 C； （3）对于一次函数 ykx+33k（k0） ，当 y 随 x 的增大而增大时，确定点 P 的横坐标的取值范围（不 必写出过程） 21 （10 分）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为 x（张） ，总费用为 y（元） 现有两种购买方案： 方案一：

10、若单位赞助广告费 10000 元，则该单位所购门票的价格为每张 60 元； （总费用广告赞助费+ 门票费） 方案二：购买门票方式如图所示解答下列问题： （1） 方案一中， y与x的函数关系式为 ； 方案二中， 当0 x100时， y与x的函数关系式为 ； 当 x100 时，y 与 x 的函数关系式为 ； （2）如果购买本场足球赛超过 100 张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； （3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共 700 张，花去总费用计 58000 元，求 甲、乙两单位各购买门票多少张？ 22 （10 分）已知ABC 是等边三角形，点 P 是平面内一点

11、，且四边形 PBCD 为平行四边形，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 60，得到线段 CF （1）如图 1，当 P 为 AC 的中点时，求证：FCPD； （2）如图 2，当 P 为ABC 内任一点时，连接 PA，PF，AF 试判断PAF 的形状，并证明你的结论； （ 3 ） 当B ， P ， F三 点 共 线 且AB ， PB 3时 ， 求PA的 长 23 （11 分）如图，抛物线 yax2+bx+过点 A（1，0） ，B（5，0） ，与 y 轴相交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂 直距离如：点

12、O 到二次函数图象的垂直距离是线段 OC 的长已知点 E 为抛物线对称轴上的一点，且 在 x 轴上方，点 F 为平面内一点，当以 A，B，E，F 为顶点的四边形是边长为 4 的菱形时，请求出点 F 到二次函数图象的垂直距离 （3）在（2）中，当点 F 到二次函数图象的垂直距离最小时，在以 A，B，E，F 为顶点的菱形内部是否 存在点 Q，使得 AQ，BQ，FQ 之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各数中是负数的是（ ） A|3| B3 C（3） D 【分

13、析】根据负数的定义可得 B 为答案 【解答】解：3 的绝对值30； 30； （3）30； 0 故选：B 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （a3）2a6 Ba2+a3a5 C （ab）2a2b2 D （2a3）24a6 【分析】根据幂的乘方的运算法则，合并同类项的法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方的运算法 则计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、 （a3）2a6，原计算正确，故此选项符合题意； B、a2与 a3不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； C、 （ab）2a22ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意； D、 （2a3）24a6，原计算错误，故此选

14、项不符合题意 故选：A 3 （3 分）智能手机的芯片都是采用光刻技术制作出来的半导体集成电路，随着科技的迅猛发展，纳米芯片 的特征尺寸已达到 10 纳米（1 米109纳米） ，那么 10 纳米用科学记数法表示为（ ）米 A1.010 7 B1.010 8 C1.010 9 D1.010 10 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决 定 【解答】解：10 纳米用科学记数法表示为 1.010 8 米 故选：B 4 （3 分）如图是由 6 个

15、大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是 （ ） A主视图 B左视图 C俯视图 D主视图和左视图 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案 【解答】解：从上边看是一个田字， “田”字是中心对称图形， 故选：C 5 （3 分）下列等式是四位同学解方程1过程中去分母的一步，其中正确的是（ ） Ax12x Bx12x Cxx12x Dxx+12x 【分析】两边都乘以 x1，再去括号可得答案 【解答】解：两边都乘以 x1，得：x（x1）2x，即 xx+12x， 故选：D 6 （3 分） 如图， 已知直线 ABCD， BE 平分ABC， 交 CD 于 D， CDE

16、150， 则C 的度数是 （ ） A100 B120 C130 D150 【分析】求出CDB，根据平行线的性质求出ABD，根据角平分线的定义求出ABC，再根据平行线 的性质求出即可 【解答】解：CDE150， CDB18015030， DCAB， ABDCDB30， BE 平分ABC， ABC2ABD60， ABCD， C+ABC180， C120， 故选：B 7 （3 分）九年级一班数学老师对全班学生在模拟考试中 A 卷成绩进行统计后，制成如下的统计表： 成绩（分） 80 82 84 86 87 90 人数 8 12 9 3 5 8 则该班学生 A 卷成绩的众数和中位数分别是（ ） A82

17、分，82 分 B82 分，83 分 C80 分，82 分 D82 分，84 分 【分析】根据中位数与众数的定义进行解答即可 【解答】解：把这组数据从小到大排列，则该班学生成绩的中位数是 84； 82 出现了 12 次，出现的次数最多，则众数是 82； 故选：D 8 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+（k+3）x+20 的一个根是2，则另一个根是（ ） A2 B1 C1 D0 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系 x1x2来求方程的另一个根 【解答】解：设 x1、x2是关于 x 的一元二次方程 x2+（k+3）x+20 的两个根， 由韦达定理，得 x1x22，即2x22， 解得，x

18、21 即方程的另一个根是1 故选：C 9 （3 分）如图 1，一个扇形纸片的圆心角为 90，半径为 6如图 2，将这张扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好重合，折痕为 CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ） A6 B69 C12 D 【分析】连接 OD，如图，利用折叠性质得由弧 AD、线段 AC 和 CD 所围成的图形的面积等于阴影部分 的面积，ACOC，则 OD2OC6，CD3，从而得到CDO30，COD60，然后根据扇 形面积公式，利用由弧 AD、线段 AC 和 CD 所围成的图形的面积S扇形AODSCOD，进行计算即可 【解答】解：连接 OD，如图， 扇形纸片折叠，使点 A

19、 与点 O 恰好重合，折痕为 CD， ACOC， OD2OC6， CD3， CDO30，COD60， 由弧 AD、线段 AC 和 CD 所围成的图形的面积S扇形AODSCOD336 ， 阴影部分的面积为 6 故选：A 10 （3 分）如图所示，把多块大小不同的 30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板 AOB 的一条直角边与 x 轴重合且点 A 的坐标为（2，0） ，ABO30，第二块三角板的斜边 BB1与第一块三 角板的斜边 AB 垂直且交 x 轴于点 B1，第三块三角板的斜边 B1B2与第二块三角板的斜边 BB1垂直且交 y 轴于点 B2，第四块三角板斜边 B2B3与第三块三角板

20、的斜边 B1B2垂直且交 x 轴于点 B3按此规律继续下 去，则线段 OB2020的长为（ ） A2（）2020 B2（）2021 C （）2020 D （）2021 【分析】 根据题意和图象可以发现题目中的变化规律： OB2， OB12 （） 2， OB22 （ ） 3，从而可以推算出 OB2020 的长 【解答】解：由题意可得， OBOAtan6022， B（0，2） ， OB1OBtan6022（）2， B1（2（）2，0） ， OB2OB1tan602（）3， B2（0，2（）3） ， OB3OB2tan602（）4， B3（2（）4，0） ， 线段 OB2020的长为 2（）2021

21、 故选：B 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）计算：|2| 1 【分析】根据绝对值和立方根的定义计算即可 【解答】解：|2|231 故答案为：1 12 （3 分）如图，已知ABC 的周长为 13，根据图中尺规作图的痕迹，直线分别与 BC、AC 交于 D、E 两 点，若 AE2，则ABD 的周长为 9 【分析】根据线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可 【解答】解：由作图可知，DE 垂直平分线段 AC， DADC，AEEC， AB+BC+AC13，AC2AE4， AB+BC9， ABD 的周长AB+BD+DAAB+BD+DCAB+BC9， 故答

22、案为 9 13 （3 分）为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车” 的情况进行抽查各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的 概率是 【分析】将三个小区分别记为 A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可 【解答】解：将三个小区分别记为 A、B、C， 列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有 3 种， 所以两个组恰好抽到同一个小区

23、的概率为 故答案为： 14 （3 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，B30，直线 lAB当直线 l 沿射线 BC 方向，从 点 B 开始向右平移时，直线 l 与四边形 ABCD 的边分别相交于点 E、F设直线 l 向右平移的距离为 x， 线段 EF 的长为 y，且 y 与 x 的函数关系如图 2 所示，则四边形 ABCD 的周长是 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到 AB、BC、AD 的长，再根据平行线的性质和图形中的 数据可以得到 CD 的长，从而可以求得四边形 ABCD 的周长 【解答】解：B30，直线 lAB， BE2EF， 由图可得， AB4cos3042， B

24、C5， AD743， 由图象可得， AN541，NDCM752，DM2， B30，EFAB， M60， 又DMMC2， DMC 是等边三角形， DCDM2， 四边形 ABCD 的周长是：AB+BC+AD+CD2+5+3+210+2， 故答案为：10+2 15 （3 分）菱形 ABCD 的边长是 4，ABC120，点 M、N 分别在边 AD、AB 上，且 MNAC，垂足为 P， 把AMN沿MN折叠得到AMN， 若ADC恰为等腰三角形， 则AP的长为 或22 【分析】ADC 恰为等腰三角形，分两种情况进行讨论：当 ADAC 时，当 CDCA4 时，分别通 过解直角三角形，求得 AA的长，即可得到

25、AP 的长 【解答】解：如图，当 ADAC 时，ADCACD30， AAD60， 又CAD30， ADA90， RtADA中，AA， 由折叠可得，APAA； 如图，当 CDCA4 时，连接 BD 交 AC 于 O，则 RtCOD 中，COCDcos3042， AC4， AAACAC44， 由折叠可得，APAA22； 故答案为：或 22 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （），其中 x 的值从不等式组的整数 解中选取 【分析】 首先化简 （） ， 然后根据 x 的值从不等式组的整数解中选取， 求出 x 的值是多少，再把求出的 x 的值代入化简后的算式

26、，求出算式的值是多少即可 【解答】解： （） 解不等式组， 可得：2x2， x1，0，1，2， x1，0，1 时，分式无意义， x2， 原式 17 （9 分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛从中抽取了部分学生成绩（得 分数取正整数，满分为 100 分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答 下列问题： （1）A 组的频数 a 比 B 组的频数 b 小 24，样本容量 200 ，a 为 16 ： （2）n 为 126 ，E 组所占比例为 12 %： （3）补全频数分布直方图； （4）若成绩在 80 分以上优秀，全校共有 2000 名学生，估计成绩优秀

27、学生有 940 名 【分析】 （1）由于 A 组的频数比 B 组小 24，而 A 组的频率比 B 组小 12%，则可计算出调查的总人数， 然后计算 a 和 b 的值； （2）用 360 度乘以 D 组的频率可得到 n 的值，根据百分比之和为 1 可得 E 组百分比； （3）计算出 C 和 E 组的频数后补全频数分布直方图； （4）利用样本估计总体，用 2000 乘以 D 组和 E 组的频率和即可 【解答】解： （1）调查的总人数为 24（20%8%）200， 所以 a2008%16，b20020%40， 故答案为：200，16； （2）D 部分所对的圆心角360126，即 n126， E 组所

28、占比例为 1（8%+20%+25%+100%）12%， 故答案为 126，12； （3）C 组的频数为 20025%50，E 组的频数为 2001640507024， 补全频数分布直方图为： （4）2000940， 所以估计成绩优秀的学生有 940 人 18 （9 分）如图，已知 AB 是O 的直径，PC 切O 于点 P，过 A 作直线 ACPC 交O 于另一点 D，连 接 PA、PB （1）求证：AP 平分CAB； （2）若 P 是直径 AB 上方半圆弧上一动点，O 的半径为 2，则 当弦 AP 的长是 2 时，以 A，O，P，C 为顶点的四边形是正方形； 当的长度是 或 时，以 A，D，O

29、，P 为顶点的四边形是菱形 【分析】 （1）利用切线的性质得 OPPC，再证明 ACOP 得到13，加上23，所以1 2； （2）当AOP90，根据正方形的判定方法得到四边形 AOPC 为正方形，从而得到 AP2； 根据菱形的判定方法，当 ADAPOPOD 时，四边形 ADOP 为菱形，所以AOP 和AOD 为等 边三角形，然后根据弧长公式计算的长度当 ADDPPOOA 时，四边形 ADPO 为菱形，AOD 和DOP 为等边三角形，则AOP120，根据弧长公式计算的长度 【解答】 （1）证明：PC 切O 于点 P， OPPC， ACPC， ACOP， 13， OPOA， 23， 12， AP

30、平分CAB； （2）解：当AOP90，四边形 AOPC 为矩形，而 OAOP，此时矩形 AOPC 为正方形，AP OP2； 当 ADAPOPOD 时，四边形 ADOP 为菱形，AOP 和AOD 为等边三角形，则AOP60， 的长度 当 ADDPPOOA 时， 四边形 ADPO 为菱形， AOD 和DOP 为等边三角形， 则AOP120， 的长度 故答案为 2， 或 19 （9 分）如图，已知斜坡 AB 长 60 米，坡角（即BAC）为 30，BCAC，现计划在斜坡中点 D 处挖 去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE （请将下面 2 小题 的结果

31、都精确到 0.1 米，参考数据：1.732） （1）若修建的斜坡 BE 的坡角（即BEF）不大于 45，则平台 DE 的长最多为 10.9 米； （2）一座建筑物 GH 距离坡角 A 点 27 米远（即 AG27 米） ，小明在 D 点测得建筑物顶部 H 的仰角（即 HDM）为 30点 B、C、A、G、H 在同一个平面内，点 C、A、G 在同一条直线上，且 HGCG， 问建筑物 GH 高为多少米？ 【分析】 （1）根据题意得出，BEF 最大为 45，当BEF45时，EF 最短，此时 ED 最长，进而得 出 EF 的长，即可得出答案； （2） 利用在 RtDPA 中， DPAD， 以及 PAAD

32、cos30进而得出 DM 的长， 利用 HMDMtan30 得出即可 【解答】解： （1）修建的斜坡 BE 的坡角（即BEF）不大于 45， BEF 最大为 45， 当BEF45时，EF 最短，此时 ED 最长， DACBDF30，ADBD30， BFEFBD15， DF15， 故：DEDFEF15（1）10.9（米） ； 若修建的斜坡 BE 的坡角（即BEF）不大于 45，则平台 DE 的长最多为 10.9m； （2）过点 D 作 DPAC，垂足为 P 在 RtDPA 中，DPAD3015， PAADcos303015 在矩形 DPGM 中，MGDP15，DMPG15+27， 在 RtDMH

33、 中， HMDMtan30（15+27）15+9 GHHM+MG15+15+945.6 答：建筑物 GH 高约为 45.6 米 20 （9 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A（1，0） ，B（3，1） ，C（3，3） 反比例函数 y（x 0）的函数图象经过点 D，点 P 是一次函数 ykx+33k（k0）的图象与该反比例函数图象的一个公 共点 （1）求反比例函数的解析式； （2）通过计算，说明一次函数 ykx+33k（k0）的图象一定过点 C； （3）对于一次函数 ykx+33k（k0） ，当 y 随 x 的增大而增大时，确定点 P 的横坐标的取值范围（不 必写出过程） 【分析】

34、 （1）由 B（3，1） ，C（3，3）得到 BCx 轴，BC2，根据平行四边形的性质得 ADBC2， 而 A 点坐标为（1，0） ，可得到点 D 的坐标为（1，2） ，然后把 D（1，2）代入 y即可得到 m2，从 而可确定反比例函数的解析式； （2）把 x3 代入 ykx+33k（k0）得到 y3，即可说明一次函数 ykx+33k（k0）的图象一定 过点 C； （3）设点 P 的横坐标为 a，由于一次函数 ykx+33k（k0）过 C 点，并且 y 随 x 的增大而增大时， 则 P 点的纵坐标要小于 3，横坐标要小于 3，当纵坐标小于 3 时，由 y得到 a，于是得到 a 的取 值范围 【

35、解答】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， B（3，1） ，C（3，3） ， BCx 轴，ADBC2， 而 A 点坐标为（1，0） ， 点 D 的坐标为（1，2） 反比例函数 y（x0）的函数图象经过点 D（1，2） ， 2 m2， 反比例函数的解析式为 y； （2）当 x3 时，ykx+33k3k+33k3， 一次函数 ykx+33k（k0）的图象一定过点 C； （3）设点 P 的横坐标为 a， 则 a 的范围为a3 21 （10 分）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为 x（张） ，总费用为 y（元） 现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费 10000 元，则该

36、单位所购门票的价格为每张 60 元； （总费用广告赞助费+ 门票费） 方案二：购买门票方式如图所示解答下列问题： （1）方案一中，y 与 x 的函数关系式为 y60 x+10000 ；方案二中，当 0 x100 时，y 与 x 的函数 关系式为 y100 x ；当 x100 时，y 与 x 的函数关系式为 y80 x+2000 ； （2）如果购买本场足球赛超过 100 张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； （3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共 700 张，花去总费用计 58000 元，求 甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【分析】 （1）依题意可得 y 与

37、x 的函数关系式 y60 x+10000；本题考查了分段函数的有关知识（0 x 100；x100） ； （2） 设60 x+1000080 x+2000， 可用方案二买； 当60 x+100080 x+2000时， 两种方案均可选择； 当60 x+1000 80 x+200 时，可选择方案一； （3）设甲、乙单位购买本次足球赛门票数分别为 a 张、b 张，分别可采用方案一或方案二购买 【解答】解： （1）方案一：y60 x+10000；当 0 x100 时，y100 x；当 x100 时，y80 x+2000； （2）因为方案一 y 与 x 的函数关系式为 y60 x+10000，x100，方

38、案二的 y 与 x 的函数关系式为 y 80 x+2000； 当 60 x+1000080 x+2000 时，即 x400 时，选方案二进行购买，当 60 x+1000080 x+2000 时，即 x400 时，两种方案都可以，当 60 x+1000080 x+2000 时，即 x400 时，选方案一进行购买； （3）设甲、乙单位购买本次足球赛门票数分别为 a 张、b 张； 甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球比赛门票， 乙公司购买本次足球赛门票有两种情况：0b100 或 b100 当 b100 时，乙公司购买本次足球赛门票费为 100b， 解得不符合题意，舍去； 当 b100 时，乙

39、公司购买本次足球赛门票费为 80b+2000， 解得符合题意 答：甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为 500 张、200 张 22 （10 分）已知ABC 是等边三角形，点 P 是平面内一点，且四边形 PBCD 为平行四边形，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 60，得到线段 CF （1）如图 1，当 P 为 AC 的中点时，求证：FCPD； （2）如图 2，当 P 为ABC 内任一点时，连接 PA，PF，AF 试判断PAF 的形状，并证明你的结论； （ 3 ） 当B ， P ， F三 点 共 线 且AB ， PB 3时 ， 求PA的 长 【分析】 （1）如图 1，由等边三角形和平行四边形的性

40、质求得FCD+D90，易得 FCPD （2）PAF 是等边三角形如图 2，连接 PA，PF，延长 BC，构造全等三角形：ABPACF（SAS） ， 由该全等三角形的对应边相等、对应角相等以及等边三角形的判定定理证得结论； （3）需要分类讨论：当点 P 在线段 BF 上和当点 P 落在线段 FB 的延长线上两种情况，通过作辅助线， 构造直角三角形，结合勾股定理求得线段 PA 的长度 【解答】 （1）证明：如图 1，ABC 是等边三角形，且 P 为 AC 的中点， PBCABC6030， 四边形 PBCD 为平行四边形， DPBC30 FCD60 FCD+D90， FCPD （2）PAF 是等边三

41、角形，理由如下： 如图 2，延长 BC， 证明ABC 为等边三角形， ABAC，ABCACB60， 2601， 418060603603 四边形 PACD 是平行四边形， PBCD，PBCDFC 13 24 又 ABAC，PBFC， ABPACF（SAS） APAF，BAPCAF BAP+PAC60， PAC+CAFPAF60， PAF 是等边三角形 （3）当点 P 在线段 BF 上时，如图 3， 过 A 作 AEBF 于 E，由（2）可得APF60， 设 PEx，则 AEx， 于是得： （x+3）2+3219， x11，x2（不合题意，故舍去） PA2x2 当点 P 落在线段 FB 的延长线

42、上时， 如图 4，过 B 作 BEPA 于 E，则 在 RtPBE 中，PB3，由（2）可得BPE60， PBE30 PE，BE 在 RtABE 中，AB，BE AE， PAPE+AE5 由于 P 点不可能线段 BF 的延长线上，所以，综上所述，PA 的长为 2 或 5 23 （11 分）如图，抛物线 yax2+bx+过点 A（1，0） ，B（5，0） ，与 y 轴相交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂 直距离如：点 O 到二次函数图象的垂直距离是线段 OC 的长已知点 E 为抛物线对称轴上的一点，且

43、 在 x 轴上方，点 F 为平面内一点，当以 A，B，E，F 为顶点的四边形是边长为 4 的菱形时，请求出点 F 到二次函数图象的垂直距离 （3）在（2）中，当点 F 到二次函数图象的垂直距离最小时，在以 A，B，E，F 为顶点的菱形内部是否 存在点 Q，使得 AQ，BQ，FQ 之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将 A，B 两点代入可求解析式 （2）分类讨论，以 AB 为边的菱形和以 AB 为对角线的菱形，抓住菱形边长为 4 和 E 的横坐标为 3，可 解 F 点坐标，即可求点 F 到二次函数图象的垂直距离 （3）构造三角形，根据两点之间线段最短，可得最短距

44、离为 AN，根据勾股定理求 AN 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+过点 A（1，0） ，B（5，0） ， 0a+b+ 025a+5b+ a，b3 解析式 yx23x+ （2）当 y0，则 0 x23x+ x15，x21 A（1，0） ，B（5，0） 对称轴直线 x3，顶点坐标（3，2） ，AB4 抛物线与 y 轴相交于点 C C（0，） 如图 1 如 AB 为菱形的边，则 EFAB，EFAB4，且 E 的横坐标为 3 F 的横坐标为 7 或1 AEAB4，AM2，EMAB EM2 F（7，2） ，或（1，2） 当 x7，y4973+6 点 F 到二次函数图象的垂直距离 62 如 A

45、B 为对角线，如图 2 AEBF 是菱形，AFBF4 ABEF，EMMF2 F（3，2） 点 F 到二次函数图象的垂直距离2+2 （3）当 F（3，2）时，点 F 到二次函数图象的垂直距离最小 如图 3，以 BQ 为边作等边三角形 BQD，将BQF 绕 B 逆时针旋转 60到BDN 位置，连接 AN，作 PN AB 于 P 等边三角形 BQD QDQBBD， 将BQF 绕 B 逆时针旋转 60到BDN 位置 NBBF4，FBN60，DNFQ AQ+BQ+FQAQ+QD+DN 当 AQ，QD，DN 共线时 AQ+BQ+FQ 的和最短，即最短值为 AN 的长 AFBF4AB， ABF60 NBP60且 BN4， BP2，PN2 AP6 在 RtANP 中，AN4 AQ+BQ+FQ 的和最短值为 4