1、 平方差公式 第5讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.平方差公式； 2.计算题； 3.规律探究。 教学目标 1.能够推导平方差公式，理解剖腹产公式的结构特征； 2.能够运用平方差公式进行整式乘法的运算。 教学重点 理解平方差公式的结构特征，会运用公式进行运算。 教学难点 平方差公式的灵活运用。 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能掌握平方差公式的结构特征，让学生能够理解在整式乘法运算过程中如何 使用平方差公式进行计算，并要对公式进行灵活运用，从而解决相关的规律探究问题等。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到
2、困难： 1.平方差公式的结构特征； 2.如何应用平方差公式进行计算； 3.与平方差公式相关的规律探索问题。 【知识导图】【知识导图】 平方差公式 结构特征 公式的应用 规律探究 概述 【教学建议】【教学建议】 在学习平方差公式前，先要引导学生回顾复习整式乘法运算的法则，让学生充分理解多项式与多项式乘法 的运算方法， 然后通过具体的练习题让学生自主发现平方差公式的运算规律， 从而加深学生对公式的理解， 避免机械地记忆公式。 1. 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 22. ababab 2.运用平方差公式的逆应用。 3.平方差公式的图形验证（利用图形的面积关系） 。 1.简便计
3、算； 2.规律探究 例题 1 三、例题精析 知识点 2 平方差公式的应用知识 点 1 平方差公式 二、知识讲解 一、导入 教学过程 【题干】利用平方差公式计算： (2m + 3n)(2m 3n) = _；(3 + 2x)(3 2x) = _。 【答案】【答案】4m2 9n2 ; 9 4x2 【解析】【解析】解： (2m + 3n)(2m 3n) = (2m)2 (3n)2= 4m2 9n2； (3 + 2x)(3 2x) = (3)2 (2x)2= 9 4x2。 【题干】【题干】已知x2 y2= 14，x y = 7，则 x + y = _。 【答案】【答案】2 【解析】【解析】解：x2 y2
4、= (x y)（x + y） (x + y) = 14 7 = 2 【题干】【题干】先化简，再求值：(2)(2)(4)aaa a，其中 2 1 a 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】解：原式= 22 a2+ a2 4a = 4 4a 将a = 1 2代入得：原式= 4 4 ( 1 2) = 4 + 2 = 6 【题干】【题干】计算：103 97 【答案】【答案】9991 【解析】【解析】解：103 97 = (100 + 3)(100 3) = 1002 32 = 10000 9 = 9991 【题干】【题干】观察下列各式：； ； 2 (1)(1)1xxx 23 (1)(1)1xxxx
5、 324 (1)(1)1xxxxx 例题 5 例题 4 例题 3 例题 2 根据前面各式的规律可得到 【答案】【答案】xn:1 1 【解析】【解析】观察整式乘法的运算规律可得： (x 1)(xn+ xn;1+ xn;2+ + x + 1) = xn:1 1 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以区分不同难度的问题，由易到难逐步让学生进行理解应用，在学生能够基本掌握 平方差公式的计算问题之后，再延伸至整式乘法的混合运算（如整式的化简求值问题）及规律探究问题， 要着重培养学生的观察总结能力。 1. 计算：3443_abba； 2222 _cdcd 。 【答案】【答案】 16b2 9a2；
6、c4 d4 【解析】【解析】解： (3a + 4b)(4b 3a) = (4b)2 (3a)2= 16b2 9a2 (c2 d2)(c2+ d2) = (c2)2 (d2)2= c4 d4 2. 已知 9)( 2 xaxax, 那么 a = 。 【答案】【答案】3 或-3 【解析】【解析】解：(x + a)(x a) = x2 a2= x2 9 a2= 9 a = 3 或 3 3. 已知，求代数式的值。 【答案】【答案】0 【解析】【解析】解：原式= x2 2xy (x2 y2 ) = x2 2xy x2+ y2 = 2xy + y2 = y（2x y） 2x y = 0 原式= y 0 =
7、0 12 (1)(1) nnn xxxxx 2xy0 x x2yxyxy 基础 四 、课堂运用 4.利用乘法公式计算：201120132012 2 【答案】【答案】-1 【解析】【解析】解：2011 2013 20122 = (2012 1)(2012 + 1) 20122 = 20122 1 20122 = 1 5. 在实数范围内定义-种运算“*” ，其规则是 a*b=a 2b2，根据这个规则，方程（x + 3） 4 = 0的解 是 。 【答案】【答案】1 或 7 【解析】【解析】解：（x + 3） 4 = 0 （x + 3） 2 42= 0 x + 3 = 4 或 4 x = 1 或 7
8、1.计算：_abcabc 【答案】【答案】a2 2ac + c2 b2。 【解析】【解析】解：(a + b c)(a b c) = (a c) + b(a c) + b = (a c)2 b2 = a2 2ac + c2 b2 2. )1)(1)(1 ( 24 aaaa的运算结果是（ ） A、1 B、1 C、12 4 a D、 4 21a 【答案】【答案】B 【解析】【解析】解：原式= a4+ (1 a2)(1 + a2 ) = a4+ 1 a4 = 1 故选 B。 巩 固 3.计算：(2 + 1)(22+ 1)(24+ 1)(28+ 1) 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】解: (2
9、 + 1)(22+ 1)(24+ 1)(28+ 1) = (2 1)(2 + 1)(22+ 1)(24+ 1)(28+ 1) = (22 1)(22+ 1)(24+ 1)(28+ 1) = (24 1)(24+ 1)(28+ 1) = (28 1)(28+ 1) = 216 1 4. 符号“ ab cd ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： ab cd adbc. （1）计算： 3 2 5 4 ； （直接写出答案） （2）化简二阶行列式： . 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】解：（1）|2 4 35| = 2 5 3 4 = 10 12 = 2； （2）|a + 2b 0.5a b
10、 4ba 2b | = (a + 2b)(a 2b) 4b(0.5a b) = a2 4b2 2ab + 4b2 = a2 2ab 1. 已知 2ba ，则a2 b2+ 4b = 。 【答案】【答案】4 【解析】【解析】解：a2 b2+ 4b = (a + b)(a b) + 4b = 2(a b) + 4b = 2a 2b + 4b = 2a + 2b = 2（a + b） b ba 4 2 ba ba 2 5 . 0 拔高 = 4 2.从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如 图甲） ，然后拼成一个平行四边形（如图乙） 那么通过计算
11、两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公 式为（ ） Aa 2b2=（ab）2 B （a+b）2=a2+2ab+b2 C （ab） 2=a22ab+b2 Da2b2=（a+b） （ab） 【答案】【答案】D 【解析】【解析】图甲中阴影部分面积为：a2b2 图乙的面积为：(a + b)(a b) a2b2= (a + b)(a b) 3. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数” 如， ，因此 4，12，20 都是“神秘数” （1）28 和 2012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为 2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数） ，由这两个连
12、续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗？ 为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 【答案】【答案】 （1）是，理由见解析； （2）是，理由见解析； （3）不是，理由见解析 【解析】【解析】解： （1）28 = 4 7 = 8 6 2012 = 4 503 = 504 502 这两个数都是神秘数 （2） （2k + 2） （2k） = （2k + 2 2k） （2k + 2 + 2k） = 2 2（k + 1 + k） = 4（2k + 1） 由2k + 2和2k构造的神秘数是 4 的倍数 22 024 22 1242 22 2064 （3）设两个连续奇数为 2k+1 和
13、 2k-1， 则（2k + 1） （2k 1） = （2k + 1 + 2k 1） （2k + 1 2k + 1） = 4k 2 = 8k， 两个连续奇数的平方差不是神秘数 1平方差公式： 22. ababab 2.平方差公式的图形验证。 3.灵活应用平方差公式。 1. 下列计算结果正确的是 ( ) A. 2 4416xxx B. 22 31 3131xyxyx y C. 22 339xyxyxy D. 2 248xxx 【答案】【答案】A 【解析】【解析】分析判断各式是否符合平方差公式的结构特征再进行计算。 2. 计算：1102109 111 = _。 【答案答案】1 【解析解析】解：110
14、2109 111 = 1102 (110 1)(110 + 1) = 1102 （ 1102 1） = 1102 1102+ 1 基础 扩展延伸 课堂小结 = 1 3. 先化简，再求值：（x + y） （xy）x（x + y） + 2xy，其中x = (3 p)0，y = 2. 【答案答案】见解析。 【解析解析】解：原式= x2 y2 x2 xy + 2xy = y2+ xy x = (3 p)0= 1，y = 2 原式 = y2+ xy = 4 + 1 2 = 2 4. 对于数 a，b，c，d，规定一种运算 a b c d =adbc，如 10 2( 2) =1（2）02=2，那么当 (1)
15、 (2) (3) (1) xx xx =27 时，则 x= 。 【答案答案】22 【解析解析】解：|（x + 1） （x + 2） （x 3）（x 1）| = (x + 1)(x 1) （x 3） （x + 2） = x2 1 （x2 x 6） = x2 1 x2+ x + 6 = x + 5 x + 5 = 27 x = 22 1. 已知2a 23a60，求代数式3a（2a1）（2a1） （2a1）的值。 【答案答案】见解析 【解析解析】解：原式 3a（2al）（2a1） （2a1） 6a 23a4a21 2a 23a1 2a 23a60 2a 23a6 原式7 巩固 2. 同学们已经体会到
16、灵活运用乘法公式给整式乘法带来的方便，快捷相信通过下面材料的学习探究，会 使你大开眼界并获得成功的喜悦 例：用简便方法计算 195205 解：195205 =（200-5） （200+5） = 22 2005 =39975 （1）例题求解过程中，第步变形是利用 （填乘法公式的名称） ； （2）用简便方法计算：9 11 101 10001。 【答案答案】 （1）平方差公式； （2）108 1 【解析解析】解： （2）9 11 101 10001 = (10 1)(10 + 1)(100 + 1)(10000 + 1) = (100 1)(100 + 1)(10000 + 1) = (10000
17、1)(10000 + 1) = 108 1 3. 解方程 x(x+ 5) + 2x(x 4) = 3(x + 1)（x 1） 【答案答案】见解析 【解析解析】解：x(x + 5) + 2x(x 4) = 3(x + 1)（x 1） x2+ 5x + 2x2 8x = 3x2 3 3x = 3 x = 1 1. 对于任意自然数 n,(n + 7)2 (n 5)2是否能被 24 整除？为什么 【答案答案】能，原因见解析 【解析解析】解：(n + 7)2 (n 5)2 = (n + 7 + n 5)(n + 7 n + 5) = (2n + 2) 12 = 24(n + 1) 拔高 n 为自然数 2
18、4(n + 1)能被 24 整除，即原式能够被 24 整除。 2.计算：(3 + 1)(32+ 1)(34+ 1)(38+ 1)(316+ 1)(332+ 1)(364+ 1) 【答案答案】见解析 【解析解析】解：(3 + 1)(32+ 1)(34+ 1)(38+ 1)(316+ 1)(332+ 1)(364+ 1) = 1 2 (3 1)(3 + 1)(32+ 1)(34+ 1)(38+ 1)(316+ 1)(332+ 1)(364+ 1) = 1 2(3 2 1)(32+ 1)(34+ 1)(38+ 1)(316+ 1)(332+ 1)(364+ 1) = 1 2(3 4 1)(34+ 1
19、)(38+ 1)(316+ 1)(332+ 1)(364+ 1) = 1 2(3 128 1) 3. 观察下列各式：3 212=42，10282=49，172152=416你发现了什么规律？ （1）试用你发现的规律填空：35 2332=4 ，642622=4 （2）请你用含一个字母 n(n1)的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式 子的正确性 【答案答案】 （1）32，64； （2） 2 2 n2n4 n1，说明见解析 【解析解析】解： （1） 2222 35334 32 64624 63 ，. （2）可以得出规律： 2 2 n2n4 n1n1，说明如下： 左边= 2
20、2 n4n4n4n4，右边=4n+4， 2 2 n2n4 n1. 4. 你能化简（）()吗？我们不妨先从简单情况入手，现规律，归 纳结论. （ 1 ） 先 填 空 ： （） ()= ； ()()= ； ()()= ； 由此猜想（）()= . （2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？ 219921982197 2221 ； 1a1 2979899 aaaaa 1a1a1a1 2 aa 1a1 23 aaa 1a1 2979899 aaaaa ，则等于多少？ 【答案答案】(1)a2 1；a3 1；a4 1；a100 1；（2）2200 1；1. 【解析解析】解： （1）观察得到规律即可。 （2）利用所得规律可知：(2 1)(219921982197 2221) = 2200 1； 219921982197 2221 = 2200 1 (a 1)(a5+ a4+ a3+ a2+ a) = a6 1 a5+ a4+ a3+ a2+ a = 0 a6 1 = 0 a6= 1 01 2345 aaaaa 6 a 教学反思
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