1、 两条直线的位置关系 第8讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1相交线与平行线； 2对顶角的概念及其性质； 3补角和余角； 4垂线的概念与性质； 5点到直线的距离； 6对顶角、补角、余角及垂直的综合应用。 教学目标 1掌握两条直线平行的充要条件，并会根据直线方程判定，两条直线是否平行； 2通过教学，提高学生用旧知识解决新问题的能力，培养学生探索、概括能力。 教学重点 掌握两条直线之间的位置关系及相关概念。 教学难点 余角补角的相关计算及最短距离计算。 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握同一平面内两条直线的
2、位置关系，掌握对顶角、余角、补角、垂 直的相关概念，并能够利用相关知识解决角度计算、最短距离作图等问题。重点要培养学生对几何图形的 敏感度，提高学生的观察、探索、总结能力。 学生学习本节时可能会在以下四个方面感到困难： 1.两条直线的位置关系； 2. 角的相关概念及计算； 3.垂直的定义及相关计算； 4.余角补角的相关计算。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 在学习本节课之前，先让学生复习回顾平面图形的知识，了解线和角的基本概念，然后带领学生探索发现 两条直线在平面内的位置关系，然后逐步引导学生学习角度的相关概念，在学习过程中注意培养学生的分 类讨论和观察概况能力。 在
3、本节课学习中还要注意培养学生的作图能力，比如垂线段的作法等，提高学生对几何图形的敏感度。 1.平面内，两条直线的位置关系有两种：平行或相交。 2.对顶角的定义。 3.余角补角的定义及计算。 1.垂直的定义及判断。 2.平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线垂直. 两条直线的位置关系 平行 相交 垂直 角 对顶角 余角、补角 知识点 2 垂直 知识点 1 两条直线的位置关系 二、知识讲解 一、导入 教学过程 3.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 【题干】下列说法正确的有（ ） 两点之间的所有连线中，线段最短； 相等的角叫对顶角； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
4、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 两点之间的距离是两点间的线段； 在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】【答案】B 【解析】【解析】解：两点之间的所有连线中，线段最短，故正确 相等的角不一定是对顶角，故错误 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误 平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误 两点之间的距离是两点间的线段的长度，故错误 在同一平面内，两直线的位置关系只有两种：相交和平行，故正确 综上所述，正确的结论有 2 个 故选：B 【题干】【题干】如图，三条直线交于同一点，1：2：3=2：3：1，则4=
5、例题 2 例题 1 三、例题精析 【答案】【答案】60 【解析】【解析】解：1 与4，1：2：3=2：3：1， 4：2：3=2：3：1， 2+3+4=180， 3=30，4=60，2=90， 故答案为 60 【题干】【题干】如图，要把河中的水引到水池 A 中，应在河岸 B 处（ABCD）开始挖渠才能使水渠的长度最短， 这样做依据的几何学原理是（ ） A两点之间线段最短 B点到直线的距离 C两点确定一条直线 D垂线段最短 【答案】【答案】D 【解析】【解析】要把河中的水引到水池 A 中，应在河岸 B 处（ABCD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做 依据的几何学原理是：垂线段最短， 故选：D
6、【题干【题干】 如图所示， ACBC， CDAB， 点 A 到 BC 边的距离是线段 的长， 点 B 到 CD 边的距离是线段 的 长，图中的直角有 ，A 的余角有 ，和A 相等的角有 【答案】【答案】AC;BD；ACB、ADC、CDB；ACD、B ；BCD 【解析】【解析】解：从直线外一点到这条直线作垂线段，垂线段的长是这点到这条直线的距离，ACBC，CD AB， 点 A 到 BC 边的距离是线段 AC 的长，点 B 到 CD 边的距离是线段 BD 的长， 例题 4 例题 3 ACBC，CDAB， ACB=ADC=BDC=90， 图中的直角有ACB，ADC，BDC， ACB=BDCADC=9
7、0， A+ACD=90，A+B=90，B+BCD=90， A=BCD， A 的余角有ACD 和B，和A 相等的角有BCD， 【题干】【题干】如图所示，直线 AB、CD 相交于点 O，OMAB， （1）若1=2，求NOD 的度数 （2）若1=BOC，求AOC 和MOD 的度数 【答案】【答案】5 【解析】【解析】解： （1）OMAB，1=2， 1+AOC=2+AOC=90，即CON=90； 又NOC+NOD=180， NOD=90； （2）OMAB，1=BOC， BOC=120，1=30； 又AOC+BOC=180， AOC=60； 而AOC=BOD（对顶角相等） ， MOD=MOB+AOC=1
8、50 例题 5 【教学建议】【教学建议】 在学习过程中注意引导学生自己去探索发现，特别是角之间的位置关系和数量关系，可通过变换不同的图 形让学生充分理解，对余角、补角、邻补角、对顶角等角度有深刻的认识；对于作图问题可让学生自己去 进行测量，加深印象。 1. 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种 ， 。 【答案】【答案】平行，相交 【解析】【解析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交，平行 故答案为：平行，相交 2. 如果点 P 在直线 a 上，也在直线 b 上，但不在直线 c 上，且直线 a、b、c 两两相交符合以上条件的图形 是（ ） A B C D 【答案】【答案】D 【解析
9、】【解析】解：A不符合直线 a、b、c 两两相交； B不符合点 P 在直线 a 上； C不符合点 P 不在直线 c 上； D符合条件， 故选：D 3. 在数学课上，同学们在练习过点 B 作线段 AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形， 请你数一数，错误的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 基础 四 、课堂运用 【答案】【答案】D 【解析】【解析】解：从左向右第一个图形中，BE 不是线段，故错误； 第二个图形中，BE 不垂直 AC，所以错误； 第三个图形中，是过点 E 作的 AC 的垂线，所以错误； 第四个图形中，过点 C 作的 BE 的垂线，也错误 故选 D
10、4. 补全解答过程： 已知：如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分EOC，若EOC：EOD=2：3，求BOD 的度数 解：由题意EOC：EOD=2：3， 设EOC=2x，则EOD=3x EOC+ =180（ ） ， 2x+3x=180 x=36 EOC=72 OA 平分EOC（已知） ， AOC=EOC=36 BOD=AOC（ ） ， BOD= （等量代换） 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】由题意EOC：EOD=2：3， 设EOC=2x，则EOD=3x EOC+ EOD =180（ 平角的定义 ） ， 2x+3x=180 x=36 EOC=72 OA 平分EOC（已知） ，
11、 AOC=EOC=36 BOD=AOC（ 对顶角相等 ） ， BOD= 36 （等量代换） 1. 如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，则1+2+3 的度数为（ ） 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】解：如图，4=1， 2+3+4=180， 1+2+3=180 故选 C 2. 观察下列图形，并阅读，图形下面的相关文字 两条直线相交最多有 1 个交点 三条直线相交最多有 3 个交点 四条直线相交最多有 6 个交点 。则 n 条 直线最多有 个交点 【答案】【答案】。 巩固 【解析】【解析】解：两条直线相交，最多有 1 个交点，即 1=， 三条直线两条直线相交，最多有 3 个交点，即
12、 3= 四条直线相交，最多有 6 个交点，即 6= 五条直线相交，最多有 10 个交点，即 5=， n 条直线相交，最多的交点个数是， 故答案为： 3. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 把BOD 分成两部分； （1）直接写出图中AOC 的对顶角为 ，BOE 的邻补角为 ； （2）若AOC=70，且BOE：EOD=2：3，求AOE 的度数 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解： （1）AOC 的对顶角为BOD，BOE 的邻补角为AOE； （2）DOE=AOC=70，DOE=BOE+EOD 及BOE：EOD=2：3， 得， ， BOE=28， AOE=180BOE=152 4.如
13、图，在直线 MN 的异侧有 A、B 两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据 （1）在直线 MN 上取一点 C，使线段 AC 最短依据是 （2）在直线 MN 上取一点 D，使线段 AD+BD 最短依据是 【答案】【答案】垂线段最短；两点之间线段最短。 【解析】【解析】解： （1）过 A 作 ACMN，根据：垂线段最短 （2）连接 AB 交 MN 于 D，根据是：两点之间线段最短 1. 同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（ ）个 A1 或 3 B0、1 或 3 C0、1 或 2 D0、1、2 或 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】解：如图，三条直线的交点个数可能是 0 或 1 或
14、2 或 3 故选 D 2.如图所示，在ABC 中，B=90，BC=6，AB=8，AC=10，则点 B 到 AC 的距离是 【答案】【答案】4.8 【解析】【解析】解：过 B 点作 AC 的垂线，垂足为 D，由“面积法”可知， BDAC=ABBC，即 BD10=86， BD=4.8，即点 B 到 AC 的距离是 4.8 故填 4.8 拔高 3.（1）如图，直线 a，b，c 两两相交，3=21，2=155，求4 的度数 （2）如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分BOD，OF 平分COE，AOD：BOE=4：1，求AOF 的度数 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】解： （1）如图
15、，2=155， 1=1802=180155=25， 3=21=225=50， 3=4， （对顶角相等） 4=50， （2）AOD：BOE=4：1， AOD=4BOE， OE 平分BOD， D0E=EOB， AOD+DOE+BOE=180， 6BOE=180， BOE=DOE=30， COE=18030=150， OF 平分COE， EOF=75， BOF=EOFBOE=7530=45， AOF=18045=135 1平面内两条直线的位置关系：相交或平行； 2对顶角、邻补角、余角、补角的概念及计算； 课堂小结 3.垂直的概念及计算； 4.作图问题。 1. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系
16、是（ ） A平行 B相交 C平行或相交 D平行、相交或垂直 【答案】【答案】C 【解析】【解析】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交， 所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交 故选 C 2 2. . 下列说法： 两条直线相交，有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角； 如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点； 邻补角的两条角平分线构成一个直角； 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短其中正确的是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案答案】C 【解析解析】解：两条直线相交，有公共顶点而没有公共边的两个角是对
17、顶角，对； 直线延长可能有交点，错； 邻补角的两条角平分线构成一个直角，对； 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，对 故选 C 3 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OEAB，BOD=20，求COE 的度数。 基础 扩展延伸 【答案答案】70 【解析解析】解：BOD=20， AOC=BOD=20， OEAB， AOE=90， COE=9020=70 1. 一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，1+2= 90 度 【答案答案】见解析 【解析解析】解：如图， 1=3，2=4， 而3+4=90， 1+2=90 故答案为：90 2 如图，立定跳远比赛时，小明从点 A 起跳落在沙
18、坑内 B 处，跳远成绩是 4.6 米，则小明从起跳点到落 脚点的距离 4.6 米 （填“大于”“小于”或“等于”） 巩固 【答案答案】大于 【解析解析】解：根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长， 又垂线段最短， 小明从起跳点到落脚点之间的距离大于 4.6 米， 故答案为：大于 3. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OP 是BOC 的平分线，OEAB，OFCD （1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对： ； （2）如果AOD=40 那么根据 ，可得BOC= 度 因为 OP 是BOC 的平分线，所以COP= = 度 求BOF 的度数 【答案答案】见解析 【解
19、析解析】解： （1）COE=BOF、COP=BOP、COB=AOD（写出任意两个即可） ； （2）对顶角相等，40 度； COP=BOC=20； AOD=40， BOF=9040=50 拔高 1.如图，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，且 BDCE，垂足为点 M下列说法：BM 的长是点 B 到 CE 的距离； CE 的长是点 C 到 AB 的距离；BD 的长是点 B 到 AC 的距离；CM 的长是点 C 到 BD 的距离其中正确的 是 （填序号） 【答案答案】 【解析解析】解：如图，因为 BDCE，因此 BM 的长是点 B 到 CE 的距离，故正确； 如图，因为 CE 与 AB 不垂
20、直，因此 CE 的长不是点 C 到 AB 的距离故错误； 如图，因为 BD 与 AC 不垂直，因此 BD 的长不是点 B 到 AC 的距离故错误； 如图，因为 BDCE，因此 CM 的长是点 C 到 BD 的距离，故正确； 综上所述，正确的说法是 故答案为： 2. 若A 与B 的两边分别垂直，且A 比B 的 2 倍少 30，则A= 【答案答案】30或 110 【解析解析】解：解：设B 是 x 度，根据题意，得 两个角相等时，如图 1： B=A=x， x=2x30 解得，x=30， 故A=30， 两个角互补时，如图 2： x+2x30=180， 所以 x=70， 27030=110 故答案为：3
21、0或 110 3.如图所示，O 是直线 AB 上一点，AOC=BOC，OC 是AOD 的平分线 （1）求COD 的度数 （2）判断 OD 与 AB 的位置关系，并说出理由 【答案答案】 （1）45； （2）垂直，理由见解析。 【解析解析】解： （1）AOC+BOC=180，AOC= 3 1 BOC， 3 1 BOC+BOC=180，解得BOC=135， AOC=180BOC=180135=45， OC 平分AOD，COD=AOC=45 （2）ODAB理由：由（1）知AOC=COD=45， AOD=AOC+COD=90，ODAB（垂直定义） 4.如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分B
22、OD，OF 平分COE （1）若AOC=76，求BOF 的度数； （2）若BOF=36，求AOC 的度数； （3）若|AOCBOF|=，请直接写出AOC 和BOF 的度数 （用含的代数式表示） 【答案答案】 （1）BOF=33； （2）AOC=72；(3) AOC=2x=（360 7 ）4 7，BOF=（ 360 7 ）+3 7 【解析解析】解： （1）若AOC=76，则BOD=AOC=76，BOC=180-76=104 OE平分BOD BOE=1 2BOD=38 COE=BOC+BOE=104+38=142 COF=1 2COE=71 BOF=BOC-COF=104-71=33 （2）OE平
23、分BOD，OF平分COE BOE=1 2BOD= 1 2AOC EOF=1 2COE 1 2COE - 1 2AOC=36 COE - AOC=72 COE=180- 1 2AOC 180- 1 2AOC - AOC=72 AOC=1082 3 =72。 (3) AOC=2x=（360 7 ）4 7，BOF=（ 360 7 ）+3 7 5. 在初中数学中，我们学习了“两点间的距离” 、 “点到直线的距离” 、 “平行线之间的距离” ，距离的本质 是“最短” ，图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离，如“垂线段最短”的性质，把点到直线的距离 转化为点到点（垂足）的距离 一般的，一个图形上的任意
24、点 A 与另一个图形上的任意点 B 之间的距离的最小值叫做两个图形的距离 （1） 如图 1， 过 A， B 分别作垂线段 AC、 AD、 BE、 BF， 则线段 AB 和直线 l 的距离为垂线段 的 长度 （2） 如图2， RtABC中， ACB=90， B=30， CDAB， AD=2， 那么线段AD与线段BC的距离为 （3）如图 3，若长为 1cm 的线段 CD 与已知线段 AB 的距离为 15cm，请用适当的方法表示满足条件的所有 线段 CD 注：若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示其所在区域 （保留 画图痕迹） 【答案答案】 （1）AC的长度； （2）3；(3) 见解析。 【解析解析】解： （1）如图所示： 过 A，B 分别作垂线段 AC、AD、BE、BF，则线段 AB 和直线 l 的距离为垂线段为：AC 的长度； （2）如图 2，过点 D 作 DEBC 于点 E， ACB=90，B=30，CDAB，AD=2，A=60则ACD=30，AC=2AD=4，AB=2AC=8， BD=6，则 DE= 1 2 BD=3； （3）如图 3 所示： 教学反思
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