1、 探索两条直线平行的条件 第9讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1、利用同位角判定两直线平行； 2、利用内错角、同旁内角判定两直线平行； 3、 “三线八角”的综合应用。 教学目标 1、同位角、内错角和同旁内角的概念； 2、掌握两条直线平行的条件。 教学重点 1、两直线平行的条件的掌握及运用； 2、识别“三线八角。 教学难点 1、两直线平行的条件的掌握及运用； 2、识别“三线八角。 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握“三线八角的”图形特征，能够利用同位角、内错角及同旁内角 的角度关系判断两条直线是否平行。
2、 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1.“三线八角”的认识； 2.两条直线位置关系的判断方法； 3.几何证明题的逻辑及思维方式。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关两条直线平行的证明问题，必须从基础着手，让学生完全掌握理解“三线八角”之后自主探索发现判 断直线平行的条件，在学习过程中要注意学生逻辑思维能力的培养，帮助学生打好几何证明的基础。 1.同位角、内错角及同旁内角的认识； 2.“三线八角”的识别 名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 两条直线平行的条 件 三线八角 同位角 内错角 同旁内角 判定定理及推论 同位角相等两直线平行 内错角相等两直线平
3、行 同旁内角互补两直线平行 平行（或垂直）于同一条直线的两条直 线互相平行 知识点 1 “三线八角” 二、知识讲解 一、导入 教学过程 同位角 在两条被截直 线同旁， 在 截线同侧 去掉多余的线 呈现基本 图形 形如字母 F(或 倒置或反 置) 内错角 在两条被截直 线 之间(内)，在截 线 两侧(交错) 形如字母 Z(或 倒 置或反置) 同旁内角 在两条被截直 线 之间(内)，在截 线 同侧 形如字母 U(或 倒 置或反置) 1. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 简称：同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 2. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等
4、，那么这两条直线平行； 简称：内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行 3.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行 4. 平行（或垂直）于同一条直线的两条直线互相平行 三、例题精析 知识点 2 两条直线平行的条件 【题干】如图，四个图形中的1 和2，不是同位角的是（ ） 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据“三线八角”的特征判断 C 中的1 和2 不是同位角 故选 C 【题干】【题干】我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是 （ ） A同位角相等，两直线平行 B内错角相等，两直线平行
5、C同旁内角互补，两直线平行 D两直线平行，同位角相等 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由图可知，形成了一组相等的同位角。故选 A。 【题干】【题干】如图，点 E 在 AC 的延长线上，下列条件中能判断 ABCD 的是（ ） A.3=4 B.D=DCE C.1=2 D.D+ACD=180 【答案】【答案】C 【解析】【解析】当1=2 根据“内错角相等，两直线平行”可判断 ABCD，故选 C 例题 3 例题 2 例题 1 【题干】【题干】如图，点 B 是ADC 的边 AD 的延长线上一点，若C=50，BDE=60，ADC=70。求证：DE AC 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】解：解
6、：BDE=60，ADC=70 CDE=1806070=50 C=50 C=CDE ACDE 【教学建议】【教学建议】 在学习过程中要注意循序渐进，遵循从易到难的学习过程，先让学生对“三线八角”的图形有充分的认识， 能够灵活快速的判断角的关系，再延伸到更复杂的几何图形中，并要注重几何思维和逻辑方法的培养，让 学生养成良好的做题习惯，形成正确的阶梯格式。 1. 如图，属于同位角是（ ） A1 和2 B1 和3 C1 和4 D2 和3 【答案】【答案】A. 【解析】【解析】根据“三线八角”的角度特征判断。 2. 如图，下列条件中能判断直线 l1l2的是（ ） 43 2 1 基础 四 、课堂运用 例题
7、 4 A1=2 B1=5 C1+3=180 D3=5 【答案】【答案】C. 【解析】【解析】当当1+3=180时可根据“同旁内角互补两直线平行”的定理进行判定，故选 C。 3. 若 PE 平分BEF，PF 平分DFE，1=35，2=55，则 AB 与 CD 平行吗？为什么？ 【答案】【答案】平行，理由见解析。 【解析】【解析】解：解：PE 平分BEF，PF 平分DFE，1=35，2=55， BEF=21=70，DFE=22=110（角平分线的定义） ， BEF+DFE=70+110=180（等式的性质） ， ABCD（同旁内角互补，两直线平行） 1. 如图，下列不能判定ABCD的条件是( ).
8、 A、B+BCD=180 B、 21 C、 43 D、B=5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由 21 可得 ADBC，故选 B。 2. 如图，下列说法错误的是（ ） A若 ab，bc，则 ac B若1=2，则 ac C若3=2，则 bc D若3+5=180，则 ac 巩固 【答案】【答案】C 【解析】【解析】若3=2，则 de，故 C 错误。 3. 如图， 直角 APB 的顶点 P 在直线 b 上， 一边与直线 a 交于点 A， 且1+2=90， 请你说明 ab 的理由 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】解：如图 APB 是直角， 3+2=APB=90， 又1+2=90， 1=3
9、，ab 1. 在下面判断两条直线平行的方法中，正确的有（ ） 在同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线重合或平行； 平行于同一条直线的两条直线平行； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行 A6 个 B5 个 C4 个 D3 个 【答案】【答案】A 【解析】【解析】解：考查两条直线平行的条件，全部都正确，故选 A。 2. 如图 1，木工师傅在一块木板上画两条平行线，方法是：用角尺画木板边缘的两条垂线，这样画的理由 拔高 有下列 4 种说法：其中正确的是（ ） 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线
10、平行； 同旁内角互补，两直线平行； 平面内垂直于同一直线的两条直线平行 A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】观察图形，没有形成相等的内错角，故选 C。 3. 如图，RtAOB 和 RtCOD 中，AOB=COD=90，B=40，C=60，点 D 在边 OA 上，将图中的 COD 绕点 O 按每秒 10的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边 CD 恰好与边 AB 平行 【答案】【答案】10 或 28 【解析】【解析】解：两三角形在点 O 的同侧时，如图 1，设 CD 与 OB 相交于点 E， ABCD， CEO=B=40， C=60，COD=90， D=906
11、0=30， DOE=CEOD=4030=10， 旋转角AOD=AOB+DOE=90+10=100， 每秒旋转 10， 时间为 10010=10 秒； 两三角形在点 O 的异侧时，如图 2，延长 BO 与 CD 相交于点 E， ABCD， CEO=B=40， C=60，COD=90， D=9060=30， DOE=CEOD=4030=10， 旋转角为 270+10=280， 每秒旋转 10， 时间为 28010=28 秒； 综上所述，在第 10 或 28 秒时，边 CD 恰好与边 AB 平行 故答案为：10 或 28 4. 如图，EAC90，1290，13，24. (1)如图，求证：DEBC；
12、(2)若将图改变为图，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由 【答案】【答案】见解析。见解析。 【解析】【解析】（1）如图 1， 1=3，2=4， 1+3+2+4=2（1+2） ， 1+2=90， 1+3+2+4=180； D+B+1+3+2+4=360， D+B=180， DEBC （2）成立 如图 2，连接 EC； 1=3，2=4，且1+2=90， 3+4=1+2=90； EAC=90， AEC+ACE=180-90=90， AEC+ACE+3+4=180， DEBC， 即（1）中的结论仍成立 课堂小结 1 “三线八角”的认识； 2.同位角相等，两直线平行 3.内错角相等，两直
13、线平行 4.同旁内角互补，两直线平行 5. 平行（或垂直）于同一条直线的两条直线互相平行 1. 所示，下列各组角的位置，判断错误的是（ ） AC 和CFG 是同旁内角 BCGF 和AFG 是内错角 CBGF 和A 是同旁内角 DBGF 和AFD 是同位角 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据“三线八角”判断，BGF 和A 不是同旁内角，故选 C。 2. 如图，已知1=70，要使 ABCD，则须具备另一个条件（ ） A2=70 B2=100 C2=110 D3=110 【答案答案】C 【解析解析】1 与2 为一组同旁内角，所以当1+2=180时，ABCD。故选 C 3. 如图，请你找出图中互
14、相平行的两条直线：_ 【答案答案】ABDE 基础 扩展延伸 【解析解析】解：ABC 与BGD 为一组同旁内角 ABC+BGD=50+130=180 ABDE 4. 如图，EFAB，FCAB，则可知点 E、C、F 在一条直线上.理由是：_. 【答案答案】过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线 【解析解析】知识点的考查。 1.1. 如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是（ ） A同位角相等两直线平行 B同旁内角互补，两直线平行 C内错角相等两直线平行 D平行于同一条直线的两直线平行 【答案答案】C. 【解析解析】如图形成了一组相等的内错角。故选 C 2. 如图，四
15、边形 ABCD 中，A=C=90，BE 平分ABC，DF 平分ADC，则 BE 与 DF 有何位置关系？试说 明理由 【答案答案】BEDF，理由见解析。 【解析解析】解：A=C=90（已知） ， ABC+ADC=180（四边形的内角和等于 360） 巩固 BE 平分ABC，DF 平分ADC， 1=2=1 2ABC，3=4= 1 2ADC（角平分线的定义） 1+3=1 2（ABC+ADC）= 1 2180=90（等式的性质） 又1+AEB=90（三角形的内角和等于 180） ， 3=AEB（同角的余角相等） BEDF（同位角相等，两直线平行） 3.我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线
16、从水中射入空气中，同样会发生折射现象如图， 是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图由于折射率相同，因此已知1=4， 2=3请你用所学知识来判断 c 与 d 是否平行？并说明理由 【答案答案】cd；理由见解析。 【解析解析】解：1+5=4+6，1=4， 5=6， 2=3， 2+5=3+6（等式的性质） ， cd（内错角相等，两直线平行） 4. 完成下面的证明： 已知：如图BE 平分ABD，DE 平分BDC，且1+2=90 求证：ABCD 证明：DE 平分BDC（已知） ， BDC=21（ ） BE 平分ABD（已知） ， ABD= （角的平分线的定义） BDC+ABD=21+22=2
17、（1+2） （ ） 1+2=90（已知） ， ABD+BDC= （ ） ABCD（ ） 【答案答案】见解析。 【解析解析】证明：DE 平分BDC（已知） ， BDC=21（ 角平分线的定义 ） BE 平分ABD（已知） ， ABD= 22 （角的平分线的定义） BDC+ABD=21+22=2（1+2） （ 等量代换 ） 1+2=90（已知） ， ABD+BDC= 180 （ 等量代换 ） ABCD（ 同旁内角互补两直线平行 ） 1. 如图，已知BEDBD ，求证： /ABCD 【答案答案】见解析 【解析解析】证明：延长BE交CD于F BED 是DEF 的外角， (BEDDEFD 三角形的一个外
18、角等于和它不相邻的两个内角和)， 又BEDBD ， (BEFD 等量代换)， / /(ABCD内错角相等，两直线平行) 拔高 2. 将一块直角三角板放在如图所示的位置，1 与2 互余，试判断直线 a 与 b 的位置关系并证明 【答案答案】ab，理由见解析。 【解析解析】解：过点 C 作 CHDF， CHDF， 2=BCH 1+2=90， BCH+1=90， BCH+ACH=90， 1=ACH， CHa， ab 3. 如图，已知1=2，3=4，5=6，试判断 ED 与 FB 的位置关系，并说明为什么 【答案答案】BF、DE互相平行，理由见解析。 【解析解析】解：如图； 3=4， BDCF， 5=
19、BAF， 又5=6， BAF=6， ABCD， 2=EHA， 又1=2，即1=EHA， BFDE 4. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分EOC，且EOC：EOD=2：3 （1）求BOD 的度数； （2）如图 2，点 F 在 OC 上，直线 GH 经过点 F，FM 平分OFG，且MFHBOD=90，求证：OEGH 【答案答案】 （1）BOD=36；(2)证明见解析。 【解析解析】解： （1）EOC：EOD=2：3， EOC=180=72， OA 平分EOC， AOC=EOC=72=36， BOD=AOC=36 （2）延长 FM 交 AB 于 N，如图所示： MFHBOD=90，FM 平分OFG， MFC=MFH=BOD+90=126， ONF=12636=90， OFM=9036=54， OFG=2OFM=108， OFG+EOC=180， OEGH 教学反思
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