1、第第 3 章章 圆的基本性质（圆的基本性质（3） 一、选择题（共一、选择题（共 9 小题）小题） 1如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到COD 的位置，则 旋转的角度为（ ） A30 B45 C90 D135 2 如图， 在ABC 中， ACBC， 点 D、 E 分别是边 AB、 AC 的中点， 将ADE 绕点 E 旋转 180得CFE， 则四边形 ADCF 一定是（ ） A矩形 B菱形 C正方形 D梯形 3如图，ABC 以点 O 为旋转中心，旋转 180后得到ABCED 是ABC 的中位线，经旋转后 为线段 ED已知 BC4，则 ED（ ） A
2、2 B3 C4 D1.5 4如图，将 RtABC（其中B35，C90）绕点 A 按顺时针方向旋转到AB1C1的位置，使得点 C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A55 B70 C125 D145 5如图（1） ，已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合将ACB 绕点 C 按顺时针方向旋转到 ACB的位置，其中 AC 交直线 AD 于点 E，AB分别交直线 AD、AC 于点 F、G，则在图（2） 中，全等三角形共有（ ） A5 对 B4 对 C3 对 D2 对 6如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，BC2，将ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 60后得 到EDC，此时点
3、 D 在斜边 AB 上，斜边 DE 交 AC 于点 F则图中阴影部分的面积为（ ） A2 B C D 7如图，在ABC 中，CAB70在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到ABC的位置，使得 CCAB，则BAB（ ） A30 B35 C40 D50 8如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到ADE若CAE65，E70，且 ADBC， BAC 的度数为（ ） A60 B75 C85 D90 9把一副三角板如图甲放置， 其中ACBDEC90，A45，D30， 斜边 AB6， DC7， 把三角板 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到D1CE1（如图乙） ，此时 AB 与 CD1交于点
4、O，则线段 AD1 的长为（ ） A B5 C4 D 二、填空题（共二、填空题（共 13 小题）小题） 10如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABCD的位置，旋转角为 （090） ，若 1110，则 11 如图， 把 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 40， 得到 RtABC， 点 C恰好落在边 AB 上， 连接 BB， 则BBC 度 12如图，在等边ABC 中，AB6，D 是 BC 的中点，将ABD 绕点 A 旋转后得到ACE，那么线段 DE 的长度为 13 如图， ABC 和ABC 是两个完全重合的直角三角板， B30， 斜边长为 10cm 三角板 AB C 绕直角顶点
5、C 顺时针旋转，当点 A落在 AB 边上时，CA旋转所构成的扇形的弧长为 cm 14如图，在直角OAB 中，AOB30，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 100得到OA1B1，则A1OB 15如图，RtABC 的斜边 AB16，RtABC 绕点 O 顺时针旋转后得到 RtABC，则 RtAB C的斜边 AB上的中线 CD 的长度为 16如图，在方格纸中，每个小方格都是边长为 1cm 的正方形，ABC 的三个顶点都在格点上，将ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后得到ABC（其中 A、B、C 的对应点分别为 A，B，C，则点 B 在旋转过程中所经过的路线的长是 cm （结果保留 ） 17如图，是两块
6、完全一样的含 30角的三角板，分别记作ABC 与ABC，现将两块三角板重叠 在一起，设较长直角边的中点为 M，绕中点 M 转动上面的三角板 ABC，使其直角顶点 C 恰好落在三角 板ABC的斜边AB上， 当A30， AC10时， 则此时两直角顶点C、 C间的距离是 18 如图， 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O， 正三角形 OEF 绕点 O 旋转 在旋转过程中， 当 AEBF 时， AOE 的大小是 19如图所示，将ABC 绕 AC 的中点 O 顺时针旋转 180得到CDA，添加一个条件 ，使四边形 ABCD 为矩形 20如图，将ABC 绕其中一个顶点顺时针连续旋转 n1、n2、n3所得
7、到的三角形和ABC 的对称关 系是 21 如图， 在ABC 中， AB2， BC3.6， B60， 将ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到ADE， 当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为 22如图，在 RtABC 中，ACB90，A，将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转后得到EDC，此 时点 D 在 AB 边上，则旋转角的大小为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题）小题） 23如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 D 在边 AB 上，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 顺时针 旋转 90至 CE 位置，连接 AE （1）求证：ABAE； （2）若 B
8、C2ADAB，求证：四边形 ADCE 为正方形 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（2，0） ，等边三角形 AOC 经过平移或轴对称或旋 转都可以得到OBD （1）AOC 沿 x 轴向右平移得到OBD，则平移的距离是 个单位长度；AOC 与BOD 关于 直线对称， 则对称轴是 ； AOC 绕原点 O 顺时针旋转得到DOB， 则旋转角度可以是 度； （2）连结 AD，交 OC 于点 E，求AEO 的度数 25如图所示，正方形 ABCD 中，E 是 CD 上一点，F 在 CB 的延长线上，且 DEBF （1）求证：ADEABF； （2）问：将ADE 顺时针旋转多少度后与ABF
9、 重合，旋转中心是什么？ 26四边形 ABCD 是正方形，E、F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且 DEBF，连接 AE、AF、EF （1）求证：ADEABF； （2）填空：ABF 可以由ADE 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到； （3）若 BC8，DE6，求AEF 的面积 27如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起，构成 一个大的长方形 ABEF现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD，旋转角为 a （1）当点 D恰好落在 EF 边上时，求旋转角 a 的值； （2）如图 2，G 为 BC
10、中点，且 0a90，求证：GDED； （3）小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，DCD与CBD能否全等？若能，直接写 出旋转角 a 的值；若不能说明理由 28将ABC 绕点 B 逆时针旋转 得到DBE，DE 的延长线与 AC 相交于点 F，连接 DA、BF （1）如图 1，若ABC60，BFAF 求证：DABC；猜想线段 DF、AF 的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图 2，若ABC，BFmAF（m 为常数） ，求的值（用含 m、 的式子表示） 29某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 60角的直角三角板 ABC 与 AFE 按 如图（1）所示位置放置
11、，现将 RtAEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角 （090） ，如图（2） ，AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P （1）求证：AMAN； （2）当旋转角 30时，四边形 ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由 30如图 1，在ABC 中，A36，ABAC，ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E （1）求证：AEBC； （2）如图（2） ，过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，将AEF 绕点 A 逆时针旋转角 （0144）得 到AEF，连结 CE，BF，求证：CEBF； （3） 在 （2） 的旋转过程中是否存在 CEAB？若存在， 求出相
12、应的旋转角 ； 若不存在， 请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 9 小题）小题） 1如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到COD 的位置，则 旋转的角度为（ ） A30 B45 C90 D135 【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角BOD 即为旋转角 【解答】解：AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到COD 的位置， 对应边 OB、OD 的夹角BOD 即为旋转角， 旋转的角度为 90 故选：C 【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键 2 如图， 在ABC 中， ACBC， 点 D
13、、 E 分别是边 AB、 AC 的中点， 将ADE 绕点 E 旋转 180得CFE， 则四边形 ADCF 一定是（ ） A矩形 B菱形 C正方形 D梯形 【分析】根据旋转的性质可得 AECE，DEEF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出 四边形 ADCF 是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出ADC90，再利用有一个角 是直角的平行四边形是矩形解答 【解答】解：ADE 绕点 E 旋转 180得CFE， AECE，DEEF， 四边形 ADCF 是平行四边形， ACBC，点 D 是边 AB 的中点， ADC90， 四边形 ADCF 是矩形 故选：A 【点评】本题考查了旋转的
14、性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有 一个角是直角的平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状 与大小是解题的关键 3如图，ABC 以点 O 为旋转中心，旋转 180后得到ABCED 是ABC 的中位线，经旋转后 为线段 ED已知 BC4，则 ED（ ） A2 B3 C4 D1.5 【分析】先根据图形旋转不变性的性质求出 BC的长，再根据三角形中位线定理即可得出结论 【解答】解：ABC 以点 O 为旋转中心，旋转 180后得到ABC， ABCABC， BCBC4， DE是ABC的中位线， DEBC42 故选：A 【点评】本题考查的
15、是图形旋转的性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键 4如图，将 RtABC（其中B35，C90）绕点 A 按顺时针方向旋转到AB1C1的位置，使得点 C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A55 B70 C125 D145 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出BAC，然后求出BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角 BAB1即为旋转角 【解答】解：B35，C90， BAC90B903555， 点 C、A、B1在同一条直线上， BAB180BAC18055125， 旋转角等于 125 故选：C 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确对
16、应边的 夹角即为旋转角是解题的关键 5如图（1） ，已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合将ACB 绕点 C 按顺时针方向旋转到 ACB的位置，其中 AC 交直线 AD 于点 E，AB分别交直线 AD、AC 于点 F、G，则在图（2） 中，全等三角形共有（ ） A5 对 B4 对 C3 对 D2 对 【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 【解答】 解： 旋转后的图中， 全等的三角形有： BCGDCE， ABCADC， AGFA EF， ACEACG，共 4 对 故选：B 【点评】 本题考查图形的旋转和三角形全等的判定方法，
17、 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、 ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与， 若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，难度不大 6如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，BC2，将ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 60后得 到EDC，此时点 D 在斜边 AB 上，斜边 DE 交 AC 于点 F则图中阴影部分的面积为（ ） A2 B C D 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出B60，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形 状与大小可得 CDBC，再求出ACD30，CFD90，解直角三角形求出 DF
18、、CF，然后利用 三角形的面积公式列式计算即可得解 【解答】解：ACB90，A30， B903060， ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 60后得到EDC，点 D 在斜边 AB 上， BCD60，CDBC2， ACDACBBCD906030， CFD180306090， 在 RtCDF 中，DFCD21， CF， 阴影部分的面积DFCF1 故选：C 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质并求出CDF 是有一个角是 30的 直角三角形是解题的关键 7如图，在ABC 中，CAB70在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到ABC的位置，使得 CCAB，则BAB（ ） A30 B
19、35 C40 D50 【分析】旋转中心为点 A，B 与 B，C 与 C分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角BAB CAC，ACAC，再利用平行线的性质得CCACAB，把问题转化到等腰ACC中，根据 内角和定理求CAC 【解答】解：CCAB，CAB70， CCACAB70， 又C、C为对应点，点 A 为旋转中心， ACAC，即ACC为等腰三角形， BABCAC1802CCA40 故选：C 【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角 为旋转角同时考查了平行线的性质 8如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到ADE若CAE65，E70，且
20、 ADBC， BAC 的度数为（ ） A60 B75 C85 D90 【分析】根据旋转的性质知，旋转角EACBAD65，对应角CE70，则在直角ABF 中易求B25，所以利用ABC 的内角和是 180来求BAC 的度数即可 【解答】解：根据旋转的性质知，EACBAD65，CE70 如图，设 ADBC 于点 F则AFB90， 在 RtABF 中，B90BAD25， 在ABC 中，BAC180BC180257085，即BAC 的度数为 85 故选：C 【点评】本题考查了旋转的性质解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互 余的性质来求相关角的度数的 9把一副三角板如图甲放置， 其
21、中ACBDEC90，A45，D30， 斜边 AB6， DC7， 把三角板 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到D1CE1（如图乙） ，此时 AB 与 CD1交于点 O，则线段 AD1 的长为（ ） A B5 C4 D 【分析】先求出ACD30，再根据旋转角求出ACD145，然后判断出ACO 是等腰直角三角 形，再根据等腰直角三角形的性质求出 AO、CO，ABCO，再求出 OD1然后利用勾股定理列式计算即 可得解 【解答】解：ACBDEC90，D30， DCE903060， ACD906030， 旋转角为 15， ACD130+1545， 又CAB45， ACO 是等腰直角三角形， ACOBC
22、O45， CACB， AOCOAB63， DC7， D1CDC7， D1O734， 在 RtAOD1中，AD15 故选：B 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角 形的性质判断出 ABCO 是解题的关键，也是本题的难点 二、填空题（共二、填空题（共 13 小题）小题） 10如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABCD的位置，旋转角为 （090） ，若 1110，则 20 【分析】 根据矩形的性质得BDBAD90， 根据旋转的性质得DD90， 4， 利用对顶角相等得到12110，再根据四边形的内角和为 360可计算出370，然后
23、利用 互余即可得到 的度数 【解答】解：如图， 四边形 ABCD 为矩形， BDBAD90， 矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转得到矩形 ABCD， DD90，4， 12110， 3360909011070， 4907020， 20 故答案为：20 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转 中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了矩形的性质 11 如图， 把 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 40， 得到 RtABC， 点 C恰好落在边 AB 上， 连接 BB， 则BBC 20 度 【分析】 根据旋转的性质可得 ABAB， BAB40， 然后根据
24、等腰三角形两底角相等求出ABB， 再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解 【解答】解：RtABC 绕点 A 逆时针旋转 40得到 RtABC， ABAB，BAB40， 在ABB中，ABB（180BAB）（18040）70， ACBC90， BCAB， BBC90ABB907020 故答案为：20 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转 变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键 12如图，在等边ABC 中，AB6，D 是 BC 的中点，将ABD 绕点 A 旋转后得到ACE，那么线段 DE 的长度为 3 【分析】首
25、先，利用等边三角形的性质求得 AD3；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知 ADE 为等边三角形，则 DEAD 【解答】解：如图，在等边ABC 中，B60，AB6，D 是 BC 的中点， ADBD，BADCAD30， ADABcos3063 根据旋转的性质知，EACDAB30，ADAE， DAEEAC+CAD60， ADE 的等边三角形， DEAD3， 即线段 DE 的长度为 3 故答案为：3 【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点 与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等 13 如图， ABC 和ABC 是两个完全重
26、合的直角三角板， B30， 斜边长为 10cm 三角板 AB C 绕直角顶点 C 顺时针旋转，当点 A落在 AB 边上时，CA旋转所构成的扇形的弧长为 cm 【分析】 根据 RtABC 中的 30角所对的直角边是斜边的一半、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半以及旋转的性质推知AAC 是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求 CA旋 转所构成的扇形的弧长 【解答】解：在 RtABC 中，B30，AB10cm， ACAB5cm 根据旋转的性质知，ACAC， ACAB5cm， 点 A是斜边 AB 的中点， AAAB5cm， AAACAC， ACA60， CA旋转所构成的扇形的弧长
27、为：（cm） 故答案是： 【点评】本题考查了弧长的计算、旋转的性质解题的难点是推知点 A是斜边 AB 的中点，同时，这也 是解题的关键 14如图，在直角OAB 中，AOB30，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 100得到OA1B1，则A1OB 70 【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可 【解答】解：将OAB 绕点 O 逆时针旋转 100得到OA1B1，AOB30， OABOA1B1， A1OB1AOB30 A1OBA1OAAOB70 故答案为：70 【点评】 本题考查的是旋转的性质， 熟知图形旋转前后对应边、 对应角均相等的性质是解答此题的关键 15如图，RtABC 的斜边 AB16，Rt
28、ABC 绕点 O 顺时针旋转后得到 RtABC，则 RtAB C的斜边 AB上的中线 CD 的长度为 8 【分析】根据旋转的性质得到 ABAB16，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可 【解答】解：RtABC 绕点 O 顺时针旋转后得到 RtABC， ABAB16， CD 为 RtABC的斜边 AB上的中线， CDAB8 故答案为：8 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转 中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了直角三角形斜边上的中线性质 16如图，在方格纸中，每个小方格都是边长为 1cm 的正方形，ABC 的三个顶点都在格点上，将ABC
29、 绕点 O 逆时针旋转 90后得到ABC（其中 A、B、C 的对应点分别为 A，B，C，则点 B 在旋转过程中所经过的路线的长是 cm （结果保留 ） 【分析】让三角形的顶点 B、C 都绕点 A 逆时针旋转 90后得到对应点，顺次连接即可旋转过程中点 B 所经过的路线是一段弧，根据弧长公式计算即可 【解答】解：如图所示：点 B 在旋转过程中所经过的路线的长是：（cm） 故答案为： 【点评】本题主要考查了旋转变换图形的方法及利用直角坐标系解决问题的能力 17如图，是两块完全一样的含 30角的三角板，分别记作ABC 与ABC，现将两块三角板重叠 在一起，设较长直角边的中点为 M，绕中点 M 转动上
30、面的三角板 ABC，使其直角顶点 C 恰好落在三角 板 ABC的斜边 AB上， 当A30， AC10 时， 则此时两直角顶点 C、 C间的距离是 5 【分析】 此题先连接 CC， 根据 M 是 AC、 AC的中点， ACAC， 得出 CMAMCMAC 5，再根据AACM30，得出CMC60，MCC为等边三角形，从而证出 CC CM，即可得出答案 【解答】解：连接 CC，两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为 M， M 是 AC、AC的中点，ACAC， CMAMCMAC5， AACM30， CMC60， MCC为等边三角形， CCCM5， CC 长为 5 故填：5 【点评】本题考查了旋转的性质
31、，要与特殊三角形的性质与判定相结合 18 如图， 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O， 正三角形 OEF 绕点 O 旋转 在旋转过程中， 当 AEBF 时， AOE 的大小是 15或 165 【分析】讨论：如图 1，连结 AE、BF，根据正方形与等边三角形的性质得 OAOB，AOB90，OE OF，EOF60，根据“SSS”可判断AOEBOF，则AOEBOF，于是AOEBOF （9060）15；如图 2，同理可证得AOEBOF，所以AOEBOF，则DOF COE，于是DOF（9060）15，所以AOE18015165 【解答】解：连结 AE、BF， 如图 1， 四边形 ABCD 为正方形，
32、 OAOB，AOB90， OEF 为等边三角形， OEOF，EOF60， 在OAE 和OBF 中 ， OAEOBF（SSS） ， AOEBOF（9060）15， 如图 2， 在AOE 和BOF 中 ， AOEBOF（SSS） ， AOEBOF， DOFCOE， DOF（9060）15， 若 F 点在 E 点上方，则AOE18015165； AOE 大小为 15或 165 故答案为 15或 165 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转 中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了正方形与等边三角形的性质 19如图所示，将ABC 绕 AC 的中点 O
33、顺时针旋转 180得到CDA，添加一个条件 B90 ，使 四边形 ABCD 为矩形 【分析】根据旋转的性质得 ABCD，BACDCA，则 ABCD，得到四边形 ABCD 为平行四边形， 根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为B90 【解答】解：ABC 绕 AC 的中点 O 顺时针旋转 180得到CDA， ABCD，BACDCA， ABCD， 四边形 ABCD 为平行四边形， 当B90时，平行四边形 ABCD 为矩形， 添加的条件为B90 故答案为B90 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转 中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了矩形的
34、判定 20如图，将ABC 绕其中一个顶点顺时针连续旋转 n1、n2、n3所得到的三角形和ABC 的对称关 系是 关于旋转点成中心对称 【分析】先根据三角形内角和为 180得出 n1+n2+n3180，再由旋转的定义可知，将ABC 绕 其中一个顶点顺时针旋转 180所得到的三角形和ABC 关于这个点成中心对称 【解答】解：n1+n2+n3180， 将ABC 绕其中一个顶点顺时针连续旋转 n1、n2、n3，就是将ABC 绕其中一个顶点顺时针旋 转 180， 所得到的三角形和ABC 关于这个点成中心对称 故答案为：关于旋转点成中心对称 【点评】 本题考查了三角形内角和定理， 旋转的定义与性质， 比较
35、简单 正确理解顺时针连续旋转 n1、 n2、n3，就是顺时针旋转 180是解题的关键 21 如图， 在ABC 中， AB2， BC3.6， B60， 将ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到ADE， 当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为 1.6 【分析】由将ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上， 可得 ADAB，又由B60，可证得ABD 是等边三角形，继而可得 BDAB2，则可求得答案 【解答】解：由旋转的性质可得：ADAB， B60， ABD 是等边三角形， BDAB， AB2，BC3.6， CDBCB
36、D3.621.6 故答案为：1.6 【点评】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质此题比较简单，注意掌握旋转前后图形 的对应关系，注意数形结合思想的应用 22如图，在 RtABC 中，ACB90，A，将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转后得到EDC，此 时点 D 在 AB 边上，则旋转角的大小为 2a 【分析】由在 RtABC 中，ACB90，A，可求得：B90，由旋转的性质可得：CB CD，根据等边对等角的性质可得CDBB90，然后由三角形内角和定理，求得答案 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，A， B90， 由旋转的性质可得：CBCD， CDBB90， BCD180BCD
37、B2 即旋转角的大小为 2 故答案为：2 【点评】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理此题难度不大，注意掌握 旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题）小题） 23如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 D 在边 AB 上，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 顺时针 旋转 90至 CE 位置，连接 AE （1）求证：ABAE； （2）若 BC2ADAB，求证：四边形 ADCE 为正方形 【分析】 （1）根据旋转的性质得到DCE90，CDCE，利用等角的余角相等得BCDACE，然 后根据“SAS”可判断BCDACE，则BC
38、AE45，所以DAE90，即可得到结论； （2）由于 BCAC，则 AC2ADAB，根据相似三角形的判定方法得到DACCAB，则CDA BCA90，可判断四边形 ADCE 为矩形，利用 CDCE 可判断四边形 ADCE 为正方形 【解答】证明： （1）ACB90，ACBC， BBAC45， 线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90至 CE 位置， DCE90，CDCE， ACB90， ACBACDDCEACD， 即BCDACE， 在BCD 和ACE 中 ， BCDACE， BCAE45， BAE45+4590， ABAE； （2）BC2ADAB， 而 BCAC， AC2ADAB， DACCAB，
39、 DACCAB， CDABCA90， 而DAE90，DCE90， 四边形 ADCE 为矩形， CDCE， 四边形 ADCE 为正方形 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转 中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等、相似的判定与性质以 及正方形的判定 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（2，0） ，等边三角形 AOC 经过平移或轴对称或旋 转都可以得到OBD （1）AOC 沿 x 轴向右平移得到OBD，则平移的距离是 2 个单位长度；AOC 与BOD 关于直 线对称， 则对称轴是 y 轴 ；
40、AOC 绕原点 O 顺时针旋转得到DOB， 则旋转角度可以是 120 度； （2）连结 AD，交 OC 于点 E，求AEO 的度数 【分析】 （1）由点 A 的坐标为（2，0） ，根据平移的性质得到AOC 沿 x 轴向右平移 2 个单位得到 OBD，则AOC 与BOD 关于 y 轴对称；根据等边三角形的性质得AOCBOD60，则AOD 120，根据旋转的定义得AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120得到DOB； （2）根据旋转的性质得到 OAOD，而AOCBOD60，得到DOC60，所以 OE 为等腰 AOD 的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到 OE 垂直平分 AD，则AEO90 【解答】
41、解： （1）点 A 的坐标为（2，0） ， AOC 沿 x 轴向右平移 2 个单位得到OBD； AOC 与BOD 关于 y 轴对称； AOC 为等边三角形， AOCBOD60， AOD120， AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120得到DOB （2）如图，等边AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120得到DOB， OAOD， AOCBOD60， DOC60， 即 OE 为等腰AOD 的顶角的平分线， OE 垂直平分 AD， AEO90 故答案为 2；y 轴；120 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转 中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等边三
42、角形的性质、轴对称的性质以及平移的性质 25如图所示，正方形 ABCD 中，E 是 CD 上一点，F 在 CB 的延长线上，且 DEBF （1）求证：ADEABF； （2）问：将ADE 顺时针旋转多少度后与ABF 重合，旋转中心是什么？ 【分析】 （1）根据 SAS 定理，即可证明两三角形全等； （2）将ADE 顺时针旋转后与ABF 重合，A 不变，因而旋转中心是 A，DAB 是旋转角，是 90 度 【解答】 （1）证明：在正方形 ABCD 中， DABC90， ABF90， DABF90， 又DEBF，ADAB， ADEABF （2）解：将ADE 顺时针旋转 90 后与ABF 重合， 旋转中
43、心是点 A 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定方法，以及旋转的定义，正确理解旋转的定义是解决本题的 关键 26四边形 ABCD 是正方形，E、F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且 DEBF，连接 AE、AF、EF （1）求证：ADEABF； （2）填空：ABF 可以由ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到； （3）若 BC8，DE6，求AEF 的面积 【分析】 （1）根据正方形的性质得 ADAB，DABC90，然后利用“SAS”易证得ADE ABF； （2）由于ADEABF 得BAFDAE，则BAF+BAE90，即FAE90，根据旋转的定 义可得到ABF 可以
44、由ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到； （3）先利用勾股定理可计算出 AE10，再根据ABF 可以由ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋 转 90 度得到 AEAF，EAF90，然后根据直角三角形的面积公式计算即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ADAB，DABC90， 而 F 是 CB 的延长线上的点， ABF90， 在ADE 和ABF 中 ， ADEABF（SAS） ； （2）解：ADEABF， BAFDAE， 而DAE+EAB90， BAF+EAB90，即FAE90， ABF 可以由ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度
45、得到； 故答案为 A、90； （3）解：BC8， AD8， 在 RtADE 中，DE6，AD8， AE10， ABF 可以由ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到， AEAF，EAF90， AEF 的面积AE210050 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转 中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理 27如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起，构成 一个大的长方形 ABEF现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 C
46、EFD，旋转角为 a （1）当点 D恰好落在 EF 边上时，求旋转角 a 的值； （2）如图 2，G 为 BC 中点，且 0a90，求证：GDED； （3）小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，DCD与CBD能否全等？若能，直接写 出旋转角 a 的值；若不能说明理由 【分析】（1） 根据旋转的性质得 CDCD2， 在 RtCED中， CD2， CE1， 则CDE30， 然后根据平行线的性质即可得到30； （2）由 G 为 BC 中点可得 CGCE，根据旋转的性质得DCEDCE90，CECE，则 GCDDCE90+，然后根据“SAS”可判断GCDECD，则 GDED； （3）根据
47、正方形的性质得 CBCD，而 CDCD，则BCD与DCD为腰相等的两等腰三角形， 当两顶角相等时它们全等，当BCD与DCD为钝角三角形时，可计算出 135，当BCD与 DCD为锐角三角形时，可计算得到 315 【解答】 （1）解：长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD， CDCD2， 在 RtCED中，CD2，CE1， CDE30， CDEF， 30； （2）证明：G 为 BC 中点， CG1， CGCE， 长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD， DCEDCE90，CECECG， GCDDCE90+， 在GCD和ECD 中 ， GCDECD（SAS） ， GDED； （3）解：能理由如下： 四边形 ABCD 为正方形， CBCD， CDCD， BCD与DCD为腰相等的两等腰三角形， 当BCDDCD时，BCDDCD， 当BCD与DCD为钝角三角形时，则旋转角 135， 当BCD与DCD为锐角三角形时，BCDDCDBCD45 则 360315， 即旋转角 a 的值为 135或 315时，BCD与DCD全等 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转 中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了正方形、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质 28将ABC 绕点 B 逆时针旋转 得到DBE，DE 的延长线与 AC 相交
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