1、2020 年年新人教版九年级上册第新人教版九年级上册第 22 章章 二次函数单元测试卷（二次函数单元测试卷（4） 一一.选择题（每题选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各式中，y 是 x 的二次函数的是（ ） Axy+x21 Bx2+y20 Cy2ax2 Dx2y2+10 2 （3 分）在同一坐标系中，作 y2x2+2、y2x21、的图象，则它们（ ） A都是关于 y 轴对称 B顶点都在原点 C都是抛物线开口向上 D以上都不对 3 （3 分）下列对二次函数 yax2+bx+c（a0，a，b，c 为常数）叙述不正确的是（ ） A二次函数因变量一定有最大值或最小值 B
2、二次函数图象是轴对称图形 C二次函数图象一定会与 y 轴相交 D二次函数图象一定过原点 4 （3 分）已知二次函数 ymx2+x+m（m2）的图象经过原点，则 m 的值为（ ） A0 或 2 B0 C2 D无法确定 5 （3 分）已知原点是抛物线 y（m+1）x2的最高点，则 m 的范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm2 6 （3 分）关于 x2xn0 没有实数根，则 yx2xn 的图象的顶点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7 （3 分）在同一直角坐标系中，函数 yax2b 与 yax+b（ab0）的图象大致如图（ ） A B C D 8 （3 分）抛物线 yx
3、22x+1，则图象与 x 轴交点为（ ） A二个交点 B一个交点 C无交点 D不能确定 9 （3 分）直线 yax+b（ab0）不经过第三象限，那么 yax2+bx 的图象大致为（ ） A B C D 10 （3 分）关于 y2（x3）2+2 的图象，下列叙述正确的是（ ） A顶点坐标为（3，2） B对称轴为直线 y3 C当 x3 时，y 随 x 增大而增大 D当 x3 时，y 随 x 增大而减小 二二.填空题： （每题填空题： （每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）当 m 时，函数 y（m1）是关于 x 的二次函数 12 （3 分）写出一个开口向上，顶点坐标是（2，3）的
4、函数解析式 13 （3 分）函数 yax2+bx+c（a0，a、b、c 为常数）的对称轴是 ，顶点坐标是 14 （3 分）抛物线 y3x2的图象向右移动两个单位，再向下移动一个单位，它的顶点坐标是 ，对 称轴是 ，解析式是 15 （3 分）如果抛物线 yax2+b 和直线 yx+b 都经过点 P（2，6） ，则 a ，b ，抛物线 的图象不经过第 象限 三三.解答题（共解答题（共 105 分）分） 16 （8 分）若抛物线 yx22x3 经过点 A（m，0）和点 B（2，n） ，求点 A、B 的坐标 17 （7 分）请设计一个开口向下，与 x 轴交于（1，0） ， （3，0）的二次函数解析式，
5、并指出它的对称轴 18 （8 分）已知抛物线 yx24x+m 的顶点在 x 轴上，求这个函数的解析式及其顶点坐标 19 （8 分）若二次函数的图象 y（m1）x2+2x 与直线 yx1 没有交点，求 m 的取值范围 20 （12 分）已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，2）且与 y 轴交与（0，） （1）求函数的解析式，并画出它的图象； （2）当 x 为何值时，y 随 x 增大而增大 21 （10 分）若直线 yx+3 与二次函数 yx2+2x+3 的图象交于 A、B 两点，求以 A、B 及原点 O 为顶点 的三角形的面积 22 （6 分）一台机器原价为 60 万元，如果每年的折旧率为 x，两
6、年后这台机器的价格为 y 万元，求 y 关于 x 的函数关系式，若折旧率以 10%计算，那么两年后该机器的价值为多少？ 23 （12 分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调 查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量将减少 20 千克 （1）现要保证每天盈利 6000 元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多 24 （16 分）某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子 OP，柱子顶端 P 处装上喷头，由 P 处向
7、外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示） 若 已知 OP3 米，喷出的水流的最高点 A 距水平面的高度是 4 米，离柱子 OP 的距离为 1 米 （1）求这条抛物线的解析式； （2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 25 （18 分）二次函数的图象与 x 轴从左到右两个交点依次为 A、B，与 y 轴交于点 C （1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）如果 P（x，y）是线段 BC 之间的动点，O 为坐标原点，试求POA 的面积 S 与 x 之间的函数关系 式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在这样
8、的点 P，使得 POPA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在请 说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（每题选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各式中，y 是 x 的二次函数的是（ ） Axy+x21 Bx2+y20 Cy2ax2 Dx2y2+10 【分析】整理成一般形式，根据二次函数定义即可解答 【解答】解：A、变形得 y，不是二次函数，错误； B、由 x2+y20，得 yx2+2，是二次函数，正确； C、y 的指数是 2，不是函数，错误； D、y 的指数是 2，不是函数，错误 故选：B 【点评】解题关键是掌握二次函数的定义 2 （3 分
9、）在同一坐标系中，作 y2x2+2、y2x21、的图象，则它们（ ） A都是关于 y 轴对称 B顶点都在原点 C都是抛物线开口向上 D以上都不对 【分析】根据所给二次函数的共同特点找到正确选项即可 【解答】 解： 经过观察可得 3 个二次函数的一次性系数均为 0，那么这 3 个二次函数的对称轴都是 y 轴， 故选 A 【点评】考查二次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数的一次项系数为 0，对称轴是 y 轴 3 （3 分）下列对二次函数 yax2+bx+c（a0，a，b，c 为常数）叙述不正确的是（ ） A二次函数因变量一定有最大值或最小值 B二次函数图象是轴对称图形 C二次函数图象一定会
10、与 y 轴相交 D二次函数图象一定过原点 【分析】根据二次函数图象与系数的关系和抛物线与 x 轴的交点即可求解 【解答】解：A二次函数因变量一定有最大值或最小值，故 A 不符合题意； B二次函数图象是轴对称图形，故 B 不符合题意； C二次函数图象一定会与 y 轴相交，故 C 不符合题意； D二次函数图象不一定过原点，故 D 符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系和抛物线与 x 轴的交点，解题的关键是逐个判断出四个 选项的正误即可 4 （3 分）已知二次函数 ymx2+x+m（m2）的图象经过原点，则 m 的值为（ ） A0 或 2 B0 C2 D无法确定 【分析】
11、本题中已知了二次函数经过原点 （0， 0） ， 因此二次函数与 y 轴交点的纵坐标为 0， 即 m （m2） 0，由此可求出 m 的值，要注意二次项系数 m 不能为 0 【解答】解：根据题意得：m（m2）0， m0 或 m2， 二次函数的二次项系数不为零，所以 m2 故选：C 【点评】此题考查了点与函数的关系，解题时注意分析，理解题意 5 （3 分）已知原点是抛物线 y（m+1）x2的最高点，则 m 的范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm2 【分析】由于原点是抛物线 y（m+1）x2的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定 m 的 范围 【解答】解：原点是抛物线 y（m+1）x2
12、的最高点， m+10， 即 m1 故选：A 【点评】此题主要考查了二次函数的性质 6 （3 分）关于 x2xn0 没有实数根，则 yx2xn 的图象的顶点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据根的判别式 b24ac0 来裁定 n 的取值范围，再根据顶点坐标来解答即可 【解答】解：由题意，得0，即（1）241（n）0 解得，n ，（n+） 由，得 0 顶点坐标是（，）在第一象限， 故选：A 【点评】考查二次函数的顶点坐标（，）公式 7 （3 分）在同一直角坐标系中，函数 yax2b 与 yax+b（ab0）的图象大致如图（ ） A B C D 【分析】本题可先由一
13、次函数 yax+b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 yax2b 的图象相比 较看是否一致 【解答】解：A、由抛物线可知，a0，由直线可知，a0，故本选项错误； B、由抛物线可知 a0，由直线可知 a0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a0，b0，由直线可知，a0，b0，故本选项正确； D、由抛物线可知，a0，b0，由直线可知，a0，b0，故本选项错误 故选：C 【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象 的性质 8 （3 分）抛物线 yx22x+1，则图象与 x 轴交点为（ ） A二个交点 B一个交点 C无交点 D不能确定 【分析】直接利用
14、 b24ac 的符号进而得出抛物线与 x 轴交点个数即可 【解答】解：b24ac（2）24110， 抛物线 yx2+2kx+2 与 x 轴交点的个数为：1 故选：B 【点评】此题主要考查了抛物线与 x 轴交点，得出 b24ac 的符号是解题关键 9 （3 分）直线 yax+b（ab0）不经过第三象限，那么 yax2+bx 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】本题可先由一次函数 yax+b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 ax2+bx 的图象相比较看 是否一致 【解答】解：一次函数 yax+b 的图象经过第一、二、四象限， a0，b0，0， 二次函数 yax2+bx 的图象开口方向
15、向下，对称轴在 y 轴右侧，交坐标轴于（0，0）点 故选：B 【点评】数形结合思想就是，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数 的性质符号画出函数图象的大致形状 10 （3 分）关于 y2（x3）2+2 的图象，下列叙述正确的是（ ） A顶点坐标为（3，2） B对称轴为直线 y3 C当 x3 时，y 随 x 增大而增大 D当 x3 时，y 随 x 增大而减小 【分析】已知二次函数的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴，逐一判断即可 【解答】解：顶点坐标为（3，2） ，故 A 选项错误； 对称轴为 x3，故选项 B 错误； 因为二次项系数为 20，故函数图象
16、开口向上对称轴为 x3， 故当 x3 时，y 随 x 增大而增大，故 C 选项正确；D 选项错误， 故选：C 【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式 ya（xh） 2+k，顶点坐标是（h， k） ，对称轴是 xh 二二.填空题： （每题填空题： （每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）当 m 1 时，函数 y（m1）是关于 x 的二次函数 【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可 【解答】解：依题意可知 m2+12 得 m1 或 m1 又因为 m10 m1 当 m1 时，这个函数是二次函数 【点评】本题考查二次函数的定义 12 （3 分）写出
17、一个开口向上，顶点坐标是（2，3）的函数解析式 y（x2）23 【分析】已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表达解析式，由于开口向上，可取二次项系数 a1 【解答】解：由抛物线开口向上，取 a1， 已知顶点坐标为（2，3） ， 所以，抛物线解析式可写为 y（x2）23 【点评】本题答案不唯一已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表示解析式，已知开口向上，只要二次 项系数为正数即可 13 （3 分）函数 yax2+bx+c（a0，a、b、c 为常数）的对称轴是 x ，顶点坐标是 （， ） 【分析】直接根据二次函数的性质进行解答即可 【解答】解：由二次函数的性质可知，函数 yax2+bx+c（a0，a、b、
18、c 为常数）的对称轴是 x， 顶点坐标是（，） 故答案为：x； （，） 【点评】本题考查的是二次函数的性质，即二次函数 yax2+bx+c（a0，a、b、c 为常数）的对称轴是 x，顶点坐标是（，） 14 （3 分） 抛物线 y3x2的图象向右移动两个单位， 再向下移动一个单位， 它的顶点坐标是 （2， 1） ， 对称轴是 x2 ，解析式是 y3（x2）21 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可得出抛物线解析式，进而得出抛物线的 顶点坐标 【解答】解：抛物线 y3x2的图象向右移动 2 个单位，再向下移动 1 个单位，解析式是 y3（x2）2 1，它的顶点坐标是（2，1）
19、，对称轴是直线 x2 故答案为： （2，1） ；x2；y3（x2）21 【点评】此题主要考查了函数图象的平移，抛物线顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右 减，上加下减并用规律求函数解析式 15 （3 分）如果抛物线 yax2+b 和直线 yx+b 都经过点 P（2，6） ，则 a ，b 4 ，抛物线的 图象不经过第 三、四 象限 【分析】将点 P 坐标代入解析式可求 a，b 的值，即可求解 【解答】解：抛物线 yax2+b 和直线 yx+b 都经过点 P（2，6） ， ， ， 抛物线的解析式为：yx2+4， 抛物线图象不经过第三、四象限， 故答案为：，4，三、四 【点评】本题考查了二
20、次函数图象与系数关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐 标特征，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键 三三.解答题（共解答题（共 105 分）分） 16 （8 分）若抛物线 yx22x3 经过点 A（m，0）和点 B（2，n） ，求点 A、B 的坐标 【分析】将 A 和 B 坐标代入抛物线方程中，解出 m 和 n 的值 【解答】解：抛物线 yx22x3 经过点 A（m，0）和点 B（2，n） ， 0m22m3，n（2）22（2）3 （m3） （m+1）0，n5 m3 或1；n5 故 A 的坐标为（3，0） ， （1，0） ，B 的坐标为（2，5） 【点评】考查二次函数图象上点的
21、坐标特征 17 （7 分）请设计一个开口向下，与 x 轴交于（1，0） ， （3，0）的二次函数解析式，并指出它的对称轴 【分析】设该抛物线的开口向下，则 a0，利用两点式写出抛物线解析式，根据抛物线与 x 轴两交点求 得对称轴 【解答】解：该抛物线的开口向下，a0 与 x 轴交于（1，0） ， （3，0） ， 该抛物线解析式可以是：y（x+1） （x3） ，其对称轴是：x1，即 x1 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点， 二次函数的性质， 此题属于开放题， 需要二次函数 yax2+bx+c （a，b，c 是常数，a0）中的 a0，且抛物线与 x 轴交于（1，0） ， （3，0）两点就
22、符合题意 18 （8 分）已知抛物线 yx24x+m 的顶点在 x 轴上，求这个函数的解析式及其顶点坐标 【分析】顶点在 x 轴上，即纵坐标为 0利用顶点公式求出 m 的值，进而求出这个函数的解析式及其顶 点坐标 【解答】解：抛物线 yx24x+m 的顶点在 x 轴上， 0， m4， yx24x+4， 2，顶点坐标为（2，0） 【点评】考查抛物线的顶点坐标为（，） 19 （8 分）若二次函数的图象 y（m1）x2+2x 与直线 yx1 没有交点，求 m 的取值范围 【分析】根据二次函数的定义和二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到 m10，方程组 无解，再把方程组无解的问题转化为一元二次方程
23、（m1）x2+x+10 没有实数根的 问题，则根据根的判别式的意义得到 124（m1）0，然后解不等式即可得到满足条件的 m 的取值范 围 【解答】解：根据题意 m10，方程组无解， 所以 m1 且（m1）x2+2xx1 没有实数解， 整理得（m1）x2+x+10， 所以124（m1）0，解得 m， 所以 m 的取值范围为 m 【点评】 本题考查了二次函数的性质： 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的顶点坐标是 （，） ， 对称轴直线 x也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题 20 （12 分）已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，2）且与 y 轴交与（0，） （1）求函数的解析式，
24、并画出它的图象； （2）当 x 为何值时，y 随 x 增大而增大 【分析】 （1）设抛物线的解析式为 ya（x3）22，将点（0，）代入解析式即可求出 a 的值，从而 得到二次函数解析式； （2）根据图象即可判定 y 随 x 增大而增大时 x 的取值 【解答】解： （1）设抛物线的解析式为 ya（x3）22， 将（0，）代入 ya（x3）22 得， a， 函数解析式为 y（x3）22， 即函数的解析式为 yx23x+； 画出函数图象如图： （2）由图象可知，当 x3 时，y 随 x 增大而增大 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的图象与性质，求得二次函数的顶点式是解 题的关键
25、 21 （10 分）若直线 yx+3 与二次函数 yx2+2x+3 的图象交于 A、B 两点，求以 A、B 及原点 O 为顶点 的三角形的面积 【分析】先根据题意列出方程组，再求出方程组的解即可得出 A、B 两点的坐标，再根据 A、B 两点的坐 标是 A（0，3）B（1，4） ，求出OAB 的边 OA 的长和边 OA 上的高，再根据三角形面积公式计算即可， 【解答】解： （1）根据题意得：， 解得：或 ， 则 A、B 两点的坐标是 A（0，3）B（1，4） ， A、B 两点的坐标是 A（0，3）B（1，4） ， OA3，边 OA 上的高是 1， SOAB31； 【点评】 此题考查了二次函数的性
26、质， 三角形的面积， 关键是能根据函数的解析式求出函数的交点坐标； 22 （6 分）一台机器原价为 60 万元，如果每年的折旧率为 x，两年后这台机器的价格为 y 万元，求 y 关于 x 的函数关系式，若折旧率以 10%计算，那么两年后该机器的价值为多少？ 【分析】原价为 60 万元，一年后的价格是 60（1x） ，二年后的价格是为：60（1x）（1x） 60（1x）2，进而利用函数解析式求得两年后该机器的价值 【解答】解：两年后的价格是为：y60（1x）（1x）60（1x）2， 则函数解析式是：y60（1x）2， x10%， y60（1x）248.6（万元） ， 答：两年后该机器的价值为 4
27、8.6 万元 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，需注意第二年的价位是在第一年的价位的 基础上降价的 23 （12 分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调 查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量将减少 20 千克 （1）现要保证每天盈利 6000 元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多 【分析】 （1）设每千克应涨价 x 元，则每千克盈利（10+x）元，每天可售出（50020 x）千克，根据利 润每千克盈利日销售量
28、，列方程解出即可，根据要让顾客得到实惠，所以涨价要选择最小的，即每 千克应涨价为 5 元； （2）设每千克应涨价 x 元，利润为 w 元，根据（1）的等量关系列函数解析式，配方求最值即可 【解答】解： （1）设每千克应涨价 x 元， 根据题意得： （10+x） （50020 x）6000， 解得：x110，x25， 要让顾客得到实惠， x10 舍去，即 x5， 答：每千克应涨价为 5 元； （2）设每千克应涨价 x 元，利润为 w 元， 根据题意得：w（10+x） （50020 x）20 x2+300 x+5000， w20（x7.5）2+6125， 200， w 有最大值， 即当 x7.5
29、时，w 有最大利润为 6125 元， 答：若该商场单纯从经济角度看，每千克应涨价 7.5 元，商场获利最多为 6125 元 【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，属于销售利润问题，明确利润每千克盈利日 销售量是本题的关键，重点理解“每千克涨价一元，日销售量将减少 20 千克”根据所设的未知数表示此 时的销售量，与二次函数的最值结合，求出结论 24 （16 分）某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子 OP，柱子顶端 P 处装上喷头，由 P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示） 若 已知 OP3 米，喷出的水流的最高点 A 距
30、水平面的高度是 4 米，离柱子 OP 的距离为 1 米 （1）求这条抛物线的解析式； （2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 【分析】 （1）根据题意可设解析式为顶点式形式，由 A、P 两点坐标求解析式； （2）求水池半径即时求当 y0 时 x 的值 【解答】解： （1）设这条抛物线解析式为 ya（x+m）2+k 由题意知：顶点 A 为（1，4） ，P 为（0，3） 4k，3a（01）2+4，a1 所以这条抛物线的解析式为 y（x1）2+4 （2）令 y0，则 0（x1）2+4， 解得 x13，x21 所以若不计其它因素，水池的半径至少 3 米，才能使喷
31、出的水流不至于落在池外 【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题求二次函数，再运用二次函数求最大值此题为 数学建模题，借助二次函数解决实际问题 25 （18 分）二次函数的图象与 x 轴从左到右两个交点依次为 A、B，与 y 轴交于点 C （1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）如果 P（x，y）是线段 BC 之间的动点，O 为坐标原点，试求POA 的面积 S 与 x 之间的函数关系 式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点 P，使得 POPA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在请 说明理由 【分析】 （1）抛物线的解析式中，令 y0 可求得 C
32、 点坐标，令 y0 可求得 A、B 的坐标； （2） 已知了 B、 C 的坐标， 用待定系数法求解即可， 根据直线 BC 的解析式可用 x 表示出 P 点的纵坐标， 以 OA 为底，P 点纵坐标的绝对值为高即可得到OAP 的面积，由此可求得 S、x 的函数关系式； （3）易知OBC 是等腰 Rt，且直角边长为 6，根据垂直平分线的性质得出 P 点位置，进而求出即可 【解答】解： （1）由题意，在 yx2中，令 y0 0 x2， 解得：x4 或 6， 当 x0，y6， 可得：A（4，0） ，B（6，0） ，C（0，6） ； （2）设一次函数的解析式为：ykx+b； 将 B（6，0） 、C（0，6）代入上式，得： ， 解得； yx+6； 根据题意得 SPOA4y， yx+6； SPOA2x+12； 0 x6； （3）|OB|OC|，COB90； BOC 是等腰直角三角形； 作 AO 的中垂线交 CB 于 P， 根据垂直平分线的性质得出 POPA， 而 OA4，P 点横坐标为 2，代入直线 BC 解析式即可， yx+62+64， P 点坐标为： （2，4） ， 存在这样的点 P（2，4） ，使得 OPAP 【点评】此题考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法、一次函数解析式的确定、图形面积的计算方法 等重要知识点，综合性较强，难度适中
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