1、2020 年湖南省长沙市天心区中考数学模拟试卷（年湖南省长沙市天心区中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 一、选择题（本题共计一、选择题（本题共计 12 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 36 分）分） 1下列各数中是负数的是（ ） A|3| B3 C（3） D 2某粒子的直径为 0.00000615 米，这个数用科学记数法表示为（ ） A6.15106 B6.1510 6 C615108 D0.61510 5 3某校书法兴趣小组 20 名学生日练字页数如下表所示： 日练字页数 2 3 4 5 6 人数 2 6 5 4 3 这些学生日练字页数的中位数、平均数分别是（ ） A3 页，4
2、页 B3 页，5 页 C4 页，4 页 D4 页，5 页 4菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A对角线相等且互相平分 B对角线相等且互相垂直 C对角线互相平分 D四条边相等 5下列计算正确的是（ ） Am4+m3m7 B （m4）3m7 Cm（m1）m2m D2m5m3m2 6下列说法错误的是（ ） A对顶角相等 B两点之间所有连线中，线段最短 C等角的补角相等 D过任意一点 P，都能画一条直线与已知直线平行 7等式成立的 x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A B C D 8在平行四边形 ABCD 中，B110，延长 AD 至 F，延长 CD 至 E，连接 EF，则E+F（ ） A1
3、10 B30 C50 D70 9把ABC 各顶点的横坐标都乘以1，纵坐标都不变，所得图形是下列答案中的（ ） A B C D 10对于二次函数 y（x1）2+2 的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A对称轴是直线 x1，最大值是 2 B对称轴是直线 x1，最小值是 2 C对称轴是直线 x1，最大值是 2 D对称轴是直线 x1，最小值是 2 11如图，O 是ABC 的外接圆，B60，O 的半径为 4，则 AC 的长等于（ ） A4 B6 C2 D8 12已知函数 f（x）|82xx2|和 ykx+k（k 为常数） ，则不论 k 为何常数，这两个函数图象只有（ ） 个交点 A1 B2 C3 D4
4、 二、填空题（本题共计二、填空题（本题共计 6 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 13如图182，298，380，则4 度 14分解因式 44x2 15若 ， 是方程 x22x10 的两根，则（+1） （+1）的值为 16在一个不透明的袋子中装有 2 个白球，3 个黑球和若干个红球，他们除颜色不同外，其余均相同，从中 随机摸出一个球是白球的概率为，则摸出一个球是黑球的概率为 17如图，在平行四边形 ABCD 中，AF 交 DC 于 E，交 BC 的延长线于 F，若，AD4 厘米，则 CF 厘米 18如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，点 P、Q 分别为直线 A
5、B、BC 上的动点，且 PDPQ，当 PDQ 为等腰三角形时，则 AP 的长为 三、解答题（本题共计三、解答题（本题共计 8 小题，共计小题，共计 6 分）分） 19 （6 分）计算：|2|（1+）0+cos30 20 （6 分）先化简，再对 a 取一个你喜欢的数，代入求值 21 （8 分）某校举行“诵读经典”朗诵比赛，把比赛成绩分为四个等次：A 优秀，B良好，C一般，D 较差，从参加比赛的学生中随机抽取部分学生的成绩进行调查，并根据调查结果制作了如下的统计图表 （不完整） ： 等次 频数 频率 A m 0.1 B 20 0.4 C n p D 10 0.2 合计 1 （1）这次共调查了 名学
6、生，表中 m ，n ，p ； （2）补全频数分布直方图； （3）若抽查的学生中，等次 A 中有 2 名女生，其他为男生，从等次 A 中选取两名同学参加市中学生朗 诵比赛，求恰好选取一名男生和一名女生的概率 22（8 分） 两块三角板如图放置， 已知BACADC90， ABC45， ACD30， BC6cm （1）分别求线段 AD，CD 的长度； （2）求 BD2的值 23 （9 分）某物流公司承接 A、B 两种货物运输业务，已知 5 月份 A 货物运费单价为 50 元/吨，B 货物运费 单价为 30 元/吨，共收取运费 9500 元；6 月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A 货物 70 元/吨
7、，B 货物 40 元/吨；该物流公司 6 月承接的 A 种货物和 B 种数量与 5 月份相同，6 月份共收取运费 13000 元 （1）该物流公司 5 月份运输两种货物各多少吨？ （2）该物流公司预计 7 月份运输这两种货物 330 吨，且 A 货物的数量不大于 B 货物的 2 倍，在运费单 价与 6 月份相同的情况下，该物流公司 7 月份最多将收到多少运输费？ 24 （9 分）如图 1，已知在平行四边形 ABCD 中，AB5，BC8，cosB，点 P 是边 BC 上的动点，以 CP 为半径的圆 C 与边 AD 交于点 E、F（点 F 在点 E 的右侧） ，射线 CE 与射线 BA 交于点 G
8、 （1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长； （2）如图 2，连接 AP，当 APCG 时，求弦 EF 的长； （3）如图 3，当 BCBG 时，求圆 C 的半径长 25 （10 分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M0，对于任意的函数值 y，都满足MyM， 则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 M 中，其最大值称为这个函数的边界值例如，图中的函 数是有界函数，其边界值是 1 （1）分别判断函数 y（x0）和 yx+2（4x2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界 值； （2）若函数 yx+2（axb，ba）的边界值是 3，且这个函数的最小值也是 3，求 b 的取值范围； （
9、3）将函数 yx2（1xm，m0）的图象向下平移 m 个单位，得到的函数的边界值是 t，当 m 在 什么范围时，满足t1？ 26 （10 分）已知二次函数 yax22ax2 的图象（记为抛物线 C1）顶点为 M，直线 l：y2xa 与 x 轴， y 轴分别交于 A，B （1）对于抛物线 C1，以下结论正确的是 ； 对称轴是：直线 x1；顶点坐标（1，a2） ；抛物线一定经过两个定点 （2）当 a0 时，设ABM 的面积为 S，求 S 与 a 的函数关系； （3）将二次函数 yax22ax2 的图象 C1绕点 P（t，2）旋转 180得到二次函数的图象（记为抛物 线 C2） ，顶点为 N 当2x
10、1 时，旋转前后的两个二次函数 y 的值都会随 x 的增大而减小，求 t 的取值范围； 当 a1 时，点 Q 是抛物线 C1上的一点，点 Q 在抛物线 C2上的对应点为 Q，试探究四边形 QMQN 能否为正方形？若能，求出 t 的值，若不能，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共计一、选择题（本题共计 12 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 36 分）分） 1下列各数中是负数的是（ ） A|3| B3 C（3） D 【分析】根据负数的定义可得 B 为答案 【解答】解：3 的绝对值30； 30； （3）30； 0 故选：B 2某粒子的直径为 0.00000
11、615 米，这个数用科学记数法表示为（ ） A6.15106 B6.1510 6 C615108 D0.61510 5 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000006156.1510 6， 故选：B 3某校书法兴趣小组 20 名学生日练字页数如下表所示： 日练字页数 2 3 4 5 6 人数 2 6 5 4 3 这些学生日练字页数的中位数、平均数分别是（ ） A3 页，4 页 B3 页，5 页 C4 页，4 页 D4 页，
12、5 页 【分析】根据表格中的数据可以求得这组数据的中位数和平均数，从而可以解答本题 【解答】解：由表格可得， 人数一共有：2+6+5+4+320， 这些学生日练字页数的中位数：4 页， 平均数是：4（页） ， 故选：C 4菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A对角线相等且互相平分 B对角线相等且互相垂直 C对角线互相平分 D四条边相等 【分析】A矩形和正方形都有的性质，B正方形有的性质，C三个图形都具有的性质，D菱形和 正方形的四条边都相等，但矩形不一定 【解答】解：A、三个图形中，只有矩形和正方形的对角线相等且互相平分，故本选项错误； B、三个图形中，只有正方形的对角线相等且互相垂直，故
13、本选项错误； C、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确； D、矩形的四条边不一定相等，故本选项错误； 故选：C 5下列计算正确的是（ ） Am4+m3m7 B （m4）3m7 Cm（m1）m2m D2m5m3m2 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题 【解答】解：m4+m3不能合并，故选项 A 错误； （m4）3m13，故选项 B 错误； m（m1）m2m，故选项 C 正确； 2m5m32m2，故选项 D 错误； 故选：C 6下列说法错误的是（ ） A对顶角相等 B两点之间所有连线中，线段最短 C等角的补角相等 D过任意一点 P，都
14、能画一条直线与已知直线平行 【分析】根据对顶角、线段的性质、补角和平行线的概念判断即可 【解答】解：A、对顶角相等，正确； B、两点之间所有连线中，线段最短，正确； C、等角的补角相等，正确； D、过直线外一点 P，都能画一条直线与已知直线平行，错误； 故选：D 7等式成立的 x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A B C D 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出 x 的范围 【解答】解：由题意可知： 解得：x3 故选：B 8在平行四边形 ABCD 中，B110，延长 AD 至 F，延长 CD 至 E，连接 EF，则E+F（ ） A110 B30 C50 D70 【分析】要求E+F，只需
15、求ADE，而ADEA 与B 互补，所以可以求出A，进而求解问题 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AADE180B70 E+FADE E+F70 故选：D 9把ABC 各顶点的横坐标都乘以1，纵坐标都不变，所得图形是下列答案中的（ ） A B C D 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于 x 轴的对称点的坐标是（x，y） ，关于 y 轴的对称 点的坐标是 （x， y） ， 三个顶点坐标的横坐标都乘以1， 并保持纵坐标不变， 就是横坐标变成相反数 即 所得到的点与原来的点关于 y 轴对称 【解答】解：根据轴对称的性质，知将ABC 的三个顶点的横坐标乘以1，就是把横坐
16、标变成相反数， 纵坐标不变， 因而是把三角形的三个顶点以 y 轴为对称轴进行轴对称变换所得图形与原图形关于 y 轴对称 故选：A 10对于二次函数 y（x1）2+2 的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A对称轴是直线 x1，最大值是 2 B对称轴是直线 x1，最小值是 2 C对称轴是直线 x1，最大值是 2 D对称轴是直线 x1，最小值是 2 【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断 【解答】解：由抛物线的解析式：y（x1）2+2， 可知：对称轴 x1， 开口方向向下，所以有最大值 y2， 故选：A 11如图，O 是ABC 的外接圆，B60，O 的半径为 4，则 AC 的长等于（ ） A4 B
17、6 C2 D8 【分析】首先连接 OA，OC，过点 O 作 ODAC 于点 D，由圆周角定理可求得AOC 的度数，进而可 在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦 AC 的一半，由此得解 【解答】解：连接 OA，OC，过点 O 作 ODAC 于点 D， AOC2B，且AODCODAOC， CODB60； 在 RtCOD 中，OC4，COD60， CDOC2， AC2CD4 故选：A 12已知函数 f（x）|82xx2|和 ykx+k（k 为常数） ，则不论 k 为何常数，这两个函数图象只有（ ） 个交点 A1 B2 C3 D4 【分析】画出函数 f（x）|82xx2|的图象，再讨论 k0，k0
18、，k0 时的情况，由图即可得出正确 答案 【解答】解：先画出函数 f（x）|82xx2|的图象， 由于 yk（x+1）图点恒过点（1，0） ， 当 k0 时，函数 ykx+k 图象为直线 m（如图） ，与函数 f（x）|82xx2|只有两个交点， 当 k0 时，函数 ykx+k 图象与 x 轴重合，与函数 f（x）|82xx2|只有两个交点， 当 k0 时，函数 ykx+k 图象为直线 n（如图） ，与函数 f（x）|82xx2|只有两个交点 故这两个函数图象只有两个交点 故选 B 二、填空题（本题共计二、填空题（本题共计 6 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 13如
19、图182，298，380，则4 80 度 【分析】先根据邻补角的定义求出1 的邻补角，再根据同位角相等，两直线平行求出 ab，然后根据 两直线平行，内错角相等求解即可 【解答】解：如图，182， 51808298， 298 25， ab， 34， 380， 480 故答案为：80 14分解因式 44x2 4（1+x） （1x） 【分析】直接提取公因式 4，再利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：原式4（1x2） 4（1+x） （1x） 故答案为：4（1+x） （1x） 15若 ， 是方程 x22x10 的两根，则（+1） （+1）的值为 2 【分析】首先根据根与系数的关系求得 +2，1；
20、再进一步利用整式的乘法把（+1） （+1） 展开，代入求得数值即可 【解答】解：， 是方程 x22x10 的两根， +2，1， 则原式+1 21+1 2， 故答案为：2 16在一个不透明的袋子中装有 2 个白球，3 个黑球和若干个红球，他们除颜色不同外，其余均相同，从中 随机摸出一个球是白球的概率为，则摸出一个球是黑球的概率为 【分析】设红球的个数为 x，根据白球的概率为求得红球的个数，再根据概率公式即可求得黑球的概 率 【解答】解：设红球的个数为 x， 根据题意，得：， 解得：x5， 经检验 x5 是原分式方程的解， 摸出一个球是黑球的概率为， 故答案为： 17如图，在平行四边形 ABCD
21、中，AF 交 DC 于 E，交 BC 的延长线于 F，若，AD4 厘米，则 CF 2 厘米 【分析】由平行四边形中 CDAB，则FECFAB，FCEFBA，可知FECFAB，从而得 到相似比 FE：AE1：2，又由 ADBC，所以EADECF，EDAECF，可知ADEFCE， 从而得到 CF：ADFE：EA，所以可以得到 CF2 【解答】解：平行四边形 ABCD CDAB FECFAB，FCEFBA FECFAB EC：ABFE：AF1：3 AFEF+AE FE：AE1：2 ADBC EADECF，EDAECF ADEFCE CF：ADFE：EA AD4 CF2 18如图，在矩形 ABCD 中
22、，AB4，BC3，点 P、Q 分别为直线 AB、BC 上的动点，且 PDPQ，当 PDQ 为等腰三角形时，则 AP 的长为 1 或 7 【分析】当 P 点在 AB 上，如图 1，先根据等角的余角相等得到ADPBPQ，则可证明 RtADP RtBPQ，利用相似比得到1，则 PBAD3，然后计算 ABPB 即可当 P 点在 AB 的延长 线上时，如图 2，同样方法得到 RtADPRtBPQ，利用相似比得到 PBAD3，然后计算 AB+PB 即可 【解答】解：当 P 点在边 AB 上，如图 1， 四边形 ABCD 为矩形， ADBC3，AB90， PDPQ， DPQ90， APD+ADP90，APD
23、+BPQ90， ADPBPQ， RtADPRtBPQ， 1， PBAD3， APABPB431 当 P 点在 AB 的延长线上时，如图 2， 同样方法得到 RtADPRtBPQ， 1， PBAD3， APAB+PB4+37 综上所述，AP 的长度为 1 或 7 故答案为 1 或 7 三、解答题（本题共计三、解答题（本题共计 8 小题，共计小题，共计 6 分）分） 19 （6 分）计算：|2|（1+）0+cos30 【分析】首先分别计算绝对值、零次幂、二次根式和特殊角的三角函数，然后再计算乘法，后计算加减 即可 【解答】解：原式21+2， 21+2， 20 （6 分）先化简，再对 a 取一个你喜
24、欢的数，代入求值 【分析】原式利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则变形得到最简结果，将 a 的 值代入计算即可求出值 【解答】解：原式， 当 a0 时，原式1 21 （8 分）某校举行“诵读经典”朗诵比赛，把比赛成绩分为四个等次：A 优秀，B良好，C一般，D 较差，从参加比赛的学生中随机抽取部分学生的成绩进行调查，并根据调查结果制作了如下的统计图表 （不完整） ： 等次 频数 频率 A m 0.1 B 20 0.4 C n p D 10 0.2 合计 1 （1）这次共调查了 50 名学生，表中 m 5 ，n 15 ，p 0.3 ； （2）补全频数分布直方图； （3）若抽查的学
25、生中，等次 A 中有 2 名女生，其他为男生，从等次 A 中选取两名同学参加市中学生朗 诵比赛，求恰好选取一名男生和一名女生的概率 【分析】 （1）根据 B 等级的人数和频率求出总人数，用总人数乘以 A 等级的频率求出 m，用总人数减去 其它等级的人数求出 n，再用 C 等级的人数除以总人数求出 p； （2）根据（1）求出 m 和 n 的值，即可补全统计图； （3） 根据题意先画出树状图得出所有等情况数和选取一名男生和一名女生的情况数， 然后根据概率公式 即可得出答案 【解答】解： （1）共抽查了 200.450 名学生； m500.15； n505201015； p0.3； 故答案为：50，
26、5，15，0.3； （2）根据（1）的结果补全统计图如下： （3）根据题意画图如下： 共有 20 种等可能情况，而选取一名男生和一名女生的情况有 12 种， 所以恰好选取一名男生和一名女生的概率 22（8 分） 两块三角板如图放置， 已知BACADC90， ABC45， ACD30， BC6cm （1）分别求线段 AD，CD 的长度； （2）求 BD2的值 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质求出 AC、AB，根据含 30的直角三角形的性质求出 AD，根据 勾股定理求出 CD； （2）作 BEAD，根据直角三角形的性质求出 BE，根据勾股定理计算，得到答案 【解答】解： （1）在 RtAB
27、C 中，ABC45， ABACBC6， 在 RtADC 中，ACD30， ADAC3， 由勾股定理得，CD3； （2）过点 B 作 BEAD 交 DA 的延长线于 E， 由题意得，BAE180906030， BEAB3， 由勾股定理得，AE3， DEAE+AD3+3， BD2BE2+DE232+（3+3）245+18 23 （9 分）某物流公司承接 A、B 两种货物运输业务，已知 5 月份 A 货物运费单价为 50 元/吨，B 货物运费 单价为 30 元/吨，共收取运费 9500 元；6 月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A 货物 70 元/吨，B 货物 40 元/吨；该物流公司 6 月承接的
28、 A 种货物和 B 种数量与 5 月份相同，6 月份共收取运费 13000 元 （1）该物流公司 5 月份运输两种货物各多少吨？ （2）该物流公司预计 7 月份运输这两种货物 330 吨，且 A 货物的数量不大于 B 货物的 2 倍，在运费单 价与 6 月份相同的情况下，该物流公司 7 月份最多将收到多少运输费？ 【分析】 （1） 设 A 种货物运输了 x 吨， 设 B 种货物运输了 y 吨， 根据题意可得到一个关于 x 的不等式组， 解方程组求解即可； （2）运费可以表示为 x 的函数，根据函数的性质，即可求解 【解答】解： （1）设 A 种货物运输了 x 吨，设 B 种货物运输了 y 吨，
29、 依题意得：， 解之得： 答：物流公司月运输 A 种货物 100 吨，B 种货物 150 吨 （2）设 A 种货物为 a 吨，则 B 种货物为（330a）吨， 依题意得：a（330a）2， 解得：a220， 设获得的利润为 W 元，则 W70a+40（330a）30a+13200， 根据一次函数的性质，可知 W 随着 a 的增大而增大 当 W 取最大值时 a220， 即 W19800 元 所以该物流公司 7 月份最多将收到 19800 元运输费 24 （9 分）如图 1，已知在平行四边形 ABCD 中，AB5，BC8，cosB，点 P 是边 BC 上的动点，以 CP 为半径的圆 C 与边 AD
30、 交于点 E、F（点 F 在点 E 的右侧） ，射线 CE 与射线 BA 交于点 G （1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长； （2）如图 2，连接 AP，当 APCG 时，求弦 EF 的长； （3）如图 3，当 BCBG 时，求圆 C 的半径长 【分析】 （1）在 RtABH 中，根据 BHABcosB，求出 BH，AH，CH，再根据勾股定理即可求出 AC （2）如图 2 中，若 APCE，APCE 为平行四边形，首先证明四边形 APCE 是菱形，根据 CPCE ，求出 CE，再根据勾股定理求出 EF 即可 （3）如图 3 中，过点 C 作 CNAD 于点 N，设 AQBC，在 Rt
31、ECN 中，求出 EN 即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，设O 的半径为 r， 当点 A 在C 上时，点 E 和点 A 重合， 过点 A 作 AHBC 于 H， BHABcosB4， AH3，CH4， AC5 此时 CPr5； （2）如图 2 中，若 APCE，APCE 为平行四边形， CECP， 四边形 APCE 是菱形， 连接 AC、EP， 则 ACEP， AMCM，由（1）知， ABAC，则ACBB， CPCE， EF2； （3）如图 3 中，过点 C 作 CNAD 于点 N，设 AQBC， cosB，AB5， BQ4，ANQCBCBQ4 AGEAEG，ADBC， GAEG
32、BC， AE：CBAG：BG， 即 AE：8AE： （AE+5） ， 解得：AE3，ENANAE1， CE， C 的半径为 25 （10 分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M0，对于任意的函数值 y，都满足MyM， 则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 M 中，其最大值称为这个函数的边界值例如，图中的函 数是有界函数，其边界值是 1 （1）分别判断函数 y（x0）和 yx+2（4x2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界 值； （2）若函数 yx+2（axb，ba）的边界值是 3，且这个函数的最小值也是 3，求 b 的取值范围； （3）将函数 yx2（1xm，m0）的图象向下平移
33、 m 个单位，得到的函数的边界值是 t，当 m 在 什么范围时，满足t1？ 【分析】 （1）在 x 的取值范围内，y（x0）的 y 无最大值，不是有界函数；yx+2（4x2）是 有界函数，其边界值是 4； （2）由一次函数的增减性，可得当 xa 时，ymax3，当 xb 时，yb+2，由边界值定义可列出不等 式，即可求解； （3）先设 m1，函数向下平移 m 个单位后，x0 时，ym1，此时边界值 t1，与题意不符， 故 m1，判断出函数 yx2所过的点，结合平移，即可求解 【解答】解： （1）y（x0）的 y 无最大值， y不是有界函数； yx+2（4x2）是有界函数， 当 x4 时，y2，
34、 当 x2 时，y4， 对于4x2 时，任意函数值都满足4y4， 边界值为 4； （2）yx+2，y 随 x 的增大而减小， 当 xa 时，ymax3，当 xb 时，yb+2， 边界值是 3，ba， 3b+23， 1b5； （3）若 m1，图象向下平移 m 个单位后，x0 时，ym1，此时函数的边界值 t1，不合题意， 故 m1 函数 yx2（1xm，m0） ，当 x1 时，ymax1，当 x0 时，ymin0， 向下平移 m 个单位后，ymax1m，yminm， 边界值t1， 1m1 互1m， 0m或m1 26 （10 分）已知二次函数 yax22ax2 的图象（记为抛物线 C1）顶点为 M
35、，直线 l：y2xa 与 x 轴， y 轴分别交于 A，B （1）对于抛物线 C1，以下结论正确的是 ； 对称轴是：直线 x1；顶点坐标（1，a2） ；抛物线一定经过两个定点 （2）当 a0 时，设ABM 的面积为 S，求 S 与 a 的函数关系； （3）将二次函数 yax22ax2 的图象 C1绕点 P（t，2）旋转 180得到二次函数的图象（记为抛物 线 C2） ，顶点为 N 当2x1 时，旋转前后的两个二次函数 y 的值都会随 x 的增大而减小，求 t 的取值范围； 当 a1 时，点 Q 是抛物线 C1上的一点，点 Q 在抛物线 C2上的对应点为 Q，试探究四边形 QMQN 能否为正方形
36、？若能，求出 t 的值，若不能，请说明理由 【分析】 （1）二次函数 yax22ax2 的对称轴为 x1，yax22ax2a（x22x）2， 即可求解； （2）由 SSBMDSAMDMD（OCAC） ，即可求解； （3） 而 x1 和 xm 关于 P （t， 2） 中心对称， 所以 P 到这两条对称轴的距离相等， 则 1ttm， m2t1，且：2t12，即可求解；分 t1、t1 两种情况求解即可 【解答】解： （1）二次函数 yax22ax2 的对称轴为 x1， 当 x1 时，ya2； yax22ax2a（x22x）2，即当 x0 或 2 时，抛物线过定点，即（0，2） 、 （2，2） ， 故
37、答案为：； （2）过顶点 M 在 MCx 轴，交 AB 于 D，交 x 轴于 C， 由抛物线的顶点公式求得：顶点 M（1，a2） 当 x1 时，y21a2a，求得：D（1，2a） 当 y0 时，02xa，xa，求得：A（a/2，0） DM2a（a2）4， SSBMDSAMDMD（OCAC）4aa（a0） ， （3）当2x1 时， C1的 y 的值都会随 x 的增大而减小，而 C1的对称轴为 x1， 2x1 在对称轴的左侧，C1开口向上，所以 a0； 同时 C2的开口向下，而又要当2x1 时 y 的值都会随 x 的增大而减小， 所以2x1 要在 C2的对称轴右侧， 令 C2的对称轴为 xm，则
38、m2， 而 x1 和 xm 关于 P（t，2）中心对称，所以 P 到这两条对称轴的距离相等， 所以：1ttm，m2t1，且：2t12，即：t； 当 a1 时，M（1，3） ，作 PECM 于 E，将 RtPME 绕 P 旋转 90，得到 RtPQF， 则MPQ 为等腰直角三角形，因为 N、Q是中心对称点，所以四边形 MQNQ为正方形 第一种情况，当 t1 时， PEPF1t，MEQF1，CE2， Q（t+1，t1） ， 把 Q（t+1，t1）代入 yx22x2 t1（t+1）22（t+1）2， t2+t20， 解得：t11，t22； 第二种情况，当 t1 时， PFPEt1，MEQF1，CE2， Q（t1，t3）代入：yx22x2， t3（t1）22（t1）2， t25t+40， 解得：t11 （舍去） ，t24 综上：t2 或 1 或 4
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