1、2019-2020 学年山东省学年山东省济南市市中区济南市市中区七年级（下）期中数学试卷七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在这一问题中因变量是（ ） A地表 B岩层的温度 C所处深度 D时间 3 （3 分） 2019 年 5 月 24 日， 中国大同石墨烯+新材料储能产业园正式开工， 这是大同市争当能源革命 “尖 兵”的又一重大举措石墨烯是已知强度最高的材料之一，同时还具有很好的
2、韧性，石墨烯的理论厚度 为 0.000 000 000 34 米，这个数据用科学记数法可表示为（ ） A0.3410 9 B3.410 11 C3.410 10 D3.410 9 4 （3 分）如图，1 与2 构成对顶角的是（ ） A B C D 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a3 Ba2a3a6 C （2a3）24a6 Da6a2a3 6 （3 分）以下面各组数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A1，1，3 B1，3，4 C4，5，9 D2，6，7 7 （3 分）如图，点 E 在 BA 的延长线上，能证明 BECD 是（ ） AEADB BBADBCD CEAD
3、ADC DBCD+D180 8 （3 分）如图，直线 l1l2，等腰直角ABC 的两个顶点 A、B 分别落在直线 l1、l2上，ACB90，若 115，则2 的度数是（ ） A35 B30 C25 D20 9 （3 分）如图，要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D，使 BCCD， 再作出 BF 的垂线 DE，使点 A、C、E 在同一条直线上（如图） ，可以说明ABCEDC，得 ABDE， 因此测得 DE 的长就是 AB 的长，判定ABCEDC，最恰当的理由是（ ） ASAS BHL CSSS DASA 10 （3 分）在下列条件中： A+BC； A：
4、B：C1：2：3； A2B3C； ABC 中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11 （3 分）如图，ABCD，且 ABCD，CEAD，BFAD，分别交 AD 于 E、F 两点，若 BFa，EF b，CEc，则 AD 的长为（ ） Aa+c Bb+c Cab+c Da+bc 12 （3 分）如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，AB83，AD10，点 E 是 CD 的中点将这张纸片依次折叠两 次：第一次折叠纸片使点 A 与点 E 重合，如图 2，折痕为 MN，连接 ME、NE；第二次折叠纸片使点 N 与点 E 重合，如图 3，点 B 落在 B处，折
5、痕为 HG，连接 HE DME2ANM； MHHN； AMNGHN； BGEBGN，以上说法正确的有（ ）个 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）计算： （a）5a3 （a）2 14 （3 分）如图，已知 ABDE，BE，添加下列哪个条件可以利用 SAS 判断ABCDEC正确 的是： AD； BCEC； ACDC； BCEACD 15 （3 分）若（a4）2+|b6|0，则以 a、b 为边长的等腰三角形的周长是 16 （3 分）若 x2+2mx+9 是完全平方式，则 m 17
6、（3 分）如图，在ABC 中 E 是 BC 上的一点，EC2BE，点 D 是 AC 的中点，设ABC，ADF， BEF 的面积分别为 SABC，SADF，SBEF，且 SABC18，则 SADFSBEF 18 （3 分）A、B 两地相距 20km，甲乙两人沿同一条路线从 A 地到 B 地甲先出发，匀速行驶，甲出发 1 小时后乙再出发， 乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶， 结果比甲提前到达 甲、 乙两人离开 A 地的距离 y（km）与时间 t（h）的关系如图所示，则甲出发 小时后和乙相遇 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，满分小题，满分 0 分）分） 19 （1）
7、 （1）2017+（3.14）0（） 1； （2） （4a32a+1） （2a） 20 （1） （x+1）2（x+5） （x5） ； （2）（3x+2y） （3x2y）（x+2y） （3x2y）2x，其中 x2，y1.6 21小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继 续去学校以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是 米，小明在书店停留了 分钟； （2）本次上学途中，小明一共行驶了 米，一共用了 分钟； （3）在整个上学的途中 （哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是 米/分； （
8、4）小明出发多长时间离家 1200 米？ 22如图，ABCADC，BF、DE 分别平分ABC 与ADC，DEFB求证：ABDC 请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由 证明：BF、DE 分别平分ABC 与ADC， 1ABC，2ADC （ ） ABCADC， DEFB， 1 ， （ ） 2 （等量代换） ABCD （ ） 23如图，点 E、F 在 BC 上，ABCD，BECF，BC，AF 与 DE 交于点 O求证：AD 24如图，在正方形网格上的一个ABC，且每个小正方形的边长为 1（其中点 A，B，C 均在网格上） （1）作ABC 关于直线 MN 的轴对称图形ABC； （2）在 MN
9、 上画出点 P，使得 PA+PC 最小； （3）求出ABC 的面积 25乘法公式的探究及应用： （1）如图，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式） ； （2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式） ； （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用式子表达） ； （4）运用你所得到的公式，计算下列式子： 1002998； （2m+np） （2m+n+p） ； （2+1） （22+1） （24+1）（232+1）+1 26已知 ABCD，点 M、N 分别是 AB、CD 上两点，点 G 在 AB、CD 之间，连接
10、 MG、NG （1）如图 1，若 GMGN，求AMG+CNG 的度数； （2） 如图 2， 若点 P 是 CD 下方一点， MG 平分BMP， ND 平分GNP， 已知BMG30， 求MGN+ MPN 的度数； （3） 如图 3， 若点 E 是 AB 上方一点， 连接 EM、 EN， 且 GM 的延长线 MF 平分AME， NE 平分CNG， 2MEN+MGN105，求AME 的度数 27在等腰直角ABC 中，ABAC，BAC90，以 CA 为边在ACB 的另一侧作ACMACB，点 D 为射线 BC 上任意一点，在射线 CM 上截取 CEBD，连接 AD、DE、AE （1）如图 1，当点 D
11、落在线段 BC 的延长线上时，直接写出ADE 的度数； （2）如图 2，当点 D 落在线段 BC（不含边界）上时，AC 与 DE 交于点 F，请问（1）中的结论是否仍 成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图 2，作 AHBC，垂足为 H，作 AGEC，垂足为 G，连接 HG，判断GHC 的形状，并说明 理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案 【解答】
12、解：A、是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，符合题意 故选：D 【点评】 本题考查的是轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合 2 （3 分）地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在这一问题中因变量是（ ） A地表 B岩层的温度 C所处深度 D时间 【分析】地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量 x 和 y， 对于每一个 x 的值，y 都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是深度，因变量是岩层的温度 【解答】解：地表以下岩层的温度随着所处深度的变
13、化而变化， 自变量是深度，因变量是岩层的温度 故选：B 【点评】考查了函数的定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于 D 中的每个值 x， 变量 y 按照一定的法则有一个确定的值 y 与之对应，称变量 y 为变量 x 的函数 3 （3 分） 2019 年 5 月 24 日， 中国大同石墨烯+新材料储能产业园正式开工， 这是大同市争当能源革命 “尖 兵”的又一重大举措石墨烯是已知强度最高的材料之一，同时还具有很好的韧性，石墨烯的理论厚度 为 0.000 000 000 34 米，这个数据用科学记数法可表示为（ ） A0.3410 9 B3.410 11 C3.410 10
14、 D3.410 9 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000 000 000 343.410 10； 故选：C 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 4 （3 分）如图，1 与2 构成对顶角的是（ ） A B C D 【分析】根据对顶角的定义，可得答案 【解答】解：对顶角：1 的两边与2 的两边互为反向延长线，故
15、 C 符合题意； 故选：C 【点评】本题考查了对顶角，利用1 的两边与2 的两边互为反向延长线是解题的关键 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a3 Ba2a3a6 C （2a3）24a6 Da6a2a3 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法法则进行解答 【解答】解：A、a2与 a 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、原式a2+3a5，故本选项错误； C、原式（2）2a324a6，故本选项正确； D、原式a6 2a4，故本选项错误； 故选：C 【点评】本题综合考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法，熟
16、练掌握运算性质和法则是解题的关键 6 （3 分）以下面各组数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A1，1，3 B1，3，4 C4，5，9 D2，6，7 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边对四个选项分别进行判断即可一般把两较小的线段长的 和与较大的线段长进行比较 【解答】解：A、1+13，不能组成三角形； B、1+34，不能组成三角形； C、4+59，不能组成三角形； D、2+67，能组成三角形 故选：D 【点评】本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边 7 （3 分）如图，点 E 在 BA 的延长线上，能证明 BECD 是（ ） AEADB BBADBCD CEA
17、DADC DBCD+D180 【分析】根据平行线的判定定理对四个选项进行逐一分析即可 【解答】解：A、若EADB，则 ADBC，不符合题意； B、若BADBCD，不能证明 BECD，不符合题意； C、若EADADC，则 BECD，符合题意； D、若BCD+D180，则 ADBC，不符合题意 故选：C 【点评】本题考查了平行线的判定定理，解答此类题目的关键是正确区分两条直线被第三条直线所截形 成的同位角、内错角及同旁内角 8 （3 分）如图，直线 l1l2，等腰直角ABC 的两个顶点 A、B 分别落在直线 l1、l2上，ACB90，若 115，则2 的度数是（ ） A35 B30 C25 D20
18、 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得CAB45，根据平行线的性质可得23，进而可得答 案 【解答】解：ABC 是等腰直角三角形， CAB45， l1l2， 23， 115， 2451530， 故选：B 【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等 9 （3 分）如图，要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D，使 BCCD， 再作出 BF 的垂线 DE，使点 A、C、E 在同一条直线上（如图） ，可以说明ABCEDC，得 ABDE， 因此测得 DE 的长就是 AB 的长，判定ABCEDC，最恰当的理由是（ ） ASAS BHL
19、CSSS DASA 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择 判断方法 【解答】解：因为证明在ABCEDC 用到的条件是：CDBC，ABCEDC90，ACB ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即 ASA 这一方法 故选：D 【点评】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL，做题时注意选择注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边 的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 10 （3 分）在下列条件中： A+BC； A：B：C1：2
20、：3； A2B3C； ABC 中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据三角形内角和定理进行计算即可 【解答】解：A+BC，是直角三角形； A：B：C1：2：3，是直角三角形； A2B3C，则设Ax，B，C，则 x+180，解得 x， A， ABC 不是直角三角形； ABC，不是直角三角形，是等边三角形， 能确定ABC 是直角三角形的条件有 2 个， 故选：B 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握三角形内角和为 180 11 （3 分）如图，ABCD，且 ABCD，CEAD，BFAD，分别交 AD 于 E、F 两点，若 BF
21、a，EF b，CEc，则 AD 的长为（ ） Aa+c Bb+c Cab+c Da+bc 【分析】由余角的性质可得AC，由“AAS”可证ABFCDE，可得 AFCEc，BFDEa， 可得 AD 的长 【解答】解：ABCD，CEAD，BFAD， AFBCED90，A+D90，C+D90， AC， ABCD，AC，CEDAFB90 ABFCDE（AAS） AFCEc，BFDEa， EFb， ADAF+DFc+（ab）ab+c， 故选：C 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明ABFCDE 是本题的关键 12 （3 分）如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，AB83，AD10，点 E 是 CD
22、 的中点将这张纸片依次折叠两 次：第一次折叠纸片使点 A 与点 E 重合，如图 2，折痕为 MN，连接 ME、NE；第二次折叠纸片使点 N 与点 E 重合，如图 3，点 B 落在 B处，折痕为 HG，连接 HE DME2ANM； MHHN； AMNGHN； BGEBGN，以上说法正确的有（ ）个 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据矩形的性质，翻折不变性等知识，一一判断即可 【解答】解：由翻折可知，ANMMNE，AMEN90， DME+EMA180，EMA+ANE180， DMEANE， DME2ANM，故正确， HG 垂直平分 EN， HGEM， HMHN，GHNNME， A
23、MNNME， AMNGHN，故正确， 由翻折可知：ENGN，GBGB，EBBN， BGEBGN（SSS） ，故正确， 故选：D 【点评】 本题考查翻折变换， 全等三角形的判定， 矩形的性质等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）计算： （a）5a3 （a）2 a4 【分析】根据同底数幂的乘除法可以解答本题 【解答】解： （a）5a3 （a）2 （a5）a3a2 a5 3+2 a4， 故答案为：a4 【点评】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘除法，解答本题的关键是明确
24、它们各自的计算方法 14 （3 分）如图，已知 ABDE，BE，添加下列哪个条件可以利用 SAS 判断ABCDEC正确 的是： AD； BCEC； ACDC； BCEACD 【分析】已知两个三角形的一组对应角相等和已知对应边相等，根据全等三角形的判定定理添加条件即 可 【解答】解：ABDE，BE， 添加AD，利用 ASA 得出ABCDEC； 添加BCEC，利用 SAS 得出ABCDEC； 添加BCEACD，得出ACBDCE，利用 AAS 得出ABCDEC； 故答案为： 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL 注意：AAA、S
25、SA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角 对应相等时，角必须是两边的夹角 15 （3 分）若（a4）2+|b6|0，则以 a、b 为边长的等腰三角形的周长是 14 或 16 【分析】 先根据非负数的性质得到 a、 b 的长， 再分为两种情况： 当腰是 4， 底边是 6 时， 当腰是 6， 底边是 4 时，求出即可 【解答】解：（a4）2+|b6|0， a40，b60， a4，b6， 当腰是 4，底边是 3 时，三边长是 4，4，6，此时符合三角形的三边关系定理， 即等腰三角形的周长是 4+4+614； 当腰是 6，底边是 4 时，三边长是 6，6，4，此
26、时符合三角形的三边关系定理， 即等腰三角形的周长是 6+6+416 故答案为：14 或 16 【点评】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，注意此题要分 为两种情况讨论 16 （3 分）若 x2+2mx+9 是完全平方式，则 m 3 【分析】这里首末两项是 x 和 3 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 x 和 3 积的 2 倍 【解答】解：x2+2mx+9 是完全平方式， x2+2mx+9（x3）2x26x+9， 2m6， m3 故答案为：3 【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成了 一个完全平方式注
27、意积的 2 倍的符号，避免漏解 17 （3 分）如图，在ABC 中 E 是 BC 上的一点，EC2BE，点 D 是 AC 的中点，设ABC，ADF， BEF 的面积分别为 SABC，SADF，SBEF，且 SABC18，则 SADFSBEF 3 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则 SAECSABC12，SBCD SABC9，然后利用 SAECSBCD3 即可得到答案 【解答】解：EC2BE， SAECSABC1812， 点 D 是 AC 的中点， SBCDSABC189， SAECSBCD3， 即 SADF+S四边形CEFD（SBEFS四边形CEFD）3， SAD
28、FSBEF3 故答案为：3 【点评】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即 S底高；三 角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 18 （3 分）A、B 两地相距 20km，甲乙两人沿同一条路线从 A 地到 B 地甲先出发，匀速行驶，甲出发 1 小时后乙再出发， 乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶， 结果比甲提前到达 甲、 乙两人离开 A 地的距离 y（km）与时间 t（h）的关系如图所示，则甲出发 小时后和乙相遇 【分析】由图象得出解析式后联立方程组解答即可 【解答】解：乙提高后的速度为： （202）（411）9， 由图象可得：y甲4t（0t5
29、） ；y乙； 由方程组，解得 t 故答案为 【点评】此题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，满分小题，满分 0 分）分） 19 （1） （1）2017+（3.14）0（） 1； （2） （4a32a+1） （2a） 【分析】 （1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案； （2）直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案 【解答】解： （1） （1）2017+（3.14）0（） 1 1+1+3 3； （2） （4a32a+1） （2a） 8a4+4a22a 【点评】此题主要考查了实数运算以及单项式乘以多项式，正确掌握相
30、关运算法则是解题关键 20 （1） （x+1）2（x+5） （x5） ； （2）（3x+2y） （3x2y）（x+2y） （3x2y）2x，其中 x2，y1.6 【分析】 （1）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题； （2）根据平方差公式和多项式乘多项式、多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后将 x、y 的值 代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （1） （x+1）2（x+5） （x5） x2+2x+1x2+25 2x+26； （2）（3x+2y） （3x2y）（x+2y） （3x2y）2x （9x24y23x24xy+4y2）2x （6x24xy）2x 3x2y， 当 x2，y
31、1.6 时，原式322（1.6）6+3.29.2 【点评】本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法 21小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继 续去学校以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是 1500 米，小明在书店停留了 4 分钟； （2）本次上学途中，小明一共行驶了 2700 米，一共用了 14 分钟； （3）在整个上学的途中 12 分钟至 14 分钟 （哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是 450 米/分； （4）小明出发多长时间离家 1
32、200 米？ 【分析】 （1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据函数图象可以解答本题； （3）由函数图象可以得到哪段的速度最快，进而求得相应的速度； （4）根据函数图象和图象中的数据，可以解答本题 【解答】解： （1）由图象可得， 小明家到学校的路程是 1500 米，小明在书店停留了：1284（分钟） ， 故答案为：1500，4； （2）本次上学途中，小明一共行驶了：1500+（1200600）22700（米） ，一共用了 14（分钟） ， 故答案为：2700，14； （3）由图象可知， 在整个上学的途中，12 分钟至 14 分钟小明骑车速度最快，最快的速度为： （1500600）（141
33、2） 450 米/分钟， 故答案为：12 分钟至 14 分钟，450； （4）设 t 分钟时，小明离家 1200 米， 则 t6 或 t12（1200600）450，得 t13， 即小明出发 6 分钟或 13分钟离家 1200 米 【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 22如图，ABCADC，BF、DE 分别平分ABC 与ADC，DEFB求证：ABDC 请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由 证明：BF、DE 分别平分ABC 与ADC， 1ABC，2ADC （ 角平分线的定义 ） ABCADC， 12 DEFB， 1 3 ， （ 两直线平行，同位
34、角相等 ） 2 3 （等量代换） ABCD （ 内错角相等，两直线平行 ） 【分析】根据角平分线的定义求出12，求出23，根据平行线的判定得出即可 【解答】证明：BF、DE 分别平分ABC 与ADC， 1ABC，2ADC（角平分线的定义） ， ABCADC， 12， DEFB， 13， （两直线平行，同位角相等） ， 23（等量代换） ， ABCD（内错角相等，两直线平行） ， 故答案为：角平分线的定义，12，3，两直线平行，同位角相等，3，内错角相等，两直线平行 【点评】本题考查了平行线的性质和判定和角平分线的定义，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关 键 23如图，点 E、F 在 BC 上
35、，ABCD，BECF，BC，AF 与 DE 交于点 O求证：AD 【分析】由“SAS”可证ABFDCE，可得结论 【解答】证明：BECF， BFCE， 在ABF 和DCE 中， ， ABFDCE（SAS） ， AD 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明ABFDCE 是本题的关键 24如图，在正方形网格上的一个ABC，且每个小正方形的边长为 1（其中点 A，B，C 均在网格上） （1）作ABC 关于直线 MN 的轴对称图形ABC； （2）在 MN 上画出点 P，使得 PA+PC 最小； （3）求出ABC 的面积 【分析】 （1）利用网格特点和轴对称的性质画出 A、B、C 关于 MN 的
36、对称点 A、B、C即可； （2）连接 AC交 MN 于 P，利用 PCPC得到 PA+PCAC，则根据两点之间线段最短可判断此时 P 点满足条件； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算ABC 的面积 【解答】解： （1）如图，ABC为所作； （2）如图，点 P 为所作； （3）ABC 的面积34133241 【点评】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图 形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的也考查了最短路径问题 25乘法公式的探究及应用： （1）如图，可以求出阴影部分的面积是 a2b2 （写成两数平方差的形式） ； （2）如图，
37、若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 （ab） ，长是 （a+b） ， 面积是 （a+b） （ab） （写成多项式乘法的形式） ； （3） 比较左、 右两图的阴影部分面积， 可以得到乘法公式： （a+b） （ab） a2b2 （用式子表达） ； （4）运用你所得到的公式，计算下列式子： 1002998； （2m+np） （2m+n+p） ； （2+1） （22+1） （24+1）（232+1）+1 【分析】 （1）左图阴影部分的面积是两个正方形的面积差，可表示阴影部分的面积， （2）表示出拼成的长方形的长、宽，进而表示出面积， （3）根据两图所表示的面积相等得出乘法公式， （4）应
38、用平方差公式进行计算， 将 1002998 写成（1000+2） （10002）后利用公式计算； 先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算， 写成能连续利用平方差公式的形式进行计算，得出结果 【解答】解： （1）左图的面积为两个正方形的面积差，即：a2b2， 故答案为：a2b2， （2）右图可得：拼成长方形的宽是（ab） ，长是 （a+b） ，面积是 （a+b） （ab） ， 故答案为： （ab） ， （a+b） ， （ab） （a+b） （3）故答案为： （a+b） （ab）a2b2， （4）1002998（1000+2） （10002）100022210000004999996， （2
39、m+np） （2m+n+p）（2m+n）2p24m2+4mn+n2p2； （2+1） （22+1） （24+1）（232+1）+1， （21） （2+1） （22+1） （24+1）（232+1）+1， （221） （22+1） （24+1）（232+1）+1， （241） （24+1）（232+1）+1， 2641+1， 264 【点评】考查平方差公式，理解和掌握平方差公式的结构特征，是正确应用的前提，适当变形转化为符 合平方差公式的形式是常用的方法 26已知 ABCD，点 M、N 分别是 AB、CD 上两点，点 G 在 AB、CD 之间，连接 MG、NG （1）如图 1，若 GMGN，求A
40、MG+CNG 的度数； （2） 如图 2， 若点 P 是 CD 下方一点， MG 平分BMP， ND 平分GNP， 已知BMG30， 求MGN+ MPN 的度数； （3） 如图 3， 若点 E 是 AB 上方一点， 连接 EM、 EN， 且 GM 的延长线 MF 平分AME， NE 平分CNG， 2MEN+MGN105，求AME 的度数 【分析】 （1）过 G 作 GHAB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到AMG+CNG 的度数； （2）过 G 作 GKAB，过点 P 作 PQAB，设GND，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求 得MGN30+，MPN60，即可得到MGN+MPN30+6
41、090； （3）过 G 作 GKAB，过 E 作 ETAB，设AMFx，GNDy，利用平行线的性质以及角平分线的 定义，可得MENTENTEM90y2x，MGNx+y，再根据 2MEN+G105，即 可得到 2（90y2x）+x+y105，求得 x25，即可得出AME2x50 【解答】解： （1）如图 1，过 G 作 GHAB， ABCD， GHABCD， AMGHGM，CNGHGN， MGNG， MGNMGH+NGHAMG+CNG90； （2）如图 2，过 G 作 GKAB，过点 P 作 PQAB，设GND， GKAB，ABCD， GKCD， KGNGND， GKAB，BMG30， MGKB
42、MG30， MG 平分BMP，ND 平分GNP， GMPBMG30， BMP60， PQAB， MPQBMP60， ND 平分GNP， DNPGND， ABCD， PQCD， QPNDNP， MGN30+，MPN60， MGN+MPN30+6090； （3）如图 3，过 G 作 GKAB，过 E 作 ETAB，设AMFx，GNDy， AB，FG 交于 M，MF 平分AME， FMEFMABMGx， AME2x， GKAB， MGKBMGx， ETAB， TEMEMA2x， CDABKG， GKCD， KGNGNDy， MGNx+y， CND180，NE 平分CNG， CNG180y，CNECN
43、G90y， ETABCD， ETCD， TENCNE90y， MENTENTEM90y2x，MGNx+y， 2MEN+G105， 2（90y2x）+x+y105， x25， AME2x50 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利 用平行线的性质以及角的和差关系进行推算 27在等腰直角ABC 中，ABAC，BAC90，以 CA 为边在ACB 的另一侧作ACMACB，点 D 为射线 BC 上任意一点，在射线 CM 上截取 CEBD，连接 AD、DE、AE （1）如图 1，当点 D 落在线段 BC 的延长线上时，直接写出ADE 的度数； （2）如图
44、 2，当点 D 落在线段 BC（不含边界）上时，AC 与 DE 交于点 F，请问（1）中的结论是否仍 成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图 2，作 AHBC，垂足为 H，作 AGEC，垂足为 G，连接 HG，判断GHC 的形状，并说明 理由 【分析】（1） 利用 SAS 定理证明ABDACE， 根据全等三角形的性质得到 ADAE， CAEBAD， 根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明； （2）结论成立，同（1）的证明方法相同； （3）证得GCH90，CGCH，则可得出结论 【解答】 （1）解：ADE45 ABAC，BAC90， ABCACB45， AC
45、MACB， ACMABC， 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SAS） ， ADAE，CAEBAD， DAEBAC90， ADE45； （2） （1）中的结论成立 证明：BAC90，ABAC， BACB45 ACMACB， BACM45 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SAS） ADAE，BADCAE CAE+DACBAD+DACBAC90 即DAE90 ADAE， ADEAED45 （3）CGH 为等腰直角三角形理由如下： BCAACE45， GCH90， 又AHBC，AGCE， AGAH， ACGAGC45， AGCG， ABAC，AHBC， HCAHAC45， AHHC， CHCG， CGH 为等腰直角三角形 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角 形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，
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