2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类（二）三角形

1、2018-2020 年北京市中考数学各地区模拟试题分类（二）三角形 一选择题 1（2020平谷区一模）已知锐角AOB如图， （1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF； （2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G； （3）连接FG，CG作射线OG 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） ABOGAOB B若CGOC，则AOB30 COF垂直平分CG DCG2FG 2（2019房山区模拟）在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，AEB 80，那么EBC等于（ ） A15 B25 C15或 75

2、D25或 85 3（2019海淀区校级模拟）如图所示，ABC中，ABAC，过AC上一点作DEAC，EFBC，若BDE 140，则DEF（ ） A55 B60 C65 D70 4（2018通州区三模）如图所示，AD，BE，CF分别是ABC的角平分线，高线和中线，则下列求ABC的 面积正确的公式是（ ） A B C DSABCBECE 5（2018门头沟区一模）如图所示，有一条线段是ABC（ABAC）的中线，该线段是（ ） A线段GH B线段AD C线段AE D线段AF 6（2018石景山区二模）如图，在ABC中，BC边上的高是（ ） AAF BBH CCD DEC 7（2018房山区二模）如图，

3、在ABC中，过点B作PBBC于B，交AC于P，过点C作CQAB，交AB 延长线于Q，则ABC的高是（ ） A线段PB B线段BC C线段CQ D线段AQ 8（2018平顶山三模）等腰三角形一边长等于 5，一边长等于 10，它的周长是（ ） A20 B25 C20 或 25 D15 二填空题 9 （2020大兴区一模） 如图， 在ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点， 若DE2， 则BC边的长为 10（2020大兴区一模）如图所示的网格是正方形网格，ABC的顶点A、B、C恰好落在正方形网格中的 格点上，则ABC 11（2020北京一模）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则ACD

4、+BDC 12（2020通州区一模）把图 1 中长和宽分别为 3 和 2 的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角 形，将这四个全等的直角三角形拼成图 2 所示的正方形，则图 2 中小正方形ABCD的面积为 13 （2020朝阳区三模） 如图所示的网格是正方形网格， 图形的各个顶点均为格点， 则1+2 14（2020西城区一模）如图，ABC的顶点A，B，C都在边长为 1 的正方形网格的格点上，BDAC于点 D，则AC的长为 ，BD的长为 15（2020丰台区一模）如图所示的网格是正方形网格，则PAB+PBA （点A，B，P是网格 线交点） 16（2020房山区一模）如图所示的网格是正方形网

5、格，则PABPCD （点A，B，C，D， P是网格线交点） 17（2020西城区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，则ABC+ACB （点A，B，C是 网格线交点） 18（2020丰台区模拟） 如图所示的网格是正方形网格， 点A，B，C均在格点上， 则BAC+BCA 19（2020丰台区模拟）如图所示的网格是正方形网格，则BACDAE （点A，B，C，D，E 是网格线交点） 20 （2020房山区二模） 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架其 中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？” 译文：“有一根竹子，原高二丈（1 丈1

6、0 尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为 6 尺，问 折断处离地面的高度为多少尺？” 如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BCx尺，则可列方程 为 三解答题 21（2020顺义区二模）已知：在ABC中，ABC90，ABBC，点D为线段BC上一动点（点D不与 点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F， 连接AE （1）依题意补全图形； （2）AE与DF的位置关系是 ； （3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，DAF的度数始终保持 不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交

7、流，经过测量，小昊猜想 DAF ，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法： 想法 1：过点A作AGCF于点G，构造正方形ABCG，然后可证AFGAFE 想法 2：过点B作BGAF，交直线FC于点G，构造ABGF，然后可证AFEBGC 请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可） 22 （2020房山区二模）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰 RtADC，连接BD，在 RtABD外侧， 以BD为斜边作等腰 RtBED，连接EC （1）如图 1，当DBA30时： 求证：ACBD； 判断线段EC与EB的数量关系，并证明； （2）如图 2，当 0DBA45时，EC与EB的数量关系是否保持不

8、变？ 对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路： 想法 1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明ADB CDG解决以上问题； 想法 2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG通过证明ADBGDE 解决以上问题； 想法 3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆 的相关知识解决以上问题 请你参考上面的想法，证明ECEB（一种方法即可） 23（2020东城区二模）在ABC中，ABAC，BAC，点D是ABC外一点，点D与点C在直线AB 的异侧，且点D，A

9、，C不共线，连接AD，BD，CD （1）如图 1，当 60ADB30时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系； （2）当 90，ADB45时，利用图 2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明； （提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中） （3）当ADB时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含 的等式直接表示出它们之间 的关系 24（2020房山区二模）如图，在ABC中，BD平分ABC交AC于点D，DEAB交BC于点E，F是BD中 点求证：EF平分BED 25（2020海淀区二模）如图 1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD

10、CD，连接AD，以点A 为中心，将射线AD顺时针旋转 60，与ABC的外角平分线BM交于点E （1）依题意补全图 1； （2）求证：ADAE； （3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF 求证：AECF； 若BE+CFAB成立，直接写出BAD的度数 为 26（2020大兴区一模）已知：如图，QAN为锐角，H、B分别为射线AN上的点，点H关于射线AQ的对 称点为C，连接AC，CB （1）依题意补全图； （2）CB的垂直平分线交AQ于点E，交BC于点F连接CE，HE，EB 求证：EHB是等腰三角形； 若AC+ABAE，求 cosEAB的值 27（2020北京一模）ABC中，ACB90，ACBC

11、，M为BC边上的一个动点（不与点B，C重 合），连接AM，以点A为中心，将线段AM逆时针旋转 135，得到线段AN，连接BN （1）依题意补全图 1； （2）求证：BANAMB； （3） 点P在线段BC的延长线上， 点M关于点P的对称点为Q， 写出一个PC的值， 使得对于任意的点M， 总有AQBN，并证明 28（2020丰台区一模）已知AOB120，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为AOB内 部一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转 60得到线段CQ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O 重合 （1）依据题意补全图 1； （2）用等式表示CPO与CQO的数量关系，并证明； （3）

12、连接OC，写出一个OC的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ4，并证明 29（2020东城区一模）如图，在正方形ABCD中，AB3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与 点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BFDM，连接EF，AF （1）依题意补全图 1； （2）若DM1，求线段EF的长； （3）当点M在CD边上运动时，能使AEF为等腰三角形，直接写出此时 tanDAM的值 30（2020平谷区一模）如图 1，P是ABC外部的一定点，D是线段BC上一动点，连接PD交AC于点E 小明根据学习函数的经验，对线段PD，PE，CD的长度之间的关系进行了探究， 下面是小

13、明的探究过程，请补充完整： （1）对于点D在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段PD，PE，CD的长度的几组值，如表： 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 位置 8 位置 9 PD/cm 2.56 2.43 2.38 2.43 2.67 3.16 3.54 4.45 5.61 PE/cm 2.56 2.01 1.67 1.47 1.34 1.32 1.34 1.40 1.48 CD/cm 0.00 0.45 0.93 1.40 2.11 3.00 3.54 4.68 6.00 在PD，PE，CD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是

14、 这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出图 2 中所确定的两个函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题： 连接CP，当PCD为等腰三角形时，CD的长度约为 cm（精确到 0.1） 参考答案参考答案 一选择题 1解：由作图可得，OCOE，FCFG，OFOF， OCFOGF（SSS）， BOGAOB，故A选项正确； 若CGOCOG，则OCG是等边三角形， COG60， AOBCOG30，故B选项正确； OCOE，FCFG， OF垂直平分CG，故C选项正确； CG2MG2FG，故D选项错误； 故选：D 2解：如图 1，DE 垂直平分AB， AEBE， BACABE， AEB8

15、0， BACABE50， ABAC， ABC65， EBCABCABE15 如图 2，DE 垂直平分AB， AEBE， BAEABE， AEB80， BAEEBA50， BAC130 ABAC， ABC25 EBCEBA+ABC75 故选：C 3解：DEAC，BDE140， A50， 又ABAC， C65， EFBC， DEFC65 所以A错，B错，C对，D错故选C 4解：BE是ABC的高线， 求ABC的面积正确的公式是SABCCABE 故选：B 5解：根据三角形中线的定义知线段AD是ABC的中线， 故选：B 6解：根据高的定义，AF为ABC中BC边上的高 故选：A 7解：ABC的高是线段CQ

16、， 故选：C 8解：当 5 为腰，10 为底时， 5+510， 不能构成三角形； 当腰为 10 时， 5+1010， 能构成三角形， 等腰三角形的周长为：10+10+525 故选：B 二填空题（共 12 小题） 9解：D、E分别为AB、AC边的中点， DE是ABC的中位线， BC2DE4， 故答案为：4 10解：如图，ABD是等腰直角三角形， ABD45， ABC18045135， 故答案为：135 11解：在 RtAEC和 RtDAB中 RtAECRtDAB（HL）， ACEABD， EAC+ACE90， EAC+ABD90， AFB90，即CFD90， ACD+BDC90， 故答案为 90

17、 12解：321， 111 故图 2 中小正方形ABCD的面积为 1 故答案为：1 13解：如图所示： 由题意可得：13， 则1+22+345 故答案为：45 14解：如图所示： 由勾股定理得：AC5， SABCBCAEBDAC， AE3，BC5， 即， 解得：BD3 故答案为：5，3 15解：CPA45，CPAPAB+PBA， PAB+PBA45， 故答案为：45 16解：连接AE，PE， 则EABPCD， 故PABPCDPABEABPAE， 设正方形网格的边长为a，则PA，PE，AEa， PA2+PE25a2+5a210a2AE2， APE是直角三角形，APE90， 又PAPE， PAEP

18、EA45， PABPCD45， 故答案为：45 17解：延长BA交格点于D，连接CD， 则AD2CD21+225，AC212+3210， AD2+CD2AC2， ADC90， DACABC+ACB45 故答案为：45 18解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D，则ADBD， ADB90， ABD45， BAC+BCAABD45， 故答案为：45 19解：如图，连接CG、AG， 由勾股定理得：AC2AG212+225，CG212+3210， AC2+AG2CG2， CAG90， CAG是等腰直角三角形， ACG45， CFAB， ACFBAC， 在CFG和ADE中， ， CFGADE（SAS），

19、FCGDAE， BACDAEACFFCGACG45， 故答案为：45 20解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20 x）尺， 根据勾股定理得：x2+62（20 x）2 故答案为x2+62（20 x）2 三解答题（共 10 小题） 21解：（1）补全图形如图 1： （2）AE与DF的位置关系是：AEDF， 理由是：点B关于直线AD的对称点为E， ABAE，BDDE， ADAD， ABDAED（SSS）， AEDB90， AEDF； 故答案为：AEDF； （3）猜想DAF45； 想法 1： 证明如下：如图 2，过点A做AGCF于点G， 依题意可知：BBCGCGA90， ABBC， 四边形ABCG

20、是正方形， AGAB，BAG90， 点B关于直线AD的对称点为E， ABAE，BAEDAEF90，BADEAD， AGAE， AFAF， RtAFGRtAFE（HL）， GAFEAF， BAG90， BAD+EAD+EAF+GAF90， EAD+EAF45 即DAF45 想法 2： 证明如下：如图 3，过点B作BGAF，交直线FC于点G， 依题意可知：ABCBCF90， ABFG， AFBG， 四边形ABGF是平行四边形， AFBG，BGCBAF， 点B关于直线AD的对称点为E， ABAE，ABCAED90，BADEAD， ABBC， AEBC， RtAEFRtBCG （HL）， EAFCBG

21、， BCG90， BGC+CBG90， BAF+EAF90， BAD+EAD+EAF+EAF90， BADEAD， EAD+EAF45， 即DAF45 故答案为：45 22解：（1）如图 1， 过点D作DFAC于F，则DFC90， ADC是AC为斜边作等腰 RtADC， AC2DF， 在 RtDFB中，DBA30， BD2DF， ACBD； ADC是等腰直角三角形， ACD45， DBA30， CDBACDDBA15， BDE是等腰直角三角形， BDE45， CDECDB+BDE60， 在 RtADC中，ACDC， 在 RtBDE中，BDBEDE， 由知，ACBD， BECDED， CDE是等

22、边三角形， DECE， ECEB； （2）如图 2， 过点D作DGBD交BE的延长线于G，连接CG， BDG90ADC， ADBCDG， BED是以BD为斜边作等腰 RtBED， BED90，DBE45， DGE90DBE45DBE， BDGD， ADCD， ADBCDG（SAS）， DCGDAB， ACD45， BCGACG90， 在 RtBDG中，DBDG，BED90， EGEB， BEBE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） 23解：（1）AD2+BD2CD2， 理由：如图 1，过AD为边在AD上侧作等边三角形ADE，连接BE， 则ADDEAE，DAEADE60， ADB30， BDE

23、DBA+ADE90， 在 RtBDE中，根据勾股定理得，BD2+DE2BE2， BD2+AD2BE2， DAEBAC60， BAECAD， ABAC， ABEACD（SAS）， BECD， AD2+BD2CD2； （2）如图 2，过点A作AEAD，且AEAD，连接BE，DE， ADE45， BDA45， BDE90， 根据勾股定理得，DE2+BD2BE2， DE22AD2， 2AD2+BD2BE2， DAEBAC90， BAECAD， ABAC， ABEACD（SAS）， BECD， 2AD2+BD2CD2； （3）如图 3， 将线段AD绕点A顺时针旋转 得到AE，连接DE，BE， ADE（1

24、80DAE）90， ADB， BDE90， 根据勾股定理得，DE2+BD2BE2， DAEBAC， BAECAD， ABAC， ABEACD（SAS）， BECD， DE2+BD2CD2， 过点A作AFDE于F，则DE2DF， DAF90ADE， 在 RtADF中，sinDAF， DFADsinDAFADsin， DE2DF2ADsin， 即：（2ADsin）2+BD2CD2 24证明：BD平分ABC， ABDCBD， DEAB， ABDBDE， BDECBD， EBED， EBED，F是BD中点， EF平分BED 25解：（1）补全图形如图 1 所示； （2）由旋转知，DAE60， ABC是

25、等边三角形， ABAC，ABCCBAC60， DAEBAC， BAECAD， BE是ABC的外角的平分线， ABM（18060）60C， 在ABE和ACD中， ABEACD（SAS）， ADAE； （3）如图 2，连接AF，点F是点B关于AD的对称点， BADFAD，AFAB， AFAC， AFCACF， 设BAD，则FAD， CAFBACBADFAD602， ACF（180CAF）60+， 由（2）知，BAECAD60， CAEBAE+BAC60+60120， ACF+CAE60+120180， AECF； 如图 2，连接BF，设BAD， 点F是点B关于AD的对称点， ADBF，垂足记作点G

26、，则AGB90， ABG90， ABC60， CBG30， 连接DF，则BDDF， CDF2CBG602， 由（2）知，ABEACD， BECD， BE+CFAB， CD+CFBCBD+CD， BDCF， DFCF， DCFCDF602， 由知，ACF60+， DCFACFACB， 602， 20， 即BAD20， 故答案为：20 26（1）解：图形如图 1 所示： （2）证明：如图 2 中， C，H关于AQ对称， CAEEAH，ACAH， AEAE， ACEAHE（SAS）， ECEH， EF垂直平分线段BC， ECEB， EHEB， EHB是等腰三角形 解：如图 21 中，作EMAB于M

27、EHEB，EMBH， HMMB， AC+ABAH+ABAMHM+AM+BM2AM， AC+ABAE， 4AMAE， 在 RtAEM中，cosEAB， cosEAB 27解：（1）根据题意，补全图形，如图 1， （2）ACB90，ACBC， ABM45 MAB+ABM+AMB180， AMB135MAB 又MAN135， BAN135MAB， BANAMB； （3）不妨设PC的值为 1 ACB90，ACBC， AB2 如图 2，任取满足条件的点M，作点M关于点C的对称点M，连接AM， AMAMAN，MM2CM， AMCAMC， AMQAMBBAN 点M关于点P的对称点为Q， MQ2MP， MQM

28、QMM2MP2MC2PC2， MQAB， AMQANB， AQBN 28解：（1）补图如图 1： （2）CQO+CPO180， 理由如下：四边形内角和 360， 且AOB120，PCQ60， CQO+CPO1+2180 （3）OC4 时，对于任意点P，总有OP+OQ4 证明：连接OC，在射线OA上取点D，使得DPOQ，连接CD OP+OQOP+DPOD 1+2180， 2+3180， 13 CPCQ， 在CQO和CPD中 ， COQCDP（SAS） 46，OCCD 4+560， 5+660 即OCD60 COD是等边三角形 OCODOP+OQ4 29解：（1）根据题意作图如下： （2）连接BM

29、，如图 2， 点D与点E关于AM所在直线对称， AEAD，MADMAE， 四边形ABCD是正方形， ADAB，DABF90， BMBF， ADMABF（SAS）， AFAM，FABMAD， FABNAE， FAEMAB， FAEMAB（SAS）， EFBM， 四边形ABCD是正方形， BCCDAB3， DM1， CM2， BM， EF； （3）设DMx（x0），则CM3x， EFBM， AEAD3，AFAM， AFAE， 当AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AEEF，或AFEF， 当AEEF时，有3，解得x3 tanDAM； 当AFEF时，解得，x， tanDAM， 综上，tanDAM的值为 1 或 故答案为：tanDAM的值为 1 或 30解：（1）确定CD的长度是自变量，PD的长度和PE的长度都是这个自变量的函数； （2）函数图象如图所示： （3）观察图象可知，PC2.6cm， 当PDPC时，见图中点B，此时CD1.9cm 当CDPD时，见图中点A，此时CD3.5cm 当CDPC时，CD2.6cm 故答案为 2.6，1.9，3.5