1、 例 1： 在四边形ABCD中， 已知2ABab，4BC ab，53CDab， 其中，a， b是不共线的非零向量，则四边形ABCD的形状是 例 2：如图，已知OAB，若点C满足 2ACCB ，,OCOAOB R， 则 11 （ ） A 1 3 B 2 3 C 2 9 D 9 2 例 3： 已知向量(2,sin )a，(cos , 1)b， 若ab， 则sin()cos() 44 一、选择题 1ABC中所在的平面上的点D满足2BDDC=，则AD =（ ） 1、平面向量的线性运算 2、平面向量基本定理的应用 3、平面向量与其它知识点结合 平面平面向量向量 A 31 44 ADABAC=+ B 13
2、 44 ADABAC=+ C 21 33 ADABAC D 12 33 ADABAC 2在ABC中，已知D是BC延长线上一点，若3BCCD，点E为线段AD的中点， 2 3 AEABAC，则的值为（ ） A 1 3 B 1 3 C 1 6 D 1 6 3已知菱形ABCD的边长为2，E为AB的中点，120ABC，则DE AC的值为 （ ） A4 B3 C3 D3 4 在平行四边形ABCD中，AB a，AD b，3ANNC，M为BC的中点， 则MN （ ）（用a，b表示） A 11 44 ab B 11 36 ab C 11 36 ab D 11 44 ab 5如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，
3、线段OC与线段AB交于圈内一点P， 若3OCmOAmOB，APAB，则（ ） A 5 6 B 4 5 C 3 4 D 2 5 6如图，在平行四边形ABCD中，,M N分别为,AB AD上的点，且 4 5 AMAB， 2 3 ANAD，连接,AC MN交于P点，若APAC，则的值为（ ） A 3 5 B 3 7 C 4 11 D 4 13 7 已知是锐角， 向量 1 (sin, ) 2 a，(1,cos)b， 满足| |a ba b， 则为 （ ） A 12 B 3 C 6 D 4 8直线2x与双曲线 2 2 :1 4 x Cy的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上任意 一点，若( ,OPaO
4、AbOB a bOR为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ） A 22 2ab B 22 1 2 ab C 22 2ab D 22 1 2 ab 二、填空题 9在矩形ABCD中，| 2AB ，| 4BC ，则|CBCADC 10 设D为ABC所在平面内一点，4BCCD， 若 24 ADABAC ， 则 三、解答题 11如图ABC中，D为BC的中点，2 13AB ，4AC ，3AD （1）求边BC的长； （2）点E在边AB上，若CE是BCA的角平分线，求BCE的面积 12已知向量a，b满足 ( 2sin , 6sin() 4 xx a， (cos , 2cos() 4 xxb，函数 ( )()
5、f xxRa b （1）求( )f x的单调区间； （2）已知数列 2 11 ()(*) 224 n n an fnN，求 n a的前2n项和为 2n S 13直线l与椭圆 22 22 1(0) yx ab ab 交于 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy两点，已知 11 (,)ax bym， 22 (,)ax byn，若椭圆的离心率 3 2 e ，又经过点 3 (,1) 2 ，O为坐标 原点 （1）求椭圆的方程； （2）当mn时，试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是， 请说明理由 例 1：【答案】梯形 【解析】2453822( 4)ADABBCCD abab
6、ababab， 所以2ADBC，即ADBC，且2ADBC， 所以，四边形ABCD是梯形 例 2：【答案】D 【解析】因为 2ACCB ，所以2OCOAOBOC， 整理得到 12 33 OCOAOB，所以 1 3 ， 2 3 ， 119 2 ，故选 D 例 3：【答案】 3 10 【解析】向量(2,sin )a，(cos , 1)b， 若ab，则2cossin0 a b，故tan2， 故 22 22 111 cossin sin()cos()sin(2)cos2 442222 cossi n 2 2 1 1 tan1 1 43 2 1tan2 1 410 一、选择题 1【答案】D 【解析】2BD
7、DC，2()ADABACAD， 12 33 ADABAC 2【答案】C 【解析】由题意可得 11114 () 22223 AEADABBDABBC， 注意到BCACAB，故 1212 () 2363 AEABACABABAC ， 1 6 3【答案】B 【解析】菱形ABCD的边长为2，120ABC，2ABBDAD， E为AB的中点， 1 2 DEDAAB，ACADAB， 22111 422 2 cos603 222 DE ACADABAB AD 4【答案】A 【解析】在平行四边形ABCD中，AB a，AD b，3ANNC，M为BC的中点， 1111111 2424444 MNMCCNADCAAD
8、CDDAADAB 11 44 ba 5【答案】C 【解析】由APOPOA，且OP与OC共线， 存在实数，使(3)OPOCmOAmOB， APAB，(3)()mOAmOBOAOBOA， 即 1 3 m m ，解得 3 4 ，故选 C 6【答案】C 【解析】 4 5 AMAB， 2 3 ANAD， 5353 4242 ()APACABADAMANAMAN， 三点,M N P共线， 53 1 42 ， 4 11 7【答案】D 【解析】由| |a ba b，可得ab，则 1 sincos 2 ，即sin21， 又是锐角， 4 8【答案】B 【解析】由题意，(2,1)A，(2, 1)B 设( , )P
9、x y，则OPaOA bOB，22xab，yab P为双曲线C上的任意一点， 2 2 (22 ) ()1 4 ab ab ， 41ab， 1 4 ab ， 22 1 2 2 abab 二、填空题 9【答案】4 5 【解析】在矩形ABCD中，2CBCADCCA， 22 | 2| 2 244 5CBCADCCA 10【答案】 9 2 【解析】如图所示，由4BCCD可知，B、C、D三点在同一直线上，如图： 根据题意及图形， 可得 1115 () 4444 ADACCDACBCACACABABAC 24 ADABAC ， 1 24 5 44 ，解得 1 2 5 ， 则 9 2 三、解答题 11【答案】
10、（1）10；（2） 60 7 【解析】（1）D为BC中点，2ABACAD， 2 2 ()4ABACAD， 解得16AB AC ， 又BCACAB， 2 ()10BCACAB （2）由（1）可知5DC ，3AD ，4AC ，ADC为直角三角形， 所以 1 4 36 2 ADC S ，212 ABCADC SS ， 因为CE是BCA的角平分线，所以 1 sin 42 2 1 105 sin 2 ACE BCE ACCEACE SAC SBC BCCEBCE ， 所以 27 12 55 ABCBCEACEBCEBCEBCE SSSSSS ，所以 60 7 BCE S 12【答案】（1）见解析；（2）
11、 2 2 22nn 【解析】（1）函数 2 ( )sin23cos22sin(2) 3 f xxxx a b， 由 2 22 232 kxk ，可得 7 1212 kxk，kZ， 解得( )f x的单调增区间为 7 , 1212 kk，kZ； 同理可解得单调减区间为 5 , 1212 kk，kZ （2） 22212 11 ()2sin( )2cos ( 1)2 2244 n n n an fnnnnn ， 所以 222222 2 21234(21)(2) n Snn， 又 22 (21)(2 )41nnn ， 2 2( 3)( 7)( 11)( 41) n Sn ， 所以 2 2 ( 341)
12、 22 22 2 n nn Snn 13【答案】（1） 2 2 1 4 y x；（2）AOB的面积是定值，定值为1，证明见解析 【解析】（1） 22 22 3 2 13 1 4 cab e aa ab ，2a，1b， 椭圆的方程为 2 2 1 4 y x （2）当直线AB斜率不存在时，即 12 xx， 12 yy ， 由已知0m n，得 2222 1111 404xyyx， 又 11 ( ,)A x y在椭圆上，所以 2 2 1 11 42 1| 42 x xx ， 1 |2y ， 11211 11 |2| 1 22 Sxyyxy，三角形的面积为定值； 当直线AB斜率存在时：设AB的方程为ykxt， 222 2 2 (4)240 1 4 ykxt kxktxt y x ， 必须0，即 2 222 44(4)(4)0k tkt，得到 12 2 2 4 kt xx k ， 2 12 2 4 4 t x x k ， mn， 12121212 404()()0 x xy yx xkxt kxt， 代入整理得 22 24tk， 222 2 1212 2 2 1| |1| |44164 | |()41 2242| | 1 ttktt SABtxxx x kt k ， 所以三角形的面积为定值
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