1、 例 1：已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，点A，B， 2 F分别为椭圆的右顶点，上顶点和右焦点， 且 2 3 1 2 ABF S （1）求椭圆C的方程； （2）E，F是椭圆上的两个动点，若直线AE与直线AF的斜率之和为1，证明，直线EF恒过定点 例 2：已知双曲线 2 2 :1(0) y C xb b 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P是双曲线C上的任意一点，过点P作 双曲线C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，若四边形PAOB（O为坐标原点）的面积 为 3 2 ，且 12 0PF PF，则点P的纵坐标的取值范围是（ ） A
2、 22 (,) 22 B 33 (,) 22 C( 1,1) D 3 3 (, ) 2 2 一、解答题 1已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的一个焦点与抛物线 2 4 3yx的焦点重合，且直线 b yx a 与圆 22 10200 xyx相切 （1）求椭圆C的方程； （2） 设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点， 直线OA，OB的斜率分别为 1 k， 2 k，若 1 k，k， 2 k成等比数列，推断 22 |OAOB是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由 2、圆锥曲线的最值和范围问题 1、圆锥曲线的定点定值问题 圆锥圆锥曲线综合曲线综合
3、 2已知双曲线 1 C的渐近线方程为 3 2 yx ，且过点(2,3 2)P，椭圆 2 C以双曲线 1 C的虚轴为长轴，且椭圆 2 C的 离心率为 1 2 （1）求双曲线 1 C和椭圆 2 C的标准方程； （2）直线: l ykxm与椭圆 2 C交于A，B两点，求AOB的面积S的最大值 3已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的离心率为 3 2 ，左、右焦点分别是 1 F、 2 F，以 1 F为圆心、3为半径的圆 与以 2 F为圆心、1为半径的圆相交，交点在椭圆C上 （1）求椭圆C的方程； （2）直线(1)yk x(0)k 与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点， 直线A
4、M与直线BM分别与y轴交于点PQ，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐 标；若不是，说明理由 4已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 2 2 ，过左焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆C于P，Q 两点，且|2 2PQ （1）求C的方程； （2） 若直线l是圆 22 8xy上的点(2,2)处的切线， 点M是直线l上任一点， 过点M作椭圆C的切线MA，MB， 切点分别为A，B，设切线的斜率都存在求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标 5如图，O为坐标原点，椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 12 ,F F，离心率为 1 e，双曲线
5、 22 2 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 3 F， 4 F，离心率为 2 e，已知 1 2 2 2 3 e e ， 14 | 22FF （1）求 1 C， 2 C的方程； （2）过 1 F作 1 C的不垂直于y轴的弦AB，M为弦AB的中点，当直线OM与 2 C交于P，Q两点时，求四边形 APBQ面积的最小值 例 1：【答案】（1） 2 2 1 4 x y；（2）证明见解析 【解析】（1）由题意得 3 2 c e a ， 又 2 2 113 |()1 222 ABF SAFbac b ，且 222 abc ， 由可得2a，1b， 3c ， 椭圆C的方程为 2 2
6、1 4 x y （2）设 11 ( ,)E x y， 22 (,)F xy， 若 12 xx，则直线AE与直线AF的斜率之和等于0，与题意不符， 可设直线EF方程为ykxb， 由 2 2 1 4 x y ykxb ，消去y可得 222 (41)8440kxkbxb， 222 (8)4(41)(44)0kbkb，化简得 22 410kb ， 由韦达定理可得 12 2 8 41 kb xx k ， 2 12 2 44 41 b x x k ， 由题意可得 12 12 1 22 yy xx ，即 12 12 1 22 kxbkxb xx ， 1212 (21)(22 )()440kx xbk xxb
7、， 即 2 22 448 (21)(22 )440 4141 bkb kbkb kk ， 化简可得(2)(21)0kbkb，2bk或21bk 当2bk时，直线EF的方程为2(2)ykxkk x，恒过定点(2,0)，经检验，不合题意，舍去； 当21bk时，直线EF的方程为21(2) 1ykxkk x ，恒过定点(2, 1) 综上直线EF恒过定点(2, 1) 例 2：【答案】D 【解析】由题意可知，四边形PAOB为平行四边形，且不妨设双曲线C的渐近线为OA：ybx，OB：ybx ， 设点( , )P m n，则直线PB方程为()ynb xm，且点P到直线OB的距离 2 1 bmn d b 由 ()
8、 ybx ynb xm ，解得 2 2 bmn x b nbm y ，(,) 22 bmn nbm B b ， 222 2 ()()1 442 bmnnbmb OBbmn bb ， 设四边形PAOB的面积为S，则 222 2 b mn SOB d b ， 又 2 2 2 1 n m b ， 2222 b mnb ， 3 22 b S ， 3b ， 双曲线C的标准方程为 2 1 3 y x， 1( 2,0) F ， 2(2,0) F， 1 ( 2,)PFmn ， 2 (2,)PFmn， 22 12 40PF PFmn， 又 2 2 1 3 n m ， 2 2 140 3 n n，解得 33 22
9、 n，故选 D 一、解答题 1【答案】（1） 2 2 1 4 x y；（2） 22 |OAOB为定值5，理由见解析 【解析】（1）因为抛物线 2 4 3yx的焦点为( 3,0)，则3c ，所以 22 3ab 因为直线0bxay与圆 22 (5)5xy相切，则 22 5 5 b ba ， 即 22 4ab ，解得 2 4a ， 2 1b ， 所以椭圆C的方程是 2 2 1 4 x y （2）设直线l的方程为ykxm(0)m ，点 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 将直线l的方程代入椭圆方程，得 22 4()4xkxm， 即 222 (41)8440kxkmxm， 则 12 2
10、8 41 km xx k ， 2 12 2 44 41 m x x k 由已知， 2 1212 12 1212 ()()y ykxm kxm kk k x xx x ， 即 2 1212 ()()k x xkxm kxm，即 2 12 ()0km xxm， 所以 22 2 2 8 0 41 k m m k ，即 22 (1 4)0km 因为0m，则 2 1 4 k ，即 1 2 k ， 从而 12 2xxm ， 2 12 22x xm 所以 2222222222 11221122 |()()OAOBxyxyxkxmxkxm 2222 1212 (1)()2()2kxxkm xxm 222 12
11、1212 (1)()22()2kxxx xkm xxm 2222 5 42(22)225 4 mmmm为定值 2【答案】（1） 22 1: 1 94 yx C， 22 2: 1 43 xy C；（2）3 【解析】（1）由题意设双曲线 1 C的方程为 22 49 xy (0) 双曲线 1 C过点 (2,3 2)P， 22 2(3 2) 49 ，1， 双曲线 1 C的标准方程为 22 1 94 yx ； 设椭圆 2 C的方程为 22 22 1 xy ab (0)ab，且 2a， 又 1 2 e ，1c， 22 3bac ， 椭圆 2 C的标准方程为 22 1 43 xy （2）由 22 1 43
12、ykxm xy ，得 222 (34)84120kxkmxm 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy 22222 (8)4(34)(412)48(34)0kmkmmk ， 12 2 8 34 km xx k ， 2 12 2 412 34 m x x k 点O到直线l的直线 2 | 1 m d k ， 2 12 2 11| |1| 22 1 OAB m SAB dkxx k 2 2 12 22 118412 | |()4| 223434 kmm xxmm kk 22222 222 (9 123)9 123 2| 2 (34)34 km mkm m kk 222 2 (9 123)
13、32 343 kmm k 222 2 (9 123)3 223 2 3 34233 kmm k ， 当且仅当 222 9 1233kmm ，即 22 3 2 2 mk时，取等号， AOB S的最大值为 3 3【答案】（1） 2 2 1 4 x y；（2）过定点(3,0)，理由见解析 【解析】（1）由题意知24a，则2a 又 3 2 c a ， 222 acb ，可得1b， 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点 由 2 2 (1) 1 4 yk x x y ，得 2222 (1 4)8440kxk xk， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B
14、 xy，则有 2 12 2 8 14 k xx k ， 2 12 2 44 14 k x x k 又点M是椭圆C的右顶点，点(2,0)M 由题意可知直线AM的方程为 1 1 (2) 2 y yx x ，故点 1 1 2 (0,) 2 y P x 直线BM的方程为 2 2 (2) 2 y yx x ，故点 2 2 2 (0,) 2 y Q x 若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点 0 (,0)N x，则等价于 0PN QN恒成立 又 1 0 1 2 (,) 2 y PNx x ， 2 0 2 2 (,) 2 y QNx x ， 22 1212 00 1212 224 0 12(2)(2) yyy
15、 y PN QNxx xxxx 恒成立， 又 222 121212 222 4484 (2)(2)2()424 1 41 41 4 kkk xxx xxx kkk ， 222 22 12121212 222 4483 (1) (1)() 1(1) 1 41 41 4 kkk y yk xk xkx xxxk kkk ， 2 2 222 12 0002 12 2 12 4 1 4 30 4(2)(2) 1 4 k y y k xxx kxx k ，解得 0 3x ， 故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点(3,0) 4【答案】（1） 22 1 84 xy ；（2）直线AB恒过定点(2,1)，理由见
16、解析 【解析】（1）由已知，设椭圆C的方程为 22 22 1 xy ab (0)ab， 因为|2 2PQ ，不妨设点(, 2)Pc，代入椭圆方程得 2 22 2 1 c ab ， 又因为 2 2 c e a ，所以 2 12 1 2b ，bc， 所以 2 4b ， 22 28ab ， 所以C的方程为 22 1 84 xy （2）依题设，得直线l的方程为2(2)yx ，即40 xy， 设 00 (,)M xy， 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 由切线MA的斜率存在，设其方程为 11 ()yyk xx， 联立 11 22 () 1 84 yyk xx xy ，得 222 111
17、1 (21)4 ()2()80kxk ykx xykx， 由相切得 2222 1111 16()8(21)()40kykxkykx， 化简得 22 11 ()84ykxk，即 222 1111 (8)240 xkx y ky， 因为方程只有一解，所以 11111 22 111 822 x yx yx k xyy ， 所以切线MA的方程为 1 11 1 () 2 x yyxx y ，即 11 28x xy y， 同理，切线MB的方程为 22 28x xy y， 又因为两切线都经过点 00 (,)M xy，所以 1010 2020 28 28 x xy y x xy y ， 所以直线AB的方程为
18、00 28x xy y， 又 00 4xy，所以直线AB的方程可化为 00 2(4)8x xxy， 即 0( 2 )880 x xyy ， 令 20 880 xy y ，得 2, 1 x y ，所以直线AB恒过定点(2,1) 5【答案】（1） 2 2 1: 1 3 x Cy， 2 2 2: 1 3 x Cy；（2）2 2 【解析】（1） 1 2 2 2 3 e e ， 2222 2 2 3 abab aa ， 444 8 9 aba，即 22 3ab ， 1( 2 ,0)Fb， 4(2 ,0) Fb， 14 |2222FFbb， 1b， 3a ， 1 C的方程为 2 2 1 3 x y， 2
19、C的方程为 2 2 1 3 x y （2）依题意，直线AB的方程可设为1xmy， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，由 2 2 1 1 3 xmy x y ，消去y可得 22 (3)220mymy， 12 2 2 3 m yy m ， 12 2 2 3 y y m ， 1212 2 6 ()2 3 xxm yy m ， AB中点坐标为 22 3 (,) 33 m mm ， 直线PQ的方程为 3 m yx ， 由 2 2 3 1 3 m yx x y ，消去y可得 22 (3)9mx， 2 30m 且 2 2 9 3 x m ， 2 2 2 3 m y m ， 2 22 2
20、9 | 22 3 m PQxy m ， 设A到直线PQ的距离为d，则B到直线PQ的距离也为d， 1122 2 |3|3| 2 9 mxymxy d m ， 1122 (3 )(3)0mxymxy， 2 1122121212 222 |33|()3()|(3)| 2 999 mxymxym xxyymyy d mmm ， 又 22 2 121212 2222 482 32 |()4 (3)33 mm yyyyy y mmm ， 2 2 2 32 2 9 m d m ， 四边形APBQ的面积 22 22 2 1192 325 | 222 31 2233 9 mm SPQd mm m ， 当0m时，S取得最小值，且 min 2 2S， 即四边形APBQ面积的最小值为2 2
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