1、镇江市六校2021届高三第一学期期中教学质量检测镇江市六校2021届高三第一学期期中教学质量检测 数学试卷数学试卷 注意事项: 1.答卷前， 考生务必将自己的姓名、 考生号等填写在答题卡和试看指定位置上. 2.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦 干净后， 再选涂其他答案标号.回答非选择题时， 将答案写在答题卡上.写在本试上无效. 3.考试结束后， 将本试卷和答题卡井交回. 一、 选择题:本题共8小题， 每小题5分， 共40分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求 的. 1.在复平面内， 复数 5i 3-4i (i为虚
2、数单位)对应的点的坐标为 () A. (3,4) B.(-4,3) C.( 4 5 ,- 3 5 ) D.(- 4 5 , 3 5 ) 【答案】 D 2. 已知集合A=-1,0,1 ,B=yy=3x-2x+1,xZ ,则AB= () A.-1,0,1 B. -1,1 C.-1,0 D.0,1 【答案】 B 3.已知点P(-1,3tan 5 6 )是角终边上一点， 则cos的值为 () A. 1 2 B. 3 2 C.- 1 2 D.- 3 2 【答案】 C 4.在边长为2的等边ABC中， BD= DC, AP= PD,则 BP AC的值为 () A.-1 B.- 1 2 C.1 D. 5 2
3、【答案】 B 5.将甲、 乙、 丙、 丁四位辅导老师分配到 A、 B、 C、 D四个班级， 每个班级一位老师， 且甲不能分配到 A班， 丁不能分配到 B班， 则共有分配方案的种数为 () A.10 B.12 C.14 D.24 【答案】 D 6.直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在同一球面上， 且AB=AC=2,BAC=90， AA1=4 2,则该 球的表面积为 () A.40 B.32 C.10 D.8 【答案】 A 7. 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 第九章 “勾股”， 讲速了“勾股定理”及一些应用 . 直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”， 且“勾
4、 2+股2=弦2”.设直线l交抛物线y= 1 4 x2于 A,B 两点, 若OA ,OB 怡好是 RtOAB 的 “ 勾 ”“ 股 ”(O 为坐标原点 )， 则此直线 l 恒过定点 () A.( 1 4 ,0) B.( 1 2 ,0) C.(0,2) D.(0,4) 【答案】 D 1 8.己知函数f(x)=-x2-8x-5， g(x)= ex+ex ex ， 实数m,n满足mn0,若x1m,n,x2(0,+ )， 使得f(x1)=g(x2)成立， 则n-m的最大值为 () A.7 B.6 C.2 5 D.2 3 【答案】 B 二、 多项选择题(本大题共4小题， 每小题5分， 共20分.在每小题
5、给出的四个选项中， 有多项符合题目要 求， 全部选对的得5分， 部分选对的得3分， 有选错的得0分) 9.设,为两个平面， 则下列条件中是“”成立的必要不充分条件有 () A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. ,垂直于同一平面 D. ,平行于同一平面 【答案】 AC 10.下列条件能使loga3a0 B.1ab0 C.b 1 a 1 D.1 1 a 1 b 0 【答案】 BC 11.在ABC中， 角A,B,C 的对边分别为a,b,c.则下列结论中正确的是 () A.若acosA=bcosB, 则ABC一定是等腰三角形 B.若cosAcosB， 则sinAcosA+co
6、sB+cosC D.若ABC是钝角三角形， 则tanAtanB+tanBtanC+tanCtanAb0),以原点为圆心， 半径为椭圆 C的半焦距的圆恰与椭圆四个顶点围成 的四边形的四边都相切， 则桃圆C的离心率为 . 【答案】 e= 5 -1 2 16.已知函数f(x)=x3-3x在x(5-m2,m-1)的值城为a,b(ba), 则实数m的取值范围为 . 2 【答案】 ( 6, 7 四、 解答题:本题共6小题， 共70分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17. (10分)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a5=12,S4=4S2， ()求数列an的通项公式an及Sn； (2
7、)若bn= an+1 SnSn+1 ,求数列bn的前n项和Tn. 【解析】 解： (1)设公差为d则 2a1+5d=12 4a1+6d=4(2a1+d) a1=1 d=2 an=2n-1Sn=1+2+2n-1= (1+2n-1n) 2 =n2 (2)由(1)知: bn= -2n+1 n2n+1 2 bn= -2n+1 n2n+1 2 = 1 n2 - 1 n+1 2 Tn= 3 1222 + 5 2232 + 2n+1 n2(n+1)2 =(1- 1 22 )+( 1 22 - 1 32 )+( 1 n2 - 1 (n+1)2 ) =1- 1 (n+1)2 18.(12分)2a-b=2ccos
8、BS= 3 4 (a2+b2-c2) 3sin(A+B)=1+2sin2 C 2 三个条件中选一个， 补充在下面的横线处， 然后解答问题 在ABC中， 角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设ABC的面机为S， 已知 . (1)求角C的值； (2)若b=4， 点D在边AB上， CD为ACB的平分线， CDB的面积为 2 3 3， 求边长a的值. (注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答积分) 【解析】 解(1)选2a-b=2ccosB 由正弦定理: 2sinA-sinB=2sinCcosB 2sinB+C -sinB=2sinCcosB2sinBcosC+2cosBsinC-sinB=
9、2sinCcosB 2sinBcosC-sinB=0ABC中sinB0cosC= 1 2 C(0,)C= 3 (2)设CD=x因为CD为ACB的平分线， ACD=BCD= 6 由SACD+SBCD=SABC 1 2 4xsin 6 + 1 2 axsin= 1 2 4x+ax=4 3a 又SBCD= 1 2 axsin 6 = 2 3 3 即: ax= 8 3 3 3a2-2a-8=0a=2 3 19. (12 分 ) 如图所示， 在三棱柱 ABC - A1B1C1中, 侧面 ABB1A1是矩形， AB = 2,AA1= 2 2,D 是 AA1的中点， BD与AB1交于O,且CO面ABB1A1
10、. (1)求证: BCAB1； (2)若OC=OA,求二面角D-BC-A的正弦值. 【解析】 解: (1)由于侧面ABB1A1是矩形， D是中点， 故tanAB1B= 2 2 ， tanABD= 2 2 ， 所以AB1B=ABD,又BAB1+AB1B=90 , 于是BAB1+ABD=90， BDAB1， 而CO面ABB1A,所以COAB1 AB1面BCD， 得到BCAB1 (2)如图， 建立空间直角坐标系， 则 A 0,- 2 3 3,0 ,B - 2 3 6,0,0 ,C 0,0, 2 3 3 ,D 6 3 ,0,0 , 可以计算出面ABC的一个法向量的坐标为 n1=(1, 2,- 2).
11、而平面BCD的一个法向量为 n2=(0， 1， 0) 则cos n1 n2 n1 n2 = 10 5 设二面角D-BC-A的大小为， sin= 15 5 20. （12 分） 标准的医用外科口罩分三层， 外层有防水作用， 可防止飞沫进入口罩里面， 中间层有过滤作 用， 对于直径小于5微米的颗粒阻隔率必须大于90%， 近口鼻的内层可以吸湿， 根据国家质量监督检验标 准， 过滤率是重要的参考标准， 为了监控某条口罩生产线的生产过程， 检验员每天从该生产线上随机抽 取10个口罩， 井检验过滤率。根据长期生产经验， 可以认为这条生产线正常状态下生产的口罩的过滤率 z服从正志分布N(,2) (1)假设生
12、产状态正常， 记X表示一天内抽取的10个口罩中过滤率小于-3的数量， 求P(X1)及X 的数学期望； (2)下面是检验员在一天内抽取的10个口罩的过滤率， 12345678910 0.93760.91210.94240.95720.95180.90580.92160.91710.96350.9268 经计算得 x = 1 10 10 i=1 xi= 0.9335， s = 1 10 10 i=1 (xi-x )2 0.0189( 其中 xi为抽取的第 i 个口罩的过滤率 ) 用样本平均 数x 作为 的估计值， 用样本标准差 s 作为 的估计值， 利用该正态分布， 求 P(z 0.9524) (
13、 精确到 0.0001) (附:若随机变量 X服从正态分布 N(,2),则P(- X+)=0.6826 P(-2 X+ 2)=0.9544 A B D A1 B1 C1 O C 4 P(-3X+3)=0.9974； 另:(0.9987100.9871) 【解析】 解： (1)抽取的10个口罩中过滤率在(-3,+3)之内的概率为: 0.9974 ， 所以过滤率小于-3的概率为: 1-0.9974 2 =0.0013. 所以过滤率大于等于-3的概率为: 1-0.0013=0.9987 P(X1)=1-PX=0 =1-0.9987101-0.9871=0.0129 又由题知:XB10,0.0013
14、EX =10.013. (2)依题:zN(,2)而=x =0.9335号s0. P(0.9335-0.0189+0.9335=0.01 即P0.9146z 0,b 0) 的焦距为 2 5， 且 过点A(2 2,-1)， 直线l与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)， 且l 分别交双曲线C的两条渐近线与M,N两点， O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程: (2)求证:MON面积为定值， 并求出该定值。 【解析】（1） 焦点坐标F1- 5,0 ,F2 5,0 ， 因为过点A(2 2,-1) 2a=AF1-AF2= (2 2 + 5)2+1 - (2 2 - 5)2+1 = 14+410 - 14-
15、410 =10 +2-10 +2=4 2a=4,a=2,b2=c2-a2=1 双曲线的方程为: x2 4 -y2=1 (2)设方程: y=kx+m y=kx+m x2 4 -y2=1 1-4k2x2-8kmx-4m2-4=0=64k2m2+161-4k2m2+1=0m2+1=4k2 双曲线的渐近线方程为y= x 2 由 y=kx+m y= 1 2 x x= 2m 1-2k y= m 1-2k ,由 y=kx+m y=- 1 2 x x=- 2m 1+2k y= m 1+2k , 方法1: 不妨设:M( 2m 1-2k , m 1-2k )N( -2m 1+2k , m 1+2k ) MN= (
16、 2m 1-2k + 2m 1+2k )+( m 1-2k - m 1+2k )2= 16m2(1+k2) (1-4k2)2 = 4 1+k2 m 原点到直线距离为: d= m 1+k2 5 SMON= 1 2 MN d= 1 2 4 1+k2 m m 1+k2 =2为定值 方法2: OM ON = ( 5m2 1-2k 2 ( 5m2 1+2k 2 = ( 25m4 1-4k2 2 =5 设MON=2由题tan= 1 2 sin= 4 5 SMON= 1 2 OM ON sin2=2为定值 方法3: y=kx+m, x2 4 -y2=0, 1-4k2x2-8mx-4m2=x1x2= -4m2
17、 1-4k2 =4 M x1, 1 2 x1,N x2,- 1 2 x2OA 0B = x2 1+ 1 4 x2 1 x2 2+ 1 4 x2 2= 5 4 xx1 2 2=5 (下同上) 22.已知函数f(x)= x-1 ex (1)若x2,求证:f(x)f(4-x)； (2)若函数F(x)=f(x)-a有两个零点工x1,x2(x1x2) (i)求实数a的范围: (ii)求证: f( x1+x2 2 )0. 【解析】 (1)证;令 gx =fx -f4-x gx = x-1 ex - 3-x e4-x x0 gx 在-， 2 递增， gx g2 =0 x2,fx 0,F(x)在-,2 递增，
18、 Fx 在2， + 递减 Fx max=F 2 = 1 e2 -ae (i)要使Fx 有两个零点， 则F2 0即a 1 e2 当a=0时: Fx 仅有一个零点x=1不符题意 当a0时: Fx 在-,2 递增， 至多有一个零点， 而Fx 0在2， + 恒成立， 无零点， 不符题意 下证0a 1 e2 有两个零点 F1 =-a0 6 因为Fx 图像连续不断， Fx 在-,2 有唯一的零点 0ae22F( 1 a )= 1 a -1 e 1 a -a= 1 a -1-ea 1 a e 1 a = 1 a (1- e 1 a 1 )-1 a2 e 1 a 1 a (1- e2 4 )-1 e 1 a 0可以证明: hx = ex x2 有最小值 e2 4 (x=2时) F( 1 a )0 因为Fx 图像连续不断， Fx 在(2,+)有唯一的零点 综上: fx =a 有两个不同的实根时: 0a 1 e2 (ii)由(i)知: x12x2 由(1) fx1f4-x1 fx1=fx2=afx2f(4-x1) 而当x(2,+)时fx = 2-x ex 4-x1 即： x1+x2 2 2f( x1+x2 2 )0 7
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