1、2019-2020 学年浙江省杭州十三中教育集团八年级（下）期中数学试卷学年浙江省杭州十三中教育集团八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）每小题只有一个正确答案分）每小题只有一个正确答案 1 （3 分）要使式子有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 2 （3 分）下面四个图标中，中心对称图形个数是（ ） A0 B1 个 C2 个 D3 个 3 （3 分）一组数据按从小到大排列为 2，4，6，x，14，15，若这组数据的中位数为 9，则 x 是（ ） A7 B9 C12 D13
2、4 （3 分）若 n 边形的内角和等于外角和的 3 倍，则边数 n 为（ ） An6 Bn7 Cn8 Dn9 5 （3 分）烹饪大赛的菜品的评价按味道，外形，色泽三个方面进行评价（评价的满分均为 100 分） ，三个 方面的重要性之比依次为 7：2：1某位厨师的菜所得的分数依次为 92 分、88 分、80 分，那么这位厨 师的最后得分是（ ） A90 分 B87 分 C89 分 D86 分 6 （3 分）如图所示，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 是对角线 AC 上的两点，当 E，F 满足下列哪个条件时，四边形 DEBF 不一定是平行四边形（ ） AOEOF BDEBF
3、 CADECBF DABECDF 7 （3 分）若关于 x 的方程 kx2x+30 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak12 Bk Ck12 且 k0 Dk且 k0 8 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+20（a0）有一根为 x2019，则一元二次方程 a（x1） 2+b （x1）2 必有一根为（ ） A2017 B2020 C2019 D2018 9 （3 分）一次函数 ykx+k 与反比例函数 y（k0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 10 （3 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在 AD 和 AB 上，依次连接 EB、EC、FC、FD，阴
4、影部分面 积分别为 S1，S2，S3，S4，已知 S13，S215，S34，则 S4的值是（ ） A8 B14 C16 D22 二、认真填一填（本题有二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）要认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量分）要认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量 完整的填写答案完整的填写答案. 11 （4 分）化简： 12 （4 分）若 n 边形的每一个外角都等于 30，则 n 13（4 分） 一组数据 x1， x2， x3， ， xn的平均数为 5， 则数据 x1+5， x2+5， x3+5， ， xn+5 的平均数是 14 （4 分
5、）在ABCD 中，A 的平分线分 BC 成 4cm 和 3cm 的两条线段，则ABCD 的周长为 15（4 分） 直线 yax （a0） 与双曲线 y相交于 A （x1， y1） ， B （x2， y2） 两点， 则 x1y2+x2y1的值为 16 （4 分）如图，反比例函数 y（x0） ，OAB 和BCD 均为等腰直角三角形，点 D 在反比例函数 图象上，若 SOABSBCD10，则 k 三三.解答题（本题有解答题（本题有 7 个小题，共个小题，共 66 分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目 有点困难，那么把
6、自已能写出的答案写出一部分也可以有点困难，那么把自已能写出的答案写出一部分也可以 17 （6 分）计算下列各式： （1）3+； （2） （）2+ 18 （8 分）解方程： （1）x28x90； （2）2x（x3）+x3 19 （8 分）如图，ABCD 中，E 为 BC 边上一点，且 ABAE （1）求证：ABCEAD； （2）若 AE 平分DAB，EAC25，求AED 的度数 20 （10 分）某校举办了一次趣味数学竞赛，满分 100 分，学生得分均为整数，达到成绩 60 分及以上为合 格，达到 90 分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分） 甲组：30，60，60，60
7、，60，60，70，90，90，100； 乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90 （1）以上成绩统计分析表如表： 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 68 a 376 30% 乙组 b c 90% 则表中 a ，b ，c （2）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你根据成绩的稳定性选一组同学代表学校参加复赛，你 会选择哪一组？并说明理由 21 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当ABC
8、 是直角三 角形时，求 k 的值 22 （12 分） 如图， 已知在平面直角坐标系中， O 是坐标原点， 点 A （2， 5） 在反比例函数 y1的图象上 一 次函数 y2x+b 的图象过点 A，且与反比例函数图象的另一交点为 B （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连结 OA 和 OB，求OAB 的面积； （3）根据图象直接写出 y1y2时，x 的取值范围 23 （12 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB4cm，AD2cm，C30点 P 以 2cm/s 的速度从顶点 A 出发沿折线 ABC 向点 C 运动，同时点 Q 以 1cm/s 的速度从顶点 A 出发沿折线 ADC 向点
9、 C 运 动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动设运动时间为 ts （1）求平行四边形 ABCD 的面积； （2）求当 t0.5s 时，APQ 的面积； （3）当APQ 的面积是平行四边形 ABCD 面积的时，求 t 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）每小题只有一个正确答案分）每小题只有一个正确答案 1 （3 分）要使式子有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 【分析】根据二次根式有意义的条件求解 【解答】解：式子有意义， x40， x4
10、故选：A 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数 2 （3 分）下面四个图标中，中心对称图形个数是（ ） A0 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图 形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案 【解答】解：根据中心对称图形的定义可知从左到右第 1 个图形和第三个图形是中心对称图形，第二和 第四个图形不是中心对称图形 故选：C 【点评】此题主要考查了中心对称图形，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重 合 3 （3 分）一组数据按从小到大排列为 2，
11、4，6，x，14，15，若这组数据的中位数为 9，则 x 是（ ） A7 B9 C12 D13 【分析】根据中位数为 9 和数据的个数，可求出 x 的值 【解答】解：由题意得， （6+x）29， 解得：x12， 故选：C 【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是关键 4 （3 分）若 n 边形的内角和等于外角和的 3 倍，则边数 n 为（ ） An6 Bn7 Cn8 Dn9 【分析】根据 n 边形的内角和等于外角和的 3 倍，可得方程 180（n2）3603，再解方程即可 【解答】解：由题意得：180（n2）3603， 解得：n8， 故选：C 【点评】此题主要考查了多边形
12、内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等 量关系，构建方程即可求解 5 （3 分）烹饪大赛的菜品的评价按味道，外形，色泽三个方面进行评价（评价的满分均为 100 分） ，三个 方面的重要性之比依次为 7：2：1某位厨师的菜所得的分数依次为 92 分、88 分、80 分，那么这位厨 师的最后得分是（ ） A90 分 B87 分 C89 分 D86 分 【分析】利用加权平均数的计算公式直接计算即可求得答案 【解答】解：这位厨师的最后得分为：90（分） 故选：A 【点评】考查了加权平均数的计算方法，解题的关键是牢记加权平均数的计算公式，难度不大 6 （3 分）如图所示，在ABC
13、D 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 是对角线 AC 上的两点，当 E，F 满足下列哪个条件时，四边形 DEBF 不一定是平行四边形（ ） AOEOF BDEBF CADECBF DABECDF 【分析】根据平行四边形的判定和题中选项，逐个进行判断即可 【解答】解：A、四边形 ABCD 是平行四边形， ODOB， 又OEOF 四边形 DEBF 是平行四边形能判定是平行四边形 B、DEBF，ODOB，缺少夹角相等不能利用全等判断出 OEOF 四边形 DEBF 不一定是平行四边形 C、在ADE 和CBF 中，ADECBF，ADBC，DAEBCF，ADECBF，AE CF，OEOF，故
14、C 能判定是平行四边形； D、同理ABECDF，AECF，OEOF，故 D 能判定是平行四边形 故选：B 【点评】本题需注意当大的平行四边形利用了对角线互相平分时，那么对角线是原平行四边形的一部分 的四边形要想判断是平行四边形一般应用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明 7 （3 分）若关于 x 的方程 kx2x+30 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak12 Bk Ck12 且 k0 Dk且 k0 【分析】由于 k 的取值不确定，故应分 k0（此时方程化简为一元一次方程）和 k0（此时方程为二元 一次方程）两种情况进行解答 【解答】解：当 k0 时，x+30，解得 x3， 当 k
15、0 时，方程 kx2x+30 是一元二次方程， 根据题意可得：14k30， 解得 k，k0， 综上 k， 故选：B 【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有 如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实 数根；当0 时，方程无实数根同时解答此题时要注意分 k0 和 k0 两种情况进行讨论 8 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+20（a0）有一根为 x2019，则一元二次方程 a（x1） 2+b （x1）2 必有一根为（ ） A2017 B2020 C2019 D2018 【分析】
16、对于一元二次方程 a（x1）2+b（x1）+20，设 tx1 得到 at2+bt+20，利用 at2+bt+2 0 有一个根为 t2019 得到 x12019，从而可判断一元二次方程 a（x1）2+b（x1）2 必有一 根为 x2020 【解答】解：对于一元二次方程 a（x1）2+b（x1）+20， 设 tx1， 所以 at2+bt+20， 而关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+20（a0）有一根为 x2019， 所以 at2+bt+20 有一个根为 t2019， 则 x12019， 解得 x2020， 所以一元二次方程 a（x1）2+b（x1）2 必有一根为 x2020 故选：B 【点评
17、】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程 的解 9 （3 分）一次函数 ykx+k 与反比例函数 y（k0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可 【解答】 解： A、 由反比例函数的图象在一、 三象限可知， k0， 一次函数 ykx+k 的图象经过一、 二、四象限，故本选项错误； B、 由反比例函数的图象在一、 三象限可知， k0， 一次函数 ykx+k 的图象经过一、 二、 四象限， 故本选项正确； C、 由反比例函数的图象在二、 四象限可知， k0， 一次函数 yk
18、x+k 的图象经过一、 三、 四象限， 故本选项错误； D、 由反比例函数的图象在一、 三象限可知， k0， 一次函数 ykx+k 的图象经过一、 二、 四象限， 故本选项错误 故选：B 【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判 断出 k 的符号，再根据一次函数的性质进行解答 10 （3 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在 AD 和 AB 上，依次连接 EB、EC、FC、FD，阴影部分面 积分别为 S1，S2，S3，S4，已知 S13，S215，S34，则 S4的值是（ ） A8 B14 C16 D22 【分析】阴影部分 S2是三角形
19、 CDF 与三角形 CBE 的公共部分，而 S1，S4，S3这三块是平行四边形中没 有被三角形 CDF 与三角形 CBE 盖住的部分，故CDF 面积+CBE 面积+（S1+S4+S3）S2平行四边 形 ABCD 的面积，而CDF 与CBE 的面积都是平行四边形 ABCD 面积的一半，据此求得 S4的值 【解答】解：设平行四边形的面积为 S，则 SCBESCDFS， 由图形可知，CDF 面积+CBE 面积+（S1+S4+S3）S2平行四边形 ABCD 的面积， SSCBE+SCDF+3+S4+415， 即 SS+S+3+S4+415， 解得 S48， 故选：A 【点评】本题考查了平行四边形的性质
20、，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边 形 ABCD 的面积CDF 面积+CBE 面积+（S1+S4+S3）S2 二、认真填一填（本题有二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）要认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量分）要认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量 完整的填写答案完整的填写答案. 11 （4 分）化简： + 【分析】把分子分母都乘以+，然后利用平方差公式计算 【解答】解：原式 故答案为+ 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二 次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能
21、事半功倍 12 （4 分）若 n 边形的每一个外角都等于 30，则 n 12 【分析】根据任何多边形的外角和都是 360 度，利用 360 除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个 数，即多边形的边数 n 【解答】解：多边形的边数 n：3603012， 则 n12 故答案为：12 【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边 数，是常见的题目，需要熟练掌握 13（4 分） 一组数据 x1， x2， x3， ， xn的平均数为 5， 则数据 x1+5， x2+5， x3+5， ， xn+5 的平均数是 10 【分析】根据平均数的性质知，要求 x1+5
22、，x2+5，x3+5，xn+5 的平均数，只要把数 x1，x2，x3， xn的和表示出即可 【解答】解：x1，x2，x3，xn的平均数为 5 x1+x2+x3+xn5n， x1+5，x2+5，x3+5，xn+5 的平均数为： （x1+5+x2+5+x3+5+xn+5）n （5n+5n）n 10， 故答案为：10 【点评】本题考查的是算术平均数的求法解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平 均数 14 （4 分）在ABCD 中，A 的平分线分 BC 成 4cm 和 3cm 的两条线段，则ABCD 的周长为 22cm 或 20cm 【分析】A 的平分线分 BC 成 4cm 和 3cm
23、的两条线段，设A 的平分线交 BC 于 E 点，有两种可能， BE4 或 3，证明ABE 是等腰三角形，分别求周长 【解答】解：设A 的平分线交 BC 于 E 点， ADBC， BEADAE， 又BAEDAE， BEABAE ABBE而 BC3+47 当 BE4 时，ABBE4，ABCD 的周长2（AB+BC）2（4+7）22； 当 BE3 时，ABBE3，ABCD 的周长2（AB+BC）2（3+7）20 所以ABCD 的周长为 22cm 或 20cm 故答案为 22cm 或 20cm 【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题平行四边形基本性质： 平行四边形两组对边分别平行； 平
24、行四边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分 15 （4 分）直线 yax（a0）与双曲线 y相交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，则 x1y2+x2y1的值为 6 【分析】先根据点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是双曲线 y上的点可得出 x1y1x2y23，再根据直线 ykx（k0）与双曲线 y交于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点可得出 x1x2，y1y2，再把此 关系代入所求代数式进行计算即可 【解答】解：点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是双曲线 y上的点， x1y1x2y23， 直线 ykx（k0）与双曲线
25、 y交于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点， x1x2，y1y2， 原式x1y1x2y2336 故答案为：6 【点评】本题考查的是反比例函数的对称性，根据反比例函数的图象关于原点对称得出 x1x2，y1 y2是解答此题的关键 16 （4 分）如图，反比例函数 y（x0） ，OAB 和BCD 均为等腰直角三角形，点 D 在反比例函数 图象上，若 SOABSBCD10，则 k 20 【分析】根据题意列式表示出 D 点的坐标，然后在根据 k 的几何意义即可求出答案 【解答】解：设 AOa，CDb， OAB 和BCD 均为等腰直角三角形， AOABa，BOa， CDBCb，DBb， D（ab
26、，ab） ， 点 D 在反比例函数图象上， （ab） （ab）k，即 b2a2k， 又SOABSBCD10，即， k20， k20 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，属于基础题 三三.解答题（本题有解答题（本题有 7 个小题，共个小题，共 66 分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目 有点困难，那么把自已能写出的答案写出一部分也可以有点困难，那么把自已能写出的答案写出一部分也可以 17 （6 分）计算下列各式： （1）3+； （2） （）2+ 【分析】 （1）先利用二次根式的乘法法则运算，然后把二
27、次根式化为最简二次根式后合并即可； （2）利用完全平方公式计算 【解答】解： （1）原式66+ ； （2）原式22+3+2 5 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除 运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰 当的解题途径，往往能事半功倍 18 （8 分）解方程： （1）x28x90； （2）2x（x3）+x3 【分析】 （1）方程利用因式分解法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可 【解答】解： （1）分解因式得： （x9） （x+1）0， 可得 x90 或 x+10， 解得
28、：x19，x21； （2）移项得：2x（x3）+（x3）0， 因式分解得： （x3） （2x+1）0， 可得 x30 或 2x+10， 解得：x13，x2 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 19 （8 分）如图，ABCD 中，E 为 BC 边上一点，且 ABAE （1）求证：ABCEAD； （2）若 AE 平分DAB，EAC25，求AED 的度数 【分析】 （1）先证明BEAD，然后利用 SAS 可进行全等的证明； （2）证明ABE 为等边三角形，可得BAE60，求出BAC 的度数，即可得AED 的度数 【解答】 （1）证明：在平行四边形 ABC
29、D 中，ADBC，BCAD， EADAEB， 又ABAE， BAEB， BEAD， 在ABC 和EAD 中， ABCEAD（SAS） （2）解：AE 平分DAB， BAEDAE， BAEAEBB， ABE 为等边三角形， BAE60， BACBAE+EAC60+2585， ABCEAD， AEDBAC85 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题注意掌握平行四边形的对 边平行且相等的性质 20 （10 分）某校举办了一次趣味数学竞赛，满分 100 分，学生得分均为整数，达到成绩 60 分及以上为合 格，达到 90 分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（
30、单位：分） 甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100； 乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90 （1）以上成绩统计分析表如表： 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 68 a 376 30% 乙组 b c 90% 则表中 a 60 ，b 68 ，c 70 （2）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你根据成绩的稳定性选一组同学代表学校参加复赛，你 会选择哪一组？并说明理由 【分析】 （1）利用中位数的定义确定 a、c 的值，根据平均数的定义计算出 b 的值； （2）先计算出乙组成绩的方差，然后选择甲乙两组成绩的方差较小的一组 【解
31、答】解： （1）甲组学生成绩的中位数为60，即 a60； 乙组学生成绩的平均数为（50+360+470+80+90）68；乙组学生成绩的中位数为70， 即 b68，c70； （2）选择乙组 理由如下： 乙组学生成绩的方差为（5068）2+3（6068）2+4（7068）2+（8068）2+（9068）2116， 因为甲乙两组学生成绩的平均数相同，而乙组学生成绩的方差较小，成绩比较稳定，所以选择乙组 【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，稳定性也越小；反之， 则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好也考查了算术平均数和中位数、统计图 21 （10 分）已知关于 x
32、 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当ABC 是直角三 角形时，求 k 的值 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10，进而可证出方程有两个不相等的实数 根； （2）利用因式分解法可求出 AB，AC 的长，分 BC 为直角边及 BC 为斜边两种情况，利用勾股定理可得 出关于 k 的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出 k 值，取其正值（利用三角形的三边关系判定 其是否构成三角形）即可得出结论 【解答】 （1）证明：（2k+1）24（
33、k2+k）10， 方程有两个不相等的实数根 （2）解：x2（2k+1）x+k2+k0，即（xk）x（k+1）0， 解得：x1k，x2k+1 当 BC 为直角边时，k2+52（k+1）2， 解得：k12； 当 BC 为斜边时，k2+（k+1）252， 解得：k13，k24（不合题意，舍去） 答：k 的值为 12 或 3 【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，解题的关键是： （1）牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根” ； （2）利用勾股定理，找出关于 k 的方程 22 （12 分） 如图， 已知在平面直角坐标系中， O 是坐标原点， 点 A （2， 5） 在反比例函数 y
34、1的图象上 一 次函数 y2x+b 的图象过点 A，且与反比例函数图象的另一交点为 B （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连结 OA 和 OB，求OAB 的面积； （3）根据图象直接写出 y1y2时，x 的取值范围 【分析】 （1）只需把点 A 的坐标代入一次函数和反比例函数的解析式，就可解决问题； （2）只需求出直线 AB 与 y 轴的交点，然后运用割补法就可解决问题； （3）观察函数图象即可求解 【解答】解： （1）点 A（2，5）是直线 yx+b 与反比例函数 y的图象的一个交点， 52+b，k2510， b3， 即 k 和 b 的值分别为 10、3， 故反比例函数和一次函数
35、的解析式分别为 y1和 y2x+3； （2）解方程组，得， 点 B（5，2） 点 C 是直线 yx+3 与 y 轴的交点， 点 C（0，3） ， SOABSOAC+SOBC32+35， 即OAB 的面积为； （3）观察函数图象可知，y1y2时，x 的取值范围为：x5 或 0 x2 【点评】本题主要考查了直线与反比例函数图象上点的坐标特征、运用待定系数法求直线与反比例函数 的解析式、解方程组等知识，运用割补法是解决第（2）小题的关键 23 （12 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB4cm，AD2cm，C30点 P 以 2cm/s 的速度从顶点 A 出发沿折线 ABC 向点 C 运动，同时点
36、 Q 以 1cm/s 的速度从顶点 A 出发沿折线 ADC 向点 C 运 动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动设运动时间为 ts （1）求平行四边形 ABCD 的面积； （2）求当 t0.5s 时，APQ 的面积； （3）当APQ 的面积是平行四边形 ABCD 面积的时，求 t 的值 【分析】（1） 过点 B 作 BECD 于点 E， 由 30角所对的直角边等于斜边的一半， 得出平行四边形的高， 再按底乘以高，即可得解； （2）过点 Q 作 QMAP，分别计算出 t0.5s 时，AP，AQ 和 QM 的长，则按三角形面积公式计算即可； （3）分点 P 在线段 AB 上，点 Q
37、 在线段 AD 上和点 P 在线段 BC 上，点 Q 在线段 CD 上，两种情况计算 即可 【解答】解： （1）平行四边形 ABCD 中，AB4cm，AD2cm CDAB4cm，BCAD2cm 如图，过点 B 作 BECD 于点 E， C30 BEBC1cm 平行四边形 ABCD 的面积为：CDBE414（cm2） 答：平行四边形 ABCD 的面积为 4cm2 （2）当 t0.5s 时， AP20.51cm，AQ10.50.5cm 如图，过点 Q 作 QMAP 四边形 ABCD 为平行四边形， AC C30 A30 QMAQ0.5（cm） APQ 的面积为：APQM1（cm2） 答：当 t0.
38、5s 时，APQ 的面积为（cm2） （3）由（1）知平行四边形 ABCD 的面积为 4cm2 当APQ 的面积是平行四边形 ABCD 面积的时， APQ 的面积为：4（cm2） 当点 P 在线段 AB 上运动 t 秒时，点 Q 在 AD 上运动 t 秒，AP2tcm，AQtcm，高为cm 2t t（舍）或 t t时符合题意； 当点 P 运动到线段 BC 上时，且运动时间为 t 秒时，点 Q 也运动到线段 CD 上， 如图，过点 P 作 MN 垂直 CD 于点 M，垂直于 AB 延长线于点 N 四边形 ABCD 为平行四边形，C30， ABCD PBNC30 PNPB（2t4）（t2） （cm） ，PM1（t2）（3t） （cm） SAPQ44（t2）4（t2）1（t2）（t2）1 42t+4（6t） （3t）+1 化简得：t24t+30 （t1） （t3）0 t1（不符合题意，舍）或 t3 当 t3 时，点 P 位于点 C 处，点 Q 位于线段 CD 上，符合题意 综上，t 的值为或 3 【点评】本题考查了动点在平行四边形的边上运动所形成的三角形的面积的问题，数形结合，按照三角 形或平行四边形的面积公式计算，是解题的关键
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