1、侧面是曲面底面是圆面圆锥，: 侧面都是三角形底面是多边形棱锥 锥体 ，: 北师大版七年级数学上册知识点归纳汇总北师大版七年级数学上册知识点归纳汇总 第一章第一章 丰富的图形世界丰富的图形世界 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 2、几何图形是由点、线、面构成的。 几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。几何的表面有平面和曲面； 点：线与线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面与面相交得到线，分为直线和
2、曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面 体：几何体也简称体。 点动成线，线动成面，面动成体。 3、生活中的立体图形： 4、 球体：由球面围成的（球面是曲面） 圆柱：圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。 圆锥：圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。 5、棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱 。 6、侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱 ，所有侧棱长都相等。 7、棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。 8、N 棱柱有 2 个底面，N 个侧面，共有（N+2）个面，3N 条棱，N 条侧棱，2N 个顶点。 9、根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱
3、柱、六棱柱它们底面图形的形状分别 为三边形、四边形、五边形、六边形 10、长方体和正方体都是四棱柱。 11、正方体的平面展开图：11 种 12、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 用一个平面去截一个 N 面体，截出的面最多是 N 边形。 13、三视图： 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图：从正面看到的图，叫做主视图。 左视图：从左面看到的图，叫做左视图。 俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。 14、多边形：同一些不在同一条直线上的线段依次首尾相边组成的封闭平面图形，叫做多边形。 15、设一个多边形的边数为 n(n3，且 n 为整数
4、)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条；可以把 n 边形成(n-2) 个三角形；这个 n 边形共有 2 )3( nn 条对角线。 16、圆上两点之间的部分叫做弧 ，弧是一条曲线。 17、扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。 18、凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。 有理数 )3, 2, 1:( )3, 2, 1:( 如负整数 如正整数 整数)0(零 )8 . 4, 3 . 2, 3 1 , 2 1 :(如负分数 分数 )8 . 3, 3 . 5, 3 1 , 2 1 :(如正分数 第二章第二章 有理数及其运算有理数及其运算 1、有理数： (1)
5、凡能写成)0pq, p( p q 为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 有理数（rational number） ：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有 理数 注意：0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: 或 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 注：小数是分数。 (3)注意：有理数中，1、0、-1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域， 这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数 0 和正整数； a0 a 是正数； a0
6、 a 是负数； a0 a 是正数或 0 a 是非负数； a 0 a 是负数或 0 a 是非正数. 2、正数（position number） ：大于 0 的数叫做正数。 3、负数（negation number） ：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 4、比较两个有理数大小的方法有： (1)根据有理数在数轴上对应的点的位臵直接比较； (2)根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学 思想； (3)做差法：a-b0 ab; (4)做商法：a/b1，b0 ab. 5、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的
7、一个点来表 示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。 6、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（画数轴时，三者缺一不可） 。 7、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。 （反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） 8、倒数：如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1，0 没有倒数。 若 ab=1 a、b 互为倒数； 若 ab=-1 a、b 互为负倒数. 9、相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相 反数。 （0 的相反数是 0） (2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c；a
8、-b 的相反数是 b-a；a+b 的相反数是-a-b； (3)相反数的和为 0 a+b=0 a、b 互为相反数. (4)相反数的商为-1. (5)相反数的绝对值相等 10、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。 数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。 11、绝对值的定义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离。数 a 的绝对值记作|a|。 12、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0 的绝对值是 0。 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； )0( )0(0 )0( | aa a a
9、a a 或 )0( )0( | aa aa a 0a1 a a ； 0a1 a a ； |a|是重要的非负数，即|a|0； 13、绝对值的性质：除 0 外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除 0 外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|到以0 14、有理数的比较大小：正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数；数轴上两个点所表示的数，右边的 数总比左边的数大，两个负数绝对值大的反而小。 15、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： 0 -1 -2 -3 1 2 3 越来越大 先求出两个数负数的绝对值； 比较两个绝对值的
10、大小； 根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 16、绝对值的性质： （1）对任何有理数 a，都有|a|0 （2）若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 （3）若|a|=b，则 a= b （4）对任何有理数 a,都有|a|=|-a| （5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差， 绝对值越小，越接近标准。 等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1，-1 绝对值等于本身的数：正数和 0 平方等于本身的数：0,1 立方等于本身的数：0,1，-1. 17、有理数加法法则： 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，绝对值相等时和
11、为 0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 一个数同 0 相加，仍得这个数。 18、有理数的混合运算： （1）六种运算：加、减、乘、除、绝对值、乘方。 （2）运算顺序：先算乘方或绝对值，再算乘、除，最后算加减，如果有括号先算括号里面的，再算括号外 面的。 19、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 运算律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律： （a+b）+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律： （ab）c=a(bc) 乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac 20、灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律： 互为
12、相反的两个数，可以先相加； 符号相同的数，可以先相加； 分母相同的数，可以先相加； 几个数相加能得到整数，可以先相加。 21、有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 a-b=a+（-b）. 有理数减法运算时注意两“变”：改变运算符号； 改变减数的性质符号（变为相反数） 有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位臵不能变换，也就是说，减法没有交换律。 22、有理数的加减法混合运算的步骤： 写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省 略加号和括号； 利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。 （注意： 减去一个数等于加上这个数的相
13、反数， 当有减法统一成加法时， 减数应变成它本身的相反数。 ） 23、有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 任何数与 0 相乘，积仍为 0。 注：几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 24、如果两个数互为倒数，则它们的乘积为 1。 （如：-2 与 2 1 、 3 5 5 3 与等） 25、乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。 26、有理数乘法运算步骤：先确定积的符号；求出各因数的绝对值的积。 27、乘积为 1 的两个有理数互为倒数。 注意： 零没有倒数 求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位臵。一个带分数要先化
14、成假分数。 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 28、有理数除法法则： 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何非 0 的数都得 0。0 不可作为除数，否则无意义。 29、有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0 a . 30、有理数的乘方 an aaaa 个 n a 指数 底数 幂 （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）a2是重要的非负数，即 a20；若 a2+|b|=0 a=0,b=0； （4）据规律 10010 11 01. 01 . 0
15、2 2 2 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 注意：一个数可以看作是本身的一次方，如 5=51； 当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。 31、乘方的运算性质： 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 任何数的偶数次幂都是非负数； 1 的任何次幂都得 1，0 的任何次幂都得 0； -1 的偶次幂得 1；-1 的奇次幂得-1； 在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 32、有理数混合运算法则：先算乘方,再算乘除,最后算加减。 如果有括号,先算括号里面的。 第三章第三章 字母表示数字母表示数 1、代数式的概念： 用
16、运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式 。单独 的一个数或一个字母也是代数式。 注意：代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； 代数式中不含有“=、”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的 式子一般都是代数式； 代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意 义。 2、代数式的书写格式： 代数式中出现乘号，通常省略不写，如 vt； 数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如 4a； 带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如a 3 1 2应写作a 3 7 ； 数字与数字相乘，一
17、般仍用“”号，即“”号不省略； 在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如 4 （a-4）应写作 4 4 a ；注意：分数线具 有“”号和括号的双重作用。 在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子 的后面，如)( 22 ba 平方米 3、代数式的系数： 代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数 。如 3x,4y 的系数分别为 3，4。 注意：单个字母的系数是 1，如 a 的系数是 1； 只含字母因数的代数式的系数是 1 或-1，如-ab 的系数是-1。a3b 的系数是 1 4、代数式的项： 代数式726 2 xx表示 6x2、-2x、
18、-7 的和，6x2、-2x、-7 是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项 注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。 5、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 注意：判断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。这两 个条件缺一不可； 同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 几个常数项也是同类项。 6、合并同类项：把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律； 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 注意： 如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类
19、项后结果为 0； 不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上； 只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。 7、根据去括号法则去括号： 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“”号去掉， 括号里各项都改变符号。 8、根据分配律去括号： 括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“”号看成-1，根据乘法的分配律用+1 或-1 去乘括号里的每一项 以达到去括号的目的。 注意： 去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉； 去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“”号； 改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。 9、去（添）括
20、号法则： 去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要 变号. 整式的运算：去括号，合并同类项。 第四章第四章 平面图形及位置关系平面图形及位置关系 1、线段、射线、直线 线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段，线段有两个端点。 射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线，射线有一个端点。 （不能比较大小） 直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。 （不能比较大小） 2、点、直线、射线和线段的表示： 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的
21、大写字母表示。 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面） 。 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母表示。 3、正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线 AB(或 BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线 OM 1 个 无法度量 线段 线段 AB(或 BA) 线段 l 2 个 可度量长度 4、 直线的性质： 直线公理:经过两点有且只有一条直线. 过一点有无数条直线。 两个不同的直线至多有一个公共点。 直线上有无数个点。 经过两点有且只有一条直线。 两点之间的所有连线中，线段最短。 两
22、点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 。 直线是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 5、点、直线的位臵关系：点在直线上，或者说直线经过这个点。 点在直线外，或者说直线不经过这个点。 6、线段的性质： 线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。 两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 线段的中点到两端点的距离相等。 线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 7、线段的中点：点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点。 8、比较线段的长短 （1）线段公理:两点间线段最短;两之间线段的长度叫做这两点之间的距
23、离. （2）比较线段长短的两种方法: 圆规截取比较法; 刻度尺度量比较法. 9、 用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分; 用圆规可以画出线段的和、差、倍. 10、角的度量与表示 角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角; 这个公共端点叫做角的顶点; l BA MO l BA A O B B 终边 始边 1 4 这两条射线叫做角的边. 或，角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 如图 5 所示： 11、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边 成一条直线时，所成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又 和始边重合时，所形成的角叫做周角。如图 6 所示： 12、 角的表示法
24、：角的符号为“” 用三个大写字母表示，如图 1 所示AOB 用一个大写字母表示一个独立的角，如图 2 所示B 用一个数字表示，如图 3 所示1 用小写的希腊字母表示，如图 4 所示 注：用三个大写字母表示时，一定要把顶点字母写在中间， 边上的字母写在两边。 13、角的度量： 角的度量如下规定：把一个平角分成 180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“ ”表示，1 度记 作“1”，n 度记作“n”。 把 1 的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1” 把 1的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1” 1=60 1=60 14、角平分线：从一个角的顶点引出
25、的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平 分线 。 15、角的性质： （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 16、平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“”表示，如“ABCD”， 读作“AB 平行于 CD”。 注：平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。 当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。 平角 周角 17、平行线公理及其推论： 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条
26、直线互相平行。 补充平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行。 （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。 （3）平行线的定义。 18、垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们 的交点叫做垂足。 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足 。 直线 AB，CD 互相垂直，记作“ABCD”或“CDAB”，读作“AB 垂直于 CD”或 CD 垂直于 AB“。 19、垂线的性质： 性质 1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称：垂线段最短。 20、点到直线的距离：
27、过 A 点作 l 的垂线，垂足为 B 点，线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离。 如图所示，过点 C 作直线 AB 的垂线，垂足为 O 点， 线段 CO 的长度叫做点 C到直线AB 的距离 。 第五章第五章 一元一次方程一元一次方程 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 等式：用“=”号连接而成的式子叫等式. 2、在一个方程中，只含有一个未知数 x（元） ，并且未知数的最高次数是 1（次）的整式方程,这样的方程叫 做一元一次方程 。 一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a、b 是已知数，且 a0）. 3、方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。注意
28、：“方程的解就能代入”！ 4、等式的性质： （1）等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。 C A B O （2）等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数） ，所得结果仍是等式。 5、解方程的步骤：解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等几个步骤，把一个一元一次方程“转化”成 x=m 的形式。 6、列方程解应用题的常用公式： （1）行程问题： 距离=速度 时间 ； （2）工程问题： 工作量=工效 工时 ； （3）比率问题： 部分=全体 比率 ； （4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度
29、； （5）商品价格问题： 售价=定价 折 ，利润=售价-成本， ； （6）周长、面积、体积问题：C圆=2R，S圆=R2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a， S正方形=a2，S环形=(R2-r2),V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=R2h ，V圆锥= R2h. 第六章第六章 生活中的数据生活中的数据 1、科学记数法：一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a 10n的形式，其中 1a10，n 是正整数，这种记数 方法叫做科学记数法 。 2、扇形统计图及其画法： 扇形统计图：得用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的 不同部分
30、，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。 画法： （1）计算不同部队发占总体的百分比（在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的 扇形圆心角的度数与 360 的比） 。 （2）计算各个扇形的圆心角（顶点在圆心的角叫做圆心角）的度数。 （3）在圆中画出各个扇形，并标上百分比。 3、统计图的特点： 折线统计图：能够清晰地反映同一事物在不同时期的变化情况。 条形统计图：能够清晰地反映每个项目的具体数目及之间的大小关系。 扇形统计图：能够清晰地表示各部分在总体中所占的百分比及各部分之间的大小关系 4、统计图对统计的作用： （1）可以清晰有效地表达数据。 （2）可以对数据进行分析。 （3）可以获得许多的信息。 （4）可以帮助人们作出合理的决策。 第七章第七章 可能性可能性
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