1、 第 1 页 / 共 9 页 第第 60 讲：独立事件及随机变量的概率分布讲：独立事件及随机变量的概率分布 一、课程标准 1、 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握概率分布列的基本性质，会求一些简单的离散型随机 变量的概率分布列 2、理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 3、 理解随机变量的概率分布，掌握 01 分布，超几何分布的分布列，并能处理简单的实际问题 二、基础知识回顾 1. 事件的相互独立性 (1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)P(A)P(B)，那么称事件 A 与事件 B 相互独立 (2)性质： 若事件 A 与 B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(
2、B) 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B，A与 B，A与 B也相互独立 (3)独立重复试验：在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，在 n 次独立重复试验中， 事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(Xk)Cknpk()1p nk(k0，1，2，n) 2. 随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X，Y，表示 (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量 3. 离散型随机变量的概率分布及其性质 (1)一般地， 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， ， xi， ， xn， X 取每一个值 xi(i1，
3、2， ， n)的概率 P(Xxi)pi，则表 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的概率分布，有时为了表达简单，也用等式 P(Xxi) pi，i1，2，n 表示 X 的概率分布 (2)离散型随机变量概率分布的性质 pi0(i1，2，n)；p1p2pn1 4. 常见离散型随机变量的概率分布 (1)两点分布： 若随机变量 X 服从两点分布，即其概率分布为 X 0 1 P 1p p 其中 pP(X1)称为成功概率 (2)超几何分布： 第 2 页 / 共 9 页 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品
4、，则事件“Xr”发生的概率为 P(X r)C r MC nr NM CnN ，r0，1，2，m，其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN*，称分布列为超 几何分布 X 0 1 m P C0MCnNM CnN C1MMCn 1 NM CnN Cm MMC nm NM CnN (3)二项分布 XB(n，p)，记为 Cknpkqn kB(k；n，p) X 0 1 k n P C0np0qn C1np1qn 1 Cknpkqn k Cnnpnq0 5. 求概率分布的步骤 (1)明确随机变量 X 取哪些值； (2)求 X 取每一个值的概率； (3)列成表格 三、自主热身、归纳总结 1、某同学通
5、过英语听力测试的概率为1 2，他连续测试 n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于 0.9，那么 n 的最小值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2、 某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为5 6， 4 5， 3 5， 1 2， 只有通过前一关才能进入下一关， 其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率 为( ) A. 7 25 B. 2 5 C. 12 25 D. 14 25 3、某区要从参加扶贫攻坚任务的 5 名干部 A，B，C，D，E 中随机选取 2 人，赴区属的某贫困村进行驻村 扶贫工作，则 A 或 B 被选中的
6、概率是( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D. 7 10 4、(2019 武汉市调研测试)已知某口袋中装有 2 个红球，3 个白球和 1 个蓝球，从中任取 3 个球，则其中恰 有两种颜色的概率是( ) A.3 5 B.4 5 第 3 页 / 共 9 页 C. 7 20 D.13 20 5、如图所示的电路，有 a，b，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是1 2，且是相互独立的，则灯泡甲亮的 概率是_ 第 5 题图 四、例题选讲 考点一 互斥事件、对立事件概率公式的应用 例 1、某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特 等奖
7、1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C， 求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 变式 1、某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位 顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/ 人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的
8、顾客占 55%. (1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率) 第 4 页 / 共 9 页 变式 2、A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一 周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)： A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)试估计 C 班的学生人数； (2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取 1 人，A 班选出的人记为甲，C 班选
9、出的人记为乙假设 所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 方法总结： 考点二 相互独立事件 例 2 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为1 7.现有甲、乙两人从袋中轮流取球， 甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有 1 人取到白球时终止每个球在每一次 被取出的机会是等可能的 (1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球 2 次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率 第 5 页 / 共 9 页 变式 1、一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的 A，B，C 三种商品有购买意向已 知该网民购买 A 种商品的概率为
10、3 4，购买 B 种商品的概率为 2 3，购买 C 种商品的概率为 1 2.假设该网民是否购 买这三种商品相互独立 (1)求该网民至少购买 2 种商品的概率； (2)用随机变量 表示该网民购买商品的种数，求 1的概率 变式 2、甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在 下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为1 2，各局比赛的结果相互独立，第 1 局甲当裁判 (1)求第 4 局甲当裁判的概率； (2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的概率分布 第 6 页 / 共 9 页 方法总结： (1)确定每个事件是相互独立的；(2)确定每个事件会同时
11、发生；(3)先求出每个事件发生的概率， 再求其积 考点三 离散型随机变量的概率分布 例 3 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1 分现从该 箱中任取(不放回，且每个球取到的机会均等)3 个球，记随机变量 X 为取出 3 个球所得分数之和，求 X 的概 率分布 变式、从 0，1，2，3，4 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记 X 为所组成的三位数各位数字 之和 (1)求 X 是奇数的概率； (2)求 X 的概率分布及数学期望 方法总结：离散型随机变量概率分布的求法： (1)写出 X 的所有可能取值(注意准确理解 X 的含义，以免失误
12、) (2)利用概率知识求出 X 取各个值的概率 (3)列表并检验，写出概率分布 考点四 超几何分布与二项分布 例 4 袋中有 8 个球，其中 5 个黑球，3 个红球，从袋中任取 3 个球，求取出红球的个数 X 的概率分布，并 第 7 页 / 共 9 页 求至少有一个红球的概率 例 5 从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概 率都是2 5，设 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 的概率分布 变式 1、 乒乓球单打比赛在甲、 乙两名运动员间进行， 比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜， 比赛结束)， 假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同
13、 (1)求甲以 4 比 1 获胜的概率； (2)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率； (3)求比赛局数的概率分布 方法总结：求超几何分布的分布列，关键是明确随机变量是否服从超几何分布，分清 M，N，n，k 的值， 第 8 页 / 共 9 页 然后求出相应的概率，最后列表即可 利用二项分布解决实际问题的关键在于，在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为 n 次 独立重复试验，随机变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服 从二项分布，否则就不服从二项分布 五、优化提升与真题演练 1、 （2020 合肥一六八中学测试题）如图，元件通过电流的概率均为 0
14、9，且各元件是否通 过电流相互独立，则电流能在 M，N 之间通过的概率是（ ） A0729 B08829 C0864 D09891 2、（2020 山东青岛二中开学考试） 掷一枚硬币两次， 记事件A “第一次出现正面”， B “第二次出现反面”， 则有（ ） AA与B相互独立 B( )( )( )P ABP AP B CA与B 互斥 D 1 () 2 P AB 3、 （2020 江苏省南京外国语高三期末）如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均每 100 个家庭有 75 个家庭拥 有小汽车，若从如城镇中任意选出 5 个家庭，则下列结论成立的是( ) A这 5 个家庭均有小汽车的概率为 243 1
15、024 B这 5 个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 27 64 C这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车 D这 5 个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 81 128 4、 （2020 河北易县中学高三月考）某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出 现红灯的概率为 1 2 ，两次闭合后都出现红灯的概率为 1 5 ，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭 合闭合后出现红灯的概率为_. 5、 （2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知 第 9 页 / 共 9 页 该游客游览A的概率为
16、 2 3 ，游览B，C和D的概率都是 1 2 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随 机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A游客至多游览一个景点的概率 1 4 B 3 2 8 P X C 1 4 24 P X D 13 6 E X 6、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障. 各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为 1 3 . （1）求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率； （2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每 月只有及时维修 1 条生产线的能力， 且每月固定工资为 1 万元.此外， 统计表明， 每月在不出故障的情况下， 每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造 8 万元的利润；如果出现故障 不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n 与2n之 中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）
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