1、 第 1 页 / 共 7 页 第第 47 讲讲 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 一、课程标准 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 斜率存在的两条直线平行与垂直 若 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2， 则 l1l2k1k2，b1b2； l1l2k1 k21； l1与 l2重合k1k2，b1b2 2. 直线的一般式方程中的平行与垂直条件 若直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(其中 A1，B1不同
2、时为 0，A2，B2不同时为 0)，则 l1l2A1B2A2B1且 A1C2A2C1；l1l2A1A2B1B20 3. 两直线的交点 直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解一一对应 (1)相交方程组有一组解； (2)平行方程组无解； (3)重合方程组有无数组解 4. 已知两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离为 d （x1x2）2（y1y2）2 5. 设点 P(x0，y0)，直线 l：AxByC0(A，B 不同时为 0)，则点 P 到直线 l 的距离为 d |Ax0By0C A2
3、B2 6. 两条平行直线 l1： AxByC10 与 l2： AxByC20(A， B 不同时为 0)之间的距离 d |C1C2 A2B2 三、自主热身、归纳总结 第 2 页 / 共 7 页 1、 若直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则实数 m 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 2 或3 D. 2 或3 2、 若直线 ax2y10 与直线 2x3y10 垂直，则 a 的值为( ) A. 3 B. 4 3 C. 2 D. 3 3、直线 2x2y10，xy20 之间的距离是( ) A. 3 2 4 B. 2 C. 2 2 D. 1 4、若三条直线 2xy30，2xy10
4、和 x3kyk10 相交于一点，则实数 k_ 5、若直线(3a2)x(14a)y80 与(5a2)x(a4)y70 垂直，则 a_ 四、例题选讲 考点一 两条直线的位置关系 例 1、已知直线 l1：ax2y30 和直线 l2：x(a1)ya210. (1) 当 l1l2时，求实数 a 的值； (2) 当 l1l2时，求实数 a 的值 变式 1、（1）（江苏省丹阳高级中学 2019 届模拟）已知过点 A(2，m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2x y10 为 l2，直线 xny10 为 l3.若 l1l2，l2l3，则实数 mn 的值为( ) A10 B2 C0 D8 （2）（浙江绍兴
5、一中 2019 届模拟）设不同直线 l1：2xmy10，l2：(m1)xy10，则“m2” 是“l1l2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 变式 2、已知两条直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值 第 3 页 / 共 7 页 (1)l1l2，且 l1过点(3，1)； (2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等 方法总结：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在 的特殊情况同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件 (2)在判断两直线平行、垂
6、直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论 考点二 两条直线的交点问题 例2 已知直线ykx2k1与直线y1 2x2的交点位于第一象限， 则实数k的取值范围是_ 变式 1、(1)三条直线 l1：xy0，l2：xy20，l3：5xky150 构成一个三角形，则 k 的取值范围是 ( ) AkR BkR 且 k1，k0 CkR 且 k5，k10 DkR 且 k5，k1 (2)求经过直线 l1：3x2y10 和 l2：5x2y10 的交点，且垂直于直线 l3：3x5y60 的直线 l 的方程为_ 变式 2、下面三条直线 l1：4xy40，l2：mxy0，l3：2x3my40 不能构成三角形，求实
7、数 m 的 取值集合 第 4 页 / 共 7 页 方法总结：(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点 的坐标(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方 程也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下： 与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR，且 mC)；与直线 AxByC 0 垂直的直线系方程是 BxAym0(mR)；过直线 l1：A1xB1yC1 0 与 l2：A2xB2yC20 的交 点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包
8、括 l2. 考点三、 两直线的距离问题 例 3、已知点 P(2，1) (1)求过点 P 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程 (2)求过点 P 且与原点距离最大的直线 l 的方程，并求出最大距离 (3)是否存在过点 P 且与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由 变式 1、(1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线方程为( ) A2xy50 B2xy30 Cx2y40 Dx2y0 (2)若两平行直线 l1：x2ym0(m0)与 l2：2xny60 之间的距离是 5，则 mn( ) A0 B1 C2 D1 第 5 页 / 共 7 页 变式 2、已知直线 l 经
9、过直线 l1：2xy50 与 l2：x2y0 的交点 P. (1) 若点 A(5，0)到直线 l 的距离为 3，求直线 l 的方程； (2) 求点 A(5，0)到直线 l 距离的最大值 方法总结：1点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式 2两平行线间的距离的求法 (1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)利用两平 行线间的距离公式 考点四 直线的对称性 例 4、(1)已知直线 l：x2y20. 求直线 l1：yx2 关于直线 l 对称的直线 l2的方程； 求直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方
10、程 (2)光线由点 A(5， 3)入射到 x 轴上的点 B(2,0)，又反射到 y 轴上的点 M，再经 y 轴反射，求第二 次反射线所在直线 l 的方程 变式、(1)如图，已知 A(4，0)，B(0，4)，从点 P(2，0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上， 第 6 页 / 共 7 页 最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是_ (2)已知直线 l：2x3y10，求直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程 方法总结：对称性问题有三类：一是点关于点对称；二是点关于线对称；三是线关于线对称；点关于 点对称问题比较简单，只要用中点坐标公式即可；
11、点关于线对称要用到两个条件，一是已知点和对称点的 连线与已知直线垂直，二是已知点和对称点的中点在已知直线上；线关于线对称问题，一般是在某一条直 线上找两个点，求出这两个点关于另一条直线的对称点，然后用两点式求出其方程通常情况下会用到两 直线的交点 五、优化提升与真题演练 1、已知直线 l 的倾斜角为3 4 ，直线 l1经过点 A(3,2)和 B(a，1)，且直线 l 与 l1平行，则实数 a 的值为( ) A0 B1 C6 D0 或 6 2、(多选)若两平行直线 3x2y10,6xayc0 之间的距离为2 13 13 ，则实数 c 的值是( ) A2 B4 C5 D6 第 7 页 / 共 7
12、页 3、已知直线 ykx2k1 与直线 y1 2x2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是_ 4、(一题两空)已知直线 l1：axy10，直线 l2：xy30，若直线 l1的倾斜角为 4，则 a_； 若 l1l2，则 a_. 5、 过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段恰好被点 P 平分， 求直线 l 的方程 6、已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且 l1与 l2间的距离是7 5 10 . (1)求 a 的值； (2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件： 点 P 在第一象限； 点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的1 2； 点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是 2 5.若能，求点 P 的坐标；若不能，请说明理由
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