1、 第 1 页 / 共 8 页 第第 34 讲：数列的概念与等差数列讲：数列的概念与等差数列 一、课程标准 1、通过实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数. 2、通过实例，理解等差数列的概念 3、探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式 4、.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题 5、体会等差数列与一次函数的关系. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 数列的概念 (1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项数列可以看做是定义 域为 N*或其非空子集的函数，当自变量按照从小到大的顺
2、序依次取值时所对应的一列函数值，其图像是一 群孤立的点 注：数列是特殊的函数，应注意其定义域，不要和函数的定义域混淆 (2)数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，an，简记为an，其中 a1称为数列an的第 1 项(或称 为首项)，a2称为第 2 项，an称为第 n 项 2. 数列的分类 (1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列 (2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起， 每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列 3. 数列的通项公式 一般地， 如果数列 an 的第 n 项
3、与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式叫做这个数 列 an 的通项公式 注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一 4. 数列的表示方法 数列可以用通项公式来描述，也可以通过图像或列表来表示 5等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 第 2 页 / 共 8 页 差数列这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 an1and(nN*，d 为常数) (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A ab 2 ，其中 A 叫做 a，b 的等差中项 6、等差数列
4、的有关公式 (1)通项公式：ana1(n1)dnd(a1d)当 d0 时，an是关于 n 的一次函数 (2)前 n 项和公式：Sn na1an 2 ana1n1dS nna1 nn1 2 d d 2n 2 a1 d 2n当 d0 时，Sn是关于 n 的 二次函数，且没有常数项 三、自主热身、归纳总结 1. 设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和，S84a3，a72，则 a9(C ) A. 2 B. 2 C. 6 D. 6 2、记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4a524，S648，则an的公差为(C ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3、 （2019 秋徐州期末）等差数列a
5、n的前 n 项和为 Sn，若 a10，公差 d0，则下列命题正确的是（ ） A若 S5S9，则必有 S140 B若 S5S9，则必有 S7是 Sn中最大的项 C若 S6S7，则必有 S7S8 D若 S6S7，则必有 S5S6 4、已知an为等差数列，Sn为其前 n 项和若 a16，a3a50，则 S6_. 5、(一题两空)若数列an满足 a13，an1an3(nN*)，则 a3_，通项公式 an_. 6、 (一题两空)等差数列an中， 已知 Sn是其前 n 项和， a19， S9 9 S7 72， 则 an_， S10_. 四、例题选讲 考点一、由 an与 Sn的关系求通项 an 例 1、(1
6、)已知数列an的前 n 项和 Snn22n1(nN*)，则 an_. (2)已知数列an的前 n 项和 Sn 1 3an 2 3，则an的通项公式 an_. (3)已知数列an满足 a12a23a3nan2n，则 an_. 第 3 页 / 共 8 页 变式 1、已知数列an的前 n 项和 Sn，求通项 an. (1)Snn24n1； (2)Sn3nb. 变式 2、 （2019 栟茶中学期末）若 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn2an+1， （nN*） ，则下列说法正确的是 （ ） Aa516 BS563 C数列an是等比数列 D数列Sn+1是等比数列 变式 3、 （2019 秋苏州期末）
7、已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2（ana） （其中 a 为常数） ，则下列说 法正确的是（ ） A数列an一定是等比数列 B数列an可能是等差数列 C数列Sn可能是等比数列 D数列Sn可能是等差数列 方法总结：由数列an的前 n 项和 Sn，求通项 an的问题，要分成两段：an S1，n1， SnSn1，n2.不要遗漏 n 1 的情形因题(2)含字母 b，首项是否满足，还需要对 b 进行分类讨论本题侧重考查分类讨论的数 学思想 考点二、等差数列中基本量的运算 第 4 页 / 共 8 页 例 2、 （1）(2019 苏北三市期末）在等差数列an中，若 a5 1 2，8a62a4a2
8、，则an的前 6 项和 S6的值为 _ （2） (2017 苏北四市一模） 设 Sn是等差数列an的前 n 项和， 且 a23， S416， 则 S9的值为_ 变式 1、 （1）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 3S3S2S4，a12，则 a5( ) A12 B.10 C10 D12 （2）记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4a524，S648，则an的公差为_ （3）在等差数列an中，a10，公差 d0，若 ama1a2a9，则 m 的值为_ 变式 2、 （1）2019 无锡调研设公差不为零的等差数列an满足 a37，且(a21)2(a11)(a41)，则 a10 等于_ (
9、2)设等差数列an的前 n 项的和为 Sn.已知 a24，a25a23120，且 a12，求 an及 Sn. 变式 3、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）我国古代的天文学和数学著作周碑算经中记载：一年有二 十四个节气， 每个节气唇 （gu） 长损益相同 （暑是按照日影测定时刻的仪器， 暑长即为所测量影子的长度） ， 夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日 影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为 16.5 尺，这十二节气的 所有日影子长之和为 84 尺，则夏至的日影子长为_尺. 方法总结：(1)a1，d
10、 是等差数列的基本量，把所给的条件代入等差数列的通项公式，可列出方程组，如果能 把 a11 作为一个整体处理，则能简化运算一般地，给出含有 a 1，d 的两个独立条件，即可求出该等差数 列的通项公式，进而求出其前 n 项和 (2)第(2)小问，充分利用等差数列的第二通项公式 a5a23d，a3a2d，则简化了运算 第 5 页 / 共 8 页 考点三、 等差数列的性质 例 3、 （2020 届北京市昌平区新学道临川学校上学期期中） 已知等差数列 n a的前m项之和为30， 前m 2项 和为100，则它的前m3项的和为（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 变式 1、（2020 届
11、山东省滨州市三校高三上学期联考） 已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 且 3 5 2 a ， 9 9S ， 则 7 a （ ） A 1 2 B1 C 1 2 D2 变式 2、(1)(2020 福建模拟)设 Sn，Tn分别是等差数列an，bn的前 n 项和，若 a52b5，则 S9 T9( ) A2 B.3 C4 D6 (2)(2019 福建漳州质检改编)若 Sn是等差数列an的前 n 项和，且 a2a9a196，则 a10_，S19 _. 变式 3、在等差数列an中，若 m1 且 am1a2 mam10，S2m126，求 m 的值 方法总结：如果an为等差数列，mnpq，则 ama
12、napaq(m，n，p，qN*)因此，若出现 amn， am， amn等项时， 可以利用此性质将已知条件转化为与 am(或其他项)有关的条件； 若求 am项， 可由 am 1 2(am namn)转化为求 amn，amn或 amnanm的值 考点四、等差数列的判定及证明 第 6 页 / 共 8 页 例 4、 （2020 苏州期末）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2（ana） （其中 a 为常数） ，则下列说法正 确的是（ ） A数列an一定是等比数列 B数列an可能是等差数列 C数列Sn可能是等比数列 D数列Sn可能是等差数列 变式 1、已知数列 an 是等差数列，公差为 d，设
13、bna2n1a2n. (1)求证：数列bn是等差数列； (2)若 a1a，求数列bn的通项公式及前 n 项和 Sn. 变式 2、已知数列an中，a15 且 an2an12n1(n2 且 nN*) (1)求证：数列 an1 2n 为等差数列； (2)求数列an的通项公式 变式 3、若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a1 1 2. (1)求证： 1 Sn成等差数列； (2)求数列an的通项公式 第 7 页 / 共 8 页 方法总结：欲证一个数列是等差数列，根据定义，即证 bn1bn为常数目标明确了，下面还需要推理正 确；欲求数列 cn 的前 n 项和 Sn，可先
14、求通项，再判断为何数列；如果知道了具体的等差或等比数列，只 需要求出两个基本量首项、公差(或公比)，再代入 Sn公式即可 五、优化提升与真题演练 1、 （2020 届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12 月)月考数学试题）设等差数列 n a的前 n 项的和 为 n S，且 13 52S，则 489 aaa( ) A8 B12 C16 D20 2、 （北京市北京师范大学附属实验中学 2019-2020 学年上学期期中）已知 n S是等差数列 n a(n )的前 n项和，且 564 SSS,以下有四个命题： 数列 n a中的最大项为 10 S 数列 n a的公差0d 10 0S 11 0S 其
15、中正确的序号是（ ） A B C D 3、 （北京市昌平区新学道临川学校 2019-2020 学年上学期期末）设 n a为等差数列， 1 22a ， n S为其前n 项和，若 1013 SS，则公差d ( ) A-2 B-1 C1 D2 4、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考） 已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 3 5 2 a ， 9 9S ， 则 7 a （ ） A 1 2 B1 C 1 2 D2 5、 【2020 年全国 2 卷】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石 板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，
16、向外每环依次增加 9块，下一层的第一环比上 第 8 页 / 共 8 页 一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729块，则三层共 有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 6、 【2020 年北京卷】在等差数列 n a中， 1 9a ， 3 1a 记 12 (1,2,) nn Taaa n，则数列 n T （ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 7、 【2020 年浙江卷】已知数列an满足 (1) = 2 n n n a ，则 S3=_ 8、 （2019 年江苏卷）.已知数列 * () n anN是等差数列， n S是其前 n 项和.若 2589 0,27a aaS，则 8 S 的值是_. 9、 （2015 江苏卷）数列满足，且（） ，则数列的前 10 项和为 n a1 1 a1 1 naa nn * Nn 1 n a
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