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    第33讲 复数(学生版)备战2021年新高考数学微专题讲义

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    第33讲 复数(学生版)备战2021年新高考数学微专题讲义

    1、 第 1 页 / 共 6 页 第第 33 讲:复数讲:复数 一、课程标准 1、了解复数的概念 2、理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义 3、掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.基础知识回顾 二、知识梳理 1. 复数 (1)复数的意义:形如 zabi(a、bR)的数叫做复数,其中 i 叫做虚数单位,满足 i21,a 叫做实 部,b 叫做虚部,复数集记作 C,数集 N、Z、Q、R、C 的关系是:NZQRC. (2)复数的模:zabi,|z| a2b2 (3)复数相等:z1a1b1i,z2a2b2i,z1z2,则 a1a2,b1b2 (4)共轭复数:zabi

    2、,zabi;z 与 z互为共轭复数 2. 复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则 加法:z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i; 减法:z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i; 乘法:z1 z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i; 除法:z1 z2 abi cdi (abi)(cdi) (cdi)(cdi) (acbd)(bcad)i c2d2 (cdi0) 3. 复数的几何意义 (1)复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 (2)实轴、虚轴:在复平面内,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴

    3、实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚 轴上的点都表示纯虚数 4. 复数的几何表示 复数 zabi 与复平面内的点 Z(a,b)及平面向量OZ (a,b)(a,bR)是一一对应关系 第 2 页 / 共 6 页 三、自主热身、归纳总结 1、(2017 无锡期末) 已知复数 z 2 1i,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的共轭复数为_ 2、(2017 常州期末) 已知 x0,若(xi)2是纯虚数(其中 i 为虚数单位),则 x_. 3、(2017 苏州期末)已知复数 z1i 2i ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的虚部为_ 4、(2018 苏州期末) 已知 i 为虚数单位,复数 z 3 2 3

    4、 2i 的模为_ 5、(2018 常州期末)若复数 z 满足 z 2i|z|21(其中 i 为虚数单位),则|z|_ 6、(2017 南京学情调研)设复数 z 满足(zi)i34i(i 为虚数单位),则 z 的模为_ 7、 (2017 南京、 盐城二模) 若复数 z 满足 z(1i)2i(i 是虚数单位),z 是 z 的共轭复数, 则 zz _. 8、(2017 泰州期末) 如图,在复平面内,点 A 对应的复数为 z1,若z2 z1i(i 为虚数单位),则 z2_. 四、例题选讲 考点一、复数的有关概念 例 1、 (2019 苏北四市、 苏中三市三调) 已知复数 i 13i a z (i 是虚

    5、数单位) 是纯虚数, 则实数a的值为 变式 1、(2019 南京三模)若复数 z 满足 z(1i)1,其中 i 为虚数单位,则 z 在复平面内对应的点在第 象限 变式 2、(2019 南京、盐城二模) 若复数 z 满足 z a2ii(i 为虚数单位),且实部和虚部相等,则实数 a 的值 为_ 变式 3、 已知 i 是虚数单位, 复数 zm2(1i)m(23i)4(2i), 当 m 分别取何实数时, z 满足如下条件? (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零 第 3 页 / 共 6 页 方法总结: (1)解决复数问题,首先要看复数是否为 abi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部(2)对

    6、于 复数的分类问题,可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,把复数化为代数形式,列出实部和 虚部满足的方程(不等式)组特别要注意:纯虚数的充要条件是:a0 且 b0. 考点二、复数的运算 例 2、 、(2019 苏锡常镇调研)已知复数 34i 5i z ,其中i是虚数单位,则z 变式 1、(2019 南通、泰州、扬州一调)已知复数 z 2i 1i3i(i 为虚数单位),则复数 z 的模为_ 变式 2、(2019 泰州期末)复数 z 满足 zi43i(i 是虚数单位),则|z|_ 变式 3、(2019 扬州期末) 若 i 是虚数单位,且复数 z 满足(1i)z2,则|z|_ 变式 4、(1

    7、)复数 2 1i(i 为虚数单位)的共轭复数是 (2)(1i 1i) 6 2 3i 3 2i_ _ (3)若复数 z 满足 2zz32i,其中 i 为虚数单位,则 z_ 方法总结: (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则 (2)遇到复数的运算与复数概念的综合题,先设 zabi,再通过四则运算,计算出 a,b 的值 考点三、复数的几何意义 第 4 页 / 共 6 页 例 1、(1)已知复数 zxyi,且|z2| 3,则y x的最大值为_ 变式 1、如图所示,平行四边形 OABC,顶点 O,A,C 分别表示 0,32i, 24i,试求: AO ,BC 所表示的复数; 对角线CA 所表示的复数;

    8、 B 点对应的复数 变式 2、 (1)设(1i)x1yi,其中 x,y 是实数,则 xyi 在复平面内所对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (2)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是( ) A(,1) B(,1) C(1,) D(1,) 方法总结:准确理解复数的几何意义 (1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量 OZ 相互联系,即 zabi(a,bR)Z(a,b) OZ. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时 第 5 页 / 共 6 页 可运用数形结合的方法,使问

    9、题的解决更加直观 (3)进行简单的复数运算,将复数化为标准的代数形式; (4)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系, 依据是复数 abi(a, bR)与复平面上的点(a, b)一一对应 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年北京卷】在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i z ( ) A. 1 2i B. 2 i C. 1 2i D. 2 i 2、 【2020 年江苏卷】已知i是虚数单位,则复数 (1 i)(2i)z 的实部是_. 3、 【2020 年全国 1 卷】若 z=1+i,则|z22z|=( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 4、 【2020 年全国 3 卷

    10、】复数 1 13i 的虚部是( ) A. 3 10 B. 1 10 C. 1 10 D. 3 10 5、 【2020 年浙江卷】.已知 aR,若 a1+(a2)i(i为虚数单位)是实数,则 a=( ) A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 6、 【2020 年山东卷】 2i 12i ( ) A. 1 B. 1 C. i D. i 7、 【2019 年高考北京卷理数】已知复数2iz ,则z z A3 B 5 C3 D5 8、 【2019 年高考全国卷理数】设复数 z 满足=1iz,z 在复平面内对应的点为(x,y),则 A 22 +11()xy B 22 1(1)xy C 22 (1)1yx D 22 ( +1)1yx 9、 【2019 年高考全国卷理数】设 z=3+2i,则在复平面内z对应的点位于 第 6 页 / 共 6 页 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 10、 【2019 年高考全国卷理数】若(1 i)2iz,则 z= A1i B1i C1i D1i 11、 【2018 年高考浙江卷】复数 2 1i (i 为虚数单位)的共轭复数是 A1+i B1i C1+i D1i


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