1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 25 讲:三角函数的图像与性质讲:三角函数的图像与性质 一、课程标准 1.能画出 ysin x,ycos x,ytan x 的图象,了解三角函数的周期性 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2,正切函数在 2, 2 上的性质 二、基础知识回顾 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理: 在正弦函数 ysin x,x0,2的图象上,五个关键点是:(0,0), 2,1 ,(,0), 3 2 ,1 ,(2,0) 在余弦函数 ycos x,x0,2的图象上,五个关键点是:(0,1), 2,0 ,(,1), 3 2 ,0 ,(2,1). (
2、2)五点法作图的三步骤:列表、描点、连线(注意光滑) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定 义 域 R R R R x xR R,且xk 2 ,kZ Z 值域 1,1 1,1 R R 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 第 2 页 / 共 10 页 单 调 性 在 22k, 22k (kZ Z)上是递增函数, 在 22k, 3 2 2k (k Z Z)上是递减函数 在2k, 2k(kZ Z)上是 递增函数,在 2k,2k(k Z Z)上是递减函 数 在 2k, 2k (kZ Z)上是 递增函数 周 期 性 周 期 是 2k(k Z Z 且
3、k0),最小正周期是 2 周期是2k(kZ Z 且 k0),最小 正周期是 2 周期是 k(kZ Z 且 k0), 最小正 周期是 对 称 性 对称轴是 x 2k(k Z Z),对称中心是(k,0)(k Z Z) 对称轴是 x k(kZ Z),对称 中心是 k 2,0 (k Z Z) 对称中心是 k 2 ,0 (kZ Z) 三、自主热身、归纳总结 1、函数 2tan 2 3 yx 的定义域为( ) A | 12 x x B| 12 x x C |, 12 x xkkZ D|, 212 k x xkZ 2、在函数ycos|2x|,y|cosx|,ycos 2x 6 ,ytan 2x 4 中,最小
4、正周期为的所有函数 为( ) 第 3 页 / 共 10 页 A. B. C. D. 3、函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0, 2 上的最小值为( ) A. 1 B. 2 2 C. 2 2 D. 0 4、下列关于函数 y4sin x,x,的单调性的叙述,正确的是( ) A在,0上是增函数,在0,上是减函数 B在 2, 2 上是增函数,在 , 2 和 2, 上是减函数 C在0,上是增函数,在,0上是减函数 D在 2, 和 , 2 上是增函数,在 2, 2 上是减函数 5、 (安徽省淮南市 2019 届高三模拟) 若函数 f(x)sin x(0)在区间 0, 3 上单调递增,在区间 3, 2
5、 上 单调递减,则 等于( ) A.2 3 B. 3 2 C2 D3 6、下列关于函数tan() 3 yx 的说法正确的是( ) A在区间 5 (,) 66 上单调递增 B最小正周期是 C图象关于(,0) 4 成中心对称 D图象关于直线 6 x 成轴对称 7、函数 ycos 2x 4 的单调递减区间为_ 第 4 页 / 共 10 页 8、函数 y32cos x 4 的最大值为_,此时 x_. 四、例题选讲 考点一、三角函数的定义域 例 1 (1)函数 y sinxcosx的定义域为 (2)函数 y 12cosxlg(2sinx1)的定义域为 变式 1、 (1)函数 y 1 tan x1的定义域
6、为_. (2)函数 ylg(sin x)cos x1 2的定义域为_. 变式 2、函数 y sin xcos x的定义域为_ 方法总结:三角函数定义域的求法 (1)以正切函数为例, 应用正切函数 ytan x 的定义域求函数 yAtan(x)的定义域转化为求解简单的 三角不等式 (2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式 2简单三角不等式的解法 第 5 页 / 共 10 页 (1)利用三角函数线求解 (2)利用三角函数的图象求解 考点二、三角函数的值域(最值) 例 2、 (1)2017 全国高考函数 f( )x sin2x 3cosx3 4(x 0, 2 )的最大值是_ (2)函数 y
7、sinx2 sinx1的值域为_ _ (3)函数 f(x)cos2x6cos( 2 x)的最大值为_ 变式 1、(1)函数 f(x)3sin 2x 6 在区间 0, 2 上的值域为_ (2)设 x 0, 2 ,则函数 y sin 2x 2sin2x1的最大值为_ (3)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_ 变式 2、 (南京期末)若函数( )14sinf xxt 在区间(,2 ) 6 上有 2 个零点,则t的可能取值为( ) A3 B0 C3 D4 方法总结:求三角函数的值域(最值)的 3 种类型及解法思路 (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yA
8、sin(x)k 的形式,再求值域(最值); (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数,可先设 sin xt,化为关于 t 的二次函数求值域(最值); (3)形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c 的三角函数, 可先设 tsin x cos x, 化为关于 t 的二次函数求值域(最 值) 考点三、三角函数的单调性 第 6 页 / 共 10 页 例 3 若 f(x)2sinx1(0)在区间 2 ,2 3 上是增函数,求的取值范围 变式 1、(1)函数ysin 3 2x的单调递减区间为_ (2)函数y|tan x|的单调递增区间为_,单调递减区间为_ 变式 2、已知
9、0,函数f(x)sin x 4 在 2 , 上单调递减,则的取值范围是_. 方法总结: 本题考查三角函数的单调性 首先化成 yAsin(x)的形式, 再把 x 看作整体代入 ysinx 的相应单调区间内求 x 的范围即可 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 的范围的问题, 首先, 明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间 的关系可求解考查运算求解能力,整体代换及转化与化归的思想 考点四、三角函数的奇偶性、周期性及对称性 例 4、 (1)函数 f(x)|tan x|的最小正周期是_. (2)函数 f(x)cos23 2xsin 23 2x
10、 的最小正周期是_. 变式 1、(1)若函数 f(x)3sin 2x 3 ,(0,)为偶函数,则 的值为_ (2)若函数 ycos x 6 (N*)图像的一个对称中心是 6 ,0 ,则 的最小值为_ 第 7 页 / 共 10 页 变式 2、下列函数,最小正周期为的偶函数有( ) Atanyx B|sin|yx C2cosyx Dsin(2 ) 2 yx 变式 3、 (1) 已知函数f(x)sin(x) 0,| 2 的最小正周期为 4, 且xR R, 有f(x)f 3 成立,则f(x)图象的一个对称中心坐标是( ) A. 2 3 ,0 B. 3 ,0 C. 2 3 ,0 D. 5 3 ,0 (2
11、)(2020武汉调研)设函数f(x)sin 1 2x 3cos 1 2x | 2 的图象关于y轴对称,则 ( ) A. 6 B. 6 C. 3 D. 3 方法总结:本题考查三角函数的奇偶性与对称性求 f(x)的对称轴,只需令x 2 k(kZ),求 x 即 可;如果求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 xk(kZ),求 x 即可奇偶性可以用定义判断,也可 以通过诱导公式将 yAsin(x)转化为 yAsinx 或 yAcosx.考查运算求解能力,整体代换及转化与 化归的思想 五、优化提升与真题演练 第 8 页 / 共 10 页 1、【2019 年高考全国卷理数】函数 f(x)=在, 的图像大致
12、为 A B C D 2、【2019 年高考全国卷理数】关于函数( )sin|sin |f xxx有下述四个结论: f(x)是偶函数 f(x)在区间( 2 ,)单调递增 f(x)在, 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 3、【2019 年高考全国卷理数】下列函数中,以 2 为周期且在区间( 4 , 2 )单调递增的是 Af(x)=|cos2x| Bf(x)=|sin2x| Cf(x)=cos|x| Df(x)=sin|x| 4、 【2018 年高考浙江卷】函数 y=2 x sin2x 的图象可能是 2 sin cos xx xx 第 9 页 / 共
13、10 页 A B C D 5、 (2018 全国卷)已知函数 f(x)2cos2xsin2x2,则( ) Af(x)的最小正周期为 ,最大值为 3 Bf(x)的最小正周期为 ,最大值为 4 Cf(x)的最小正周期为 2,最大值为 3 Df(x)的最小正周期为 2,最大值为 4 6、 【2017 年高考全国理数】设函数 ( 3 cos)f xx,则下列结论错误的是 A( )f x的一个周期为2 B( )yf x的图象关于直线 8 3 x 对称 C()f x的一个零点为 6 x D( )f x在( 2 ,)单调递减 7、关于x的函数( )sin()f xx有以下四个选项,错误的有( ): A对任意的,( )f x都是非奇非偶函数 B存在,使( )f x是偶函数 C存在,使( )f x是奇函数 第 10 页 / 共 10 页 D对任意的,( )f x都不是偶函数 8最小正周期为的函数有( ) A 2 cos 2 x y B|sin|yx Ccos|2 |yx Dtan(2) 4 yx 9、【2019 年高考北京卷理数】函数 f(x)=sin22x 的最小正周期是_ 10、【2018 年高考全国理数】已知函数 2sinsin2f xxx,则 f x的最小值是_