1、 第 1 页 / 共 8 页 第第 23 讲：三角恒等变换（讲：三角恒等变换（1） 一、课程标准 1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用 2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆). 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin()sincoscossin，简记作 S()； cos()coscossinsin，简记作 C()； tan() tantan 1tant
2、an，简记作 T( ) 2. 二倍角公式 sin22sincos； tan2 2tan 1tan2； cos2cos2sin22cos2112sin2 3. 辅助角公式 yasinxbcosx a2b2sin(x)，其中 为辅助角，且其中 cos a a2b2，sin b a2b2，tan b a. 第 2 页 / 共 8 页 4. 公式的逆用及有关变形 tantantan()(1tantan)； sincos 2sin( 4 )； sincos1 2sin2； 1sin2(sincos)2； 1sin2(sincos)2； sin21cos2 2 ； cos21cos2 2 ； tan21c
3、os2 1cos2(降幂公式)； 1cos22sin2；1cos22cos2(升幂公式) 三、自主热身、归纳总结 1、知 cos 4 5， ，3 2 ，则 sin 4 等于( ) A. 2 10 B. 2 10 C.7 2 10 D.7 2 10 2、已知 tan 4 2，则 tan ( ) A.1 3 B.1 3 C.4 3 D.4 3 第 3 页 / 共 8 页 3、 已知 sin22 3，则 cos 2 4 等于(A ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 4、(多选)已知 f(x)1 2(1cos 2x)sin 2x(xR)，则下面结论正确的是( ) Af(x)的最
4、小正周期 T 2 Bf(x)是偶函数 Cf(x)的最大值为1 4 Df(x)的最小正周期 T 5、 (多选)下列式子的运算结果为 3的是( ) Atan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 B2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65 ) C.1tan 15 1tan 15 D. tan 6 1tan2 6 6、 【2020 江苏南京三校联考】已知sin( + 4) = 3 5，则sin2_ 7、函数 f(x)sin 2x 4 2 2sin2x 的最小正周期是_ 8、已知 2tan sin 3， 2，0 ，则 cos 6 _. 9、若 2， ，且 3cos 2si
5、n 4 ，则 sin 2 的值为_ 第 4 页 / 共 8 页 10、(一题两空)已知 0 2，且 sin 3 5，则 tan 5 4 _， sin2sin 2 cos2cos 2_. 四、例题选讲 考点一、利用两角和(差)公式运用 例 1、已知 0 2 ，且 cos 2 1 9， sin 2 2 3，求 cos() 变式 1、 【2020 江苏昆山调研】若函数 sinsin 3 f xxx ，则函数 f(x)的振幅为_ 变式 2、 （2020 江苏溧阳上学期期中考试）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角， ，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
6、 10 10 ， 5 5 ，则sin() _ 第 5 页 / 共 8 页 变式 3、已知 sin 3 5， 2， ，tan() 1 2，则 tan()的值为( ) A 2 11 B. 2 11 C.11 2 D11 2 变式 4、在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C_. 变式 5、 2019 深圳模拟已知 tan 4 1 2，且 2 0，则2sin 2sin2 cos 4 (A ) A. 2 5 5 B. 3 5 10 C. 3 10 10 D. 2 5 2 方法总结：考查两角和差的三角函数公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、 所
7、求角与已知角之间的差异， 再选择适当的三角公式恒等变形 求角问题的关键在于选择恰当的三角函数， 选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想 考点二、二倍角公式的运用 例 2、已知 0，化简： 1sincos sin 2 cos 2 22cos .= 变式 1、(1) sin 10 1 3tan 10 _. (2)化简 sin235 1 2 cos 10 cos 80 _. 第 6 页 / 共 8 页 变式 2、已知 cos 6 cos 3 1 4， 3， 2 . (1)求 sin 2 的值； (2)求 tan 1 tan 的值 方法总结：本题考查二
8、倍角公式的简单应用三角函数式的化简要注意以下 3 点：看角之间的差别与联 系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化 弦”；看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等本题 考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想 考点三、 公式的综合运用 例 3、 设 是锐角，且 cos( 6 )4 5，则 sin(2 12)的值为_ 变式 1、计算2cos 10 2 3cos100 1sin 10 _. 变式 2、cos20 sin20cos10 3sin10tan702cos40. 变式 3、已知 sin 4 2
9、 10， 2， . 求：(1)cos 的值； 第 7 页 / 共 8 页 (2)sin 2 4 的值 方法总结： (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数 公式之间的共同点. 五、优化提升与真题演练 1、（2019 年高考全国卷理数）已知 (0， 2 )，2sin2=cos2+1，则 sin= A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 2、 （2018 年高考全国卷理数）若 1 sin 3 ，则cos2 A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8
10、 9 3、 （2018 年高考全国卷 II 理数）若 cossinf xxx在, a a是减函数，则a的最大值是 A 4 B 2 第 8 页 / 共 8 页 C 3 4 D 4、 （2017 年高考北京卷理数）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 1 sin 3 ，则cos()=_. 5、 （2018 年高考全国理数）已知sin cos1，cossin0 ，则sin( )_ 6、（2017 年高考江苏卷）若 1 tan(), 46 则tan 8、 （2018 年高考江苏卷）已知, 为锐角， 4 tan 3 ， 5 cos() 5 （1）求cos2的值； （2）求tan()的值
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